第28讲 静电场中力的性质（复习讲义）（安徽专用）（教师版）

第28讲静电场中力的性质目录TOC\o"1-3"\h\u01考情解码·命题预警 202体系构建·思维可视 203核心突破·靶向攻坚 4考点一库仑定律的理解与应用 4知识点一对库仑定律的理解 4知识点二库仑力具有力的特点 4考向1库仑定律的理解 4考向2库仑力的叠加 6考点二库仑力作用下的平衡问题 8知识点处理方法与规律 8考向1三点电荷共线平衡问题 9考向2库仑力作用下的平衡问题 12考点三电场强度的理解及计算 15知识点一电场强度的性质 15知识点二电场强度三个表达式的比较 16知识点三等量同种和异种点电荷的电场强度的比较 16考向1电场强度的理解 17考向2点电荷的电场及叠加 18考向3非点电荷电场强度的叠加 21考向4带电球壳、球体的电场 23考点四电场线的应用 26知识点电场线的特点 26考向1等量同（异）种电荷电场线分布 26考向2不等量点电荷或多个点电荷周围电场线分布 28考点五静电场中的动力学分析 30考向1静电力作用下的直线运动 30考向2静电力作用下的曲线运动 3304真题溯源·考向感知 36考点要求考察形式2025年2024年2023年库仑力作用下的平衡问题选择题非选择题安徽卷T10，5分电场强度的理解及计算选择题非选择题考情分析：库仑定律、电场强度、点电荷的电场、电场线、静电力的考查多以选择题的形式出现，近几年高考题中出现了很多源于课本的基础题目，本部分内容考查以物理观念为基，以科学思维的考查为主。多以学习探究问题情境为主，近年也有少量生活实践问题情境，善于利用类比法将复杂、抽象的电场问题转化为较熟悉的力学问题，掌握对称法、等效法、微元法等解题方法，学会解决静电场平衡问题。复习目标：目标一：掌握库仑定律的内容与条件，并会用来解决问题。目标二：理解电场强度的定义，并会计算电场强度的大小，判断电场强度方向。目标三：理解电场线的特点，会用电场线的特点解决相关问题。考点一库仑定律的理解与应用知识点一对库仑定律的理解1.F＝keq\f(q1q2,r2)，r指两点电荷间的距离。对可视为点电荷的两个均匀带电球，r为两球的球心间距。2.当两个电荷间的距离r→0时，电荷不能再视为点电荷，它们之间的静电力不能认为趋于无穷大。知识点二库仑力具有力的特点1.两个点电荷之间相互作用的库仑力遵从牛顿第三定律。2.库仑力可使带电体产生加速度。3.库仑力可以和其他力平衡。4.某个点电荷同时受几个点电荷的作用时，要用平行四边形定则求合力。得分速记1．两点电荷间的作用力等大反向（无论两电荷电荷量是否相等，但加速度不一定相等）；2．两电荷间的万有引力比库仑力小得多，一般情况下不考虑万有引力。考向1库仑定律的理解例1（2025·湖南娄底·模拟预测）关于两个点电荷之间的静电力，下列说法正确的是（）A．一定是引力 B．是通过电场而产生的C．跟距离成反比 D．跟带电荷量无关【答案】B【详解】AB．两个点电荷之间的静电力是通过电场而产生的，可以是引力也可以是斥力，故A错误，B正确；CD．根据库仑定律可知，静电力跟距离的平方成反比，与电荷量有关，故CD错误。故选B。【变式训练1·变考法】（2025·河北秦皇岛·二模）真空中有两个相同的带等量异号电荷的金属小球A和B（均可看作点电荷）相距为r，带电量绝对值均为Q，它们之间静电力的大小为F。现用一个不带电的同样的金属小球C先与A接触，再与B接触，然后移开C，再将A、B间距离减小为原来的倍，则A、B间的静电力大小为（）A． B． C．2F D．4F【答案】C【详解】设小球A所带电荷量为，B所带电荷量为，根据库仑定律可得用一个不带电的同样的金属小球C先与A接触，则接触后A、C所带电荷量均为再与B接触，接触后B、C所带电荷量均为再将A、B间距离减小为原来的倍，则A、B间的静电力大小为故选C。【变式训练2】（2025·全国·模拟预测）如图所示，在点电荷Q产生的电场作用下，位于Q下方的原子的负电荷中心与正电荷中心出现很小距离l（l远小于h），形成电偶极子，此过程称为原子极化。电偶极矩p是电偶极子的特征量，且，其中q为电偶极子中正、负点电荷所带电荷量的绝对值，实验显示p=αE，α为极化系数，只与原子本身有关，E为Q在电偶极子中心产生的电场强度。被极化的原子与点电荷Q之间的电场力为F，则（）A．若点电荷Q电荷量加倍，F将变为原来的2倍B．若点电荷Q电荷量加倍，F将变为原来的8倍C．若点电荷Q与电偶极子中心间距离h减半，F将变为原来的16倍D．若点电荷Q与电偶极子中心间距离h减半，F将变为原来的32倍【答案】D【详解】点电荷Q对电偶极子的作用力为由于h远大于，则又因为联立解得若点电荷Q电荷量加倍，F将变为原来的4倍；若点电荷Q与电偶极子中心间距离h减半，F将变为原来的32倍。故选D。考向2库仑力的叠加例2两个点电荷的电荷量分别为、，、为其连线的中垂线上的两点，电子在、两点所受电场力的方向如图中箭头所示，则（）A．为正电荷 B．为负电荷C．小于 D．大于【答案】C【详解】根据电子在M点的受力情况可知为负电荷，为正电荷，根据库仑定律结合矢量的合成可知小于。故选C。【变式训练1】（多选）如图所示，在半径为R的圆周上均匀地分布着六个电荷量均为q的正电荷。在圆心O处固定有一个电荷量为q的负电荷，现随机将六个正电荷中的两个更换为电荷量为q的负电荷，静电力常量为k，此时O点的负电荷受到的静电力大小可能为（）A． B．C． D．【答案】BC【详解】采用等效替代法，在更换电荷的位置，再放一个电荷量为q的正电荷和一个电荷量为q的负电荷，对于O点电荷的受力不产生实际影响，所有正电荷对O点电荷的作用力的合力为0，更换电荷后所有电荷对O点电荷的作用力可等效为在A、B、C、D、E、F中随机两个点位置放置电荷量为2q的负电荷对O点电荷作用力的合力，有邻、间、对三种可能，如图所示A处电荷对O点电荷的作用力则对位时，合力邻位时两力夹角为60°，合力间位时两力夹角为120°，合力故选BC。【变式训练2·变考法】如图所示，abcde是半径为r的圆内接正五边形，在其顶点a、b、d、e处各固定电荷量为+Q的点电荷，在c处放电荷量为−5Q的点电荷，那么放在圆心O处的电荷量为−q的点电荷受到静电力的大小为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】假设在a、b、c、d、e处均是电荷量为+Q的点电荷，由对称性可知此时圆心O处的电场强度为零，可知a、b、d、e处的点电荷在圆心O处的总的电场强度方向由O指向c，大小为c处电荷量为−5Q的点电荷在圆心O处的电场强度方向由O指向c，大小为则圆心O处的合电场强度方向由O指向c，大小为故放在圆心O处的电荷量为−q的点电荷受到静电力的大小为故选D。考点二库仑力作用下的平衡问题知识点处理方法与规律1.四步解决库仑力作用下的平衡问题2．三个自由点电荷的平衡条件及规律(1)平衡条件：每个点电荷受另外两个点电荷的合力为零，或每个点电荷处于另外两个点电荷产生的电场中合场强为零的位置。(2)平衡规律得分速记三个自由点电荷的平衡条件及规律：三点共线、两同夹异、两大夹小、近小远大考向1三点电荷共线平衡问题例1如图所示，甲、乙、丙三个带电小球用轻质绝缘细线悬挂在水平横杆上，处于静止状态，细线均处于竖直状态，且三个小球等高，均可视为质点。已知甲、乙间距与乙、丙间距之比为，乙电荷量的绝对值为，下列说法正确的是（）A．乙受到的拉力最小B．若乙带负电，则甲、丙可能均带负电C．甲、丙电荷量大小之比为D．甲、丙电荷量的乘积为【答案】D【详解】A．对任意一个小球受力分析，可知细线的拉力等于小球的重力，因三个小球的质量大小未知，所以无法判断那个小球受的拉力最小，故A错误；B．若乙带负电，甲、丙也带负电，对甲、丙受力分析，可知拉甲、丙两小球的细线不可能处于竖直状态，会发生偏转，故B错误；C．设甲、丙的电荷量分别为、，小球乙等处于平衡状态，则在水平方向有又解得故C错误；D．对丙球处于平衡状态，进行受力分析，则在水平方向有解得根据解得故甲、丙电荷量的乘积为故D正确。故选D。【变式训练1】（多选）如图所示，水平天花板上的P、Q两点各固定一个光滑定滑轮，两根绝缘细绳穿过定滑轮分别连接A、B、C三个带电绝缘小球，三个小球保持静止状态且处于同一高度，定滑轮与小球在同一竖直面内。已知A、C球的质量均为m，B球的质量为M，△PAB、△QBC均为正三角形，重力加速度为g。则（）A．A、B、C可能带同种电荷 B．B球的电荷量最小C．M=2m D．A、B球之间库仑力大小为【答案】AC【详解】A．若A、B、C带同种电荷，相互之间都为斥力，受力如图所示由于电荷量大小未知，三个小球在水平方向上受力可能平衡，A正确；B．由题意可知细绳对B球在水平方向上拉力和为0，可知B球受到A、C球的静电力大小相等、方向相反，则A、C球带同种电荷且电荷量相等；若B球与A、C球带异种电荷，由A球水平方向上受力平衡可知引力小于斥力，B球电荷量较小；若B球与A、C球带同种电荷，B球的电荷量大小无法确定，B错误；C．由于细绳拉力相等，则对A球和B球在竖直方向上分别有联立解得C正确；D．由图可知若A、B、C带同种电荷，对A在水平方向上有可知A、B球之间库仑力大小不可能为，D错误。故选AC。【变式训练2】如图所示，固定在水平地面上的光滑绝缘斜面长度为L，倾角为，斜面底端和顶端分别固定带电量为和的两个点电荷。已知重力加速度大小为g，静电力常量为k，求：(1)斜面中点位置的电场强度大小；(2)若一带电量为的小物块（可视作质点）恰能静止在斜面的中点，求小物块的质量；(3)若将顶端点电荷的电荷量换成，为使第二问中的小物块仍静止在斜面的中点，应让其带何种电荷？电荷量为多少？（最终结果用q表示）【答案】(1)；(2)；(3)正电，【详解】（1）由点电荷的场强公式，在斜面中点的场强方向沿斜面向下，大小为在斜面中点的场强方向沿斜面向上，大小为因此斜面中点的电场强度为解得（2）由力的平衡条件得解得（3）由解得由平衡知解得带正电。考向2库仑力作用下的平衡问题例2（2025·甘肃平凉·模拟预测）如图所示，真空中A、B两个质量相同的带电小球分别用10cm长的绝缘细线悬挂于绝缘天花板的O点，平衡时O、A间细线竖直且A小球与光滑竖直绝缘墙壁接触，O、B间细线偏离竖直方向60°。已知A所带的电荷量为B所带电荷量的3倍，两个小球质量均为0.3g，取g=10m/s2，静电力常量。下列说法正确的是（）A．两个小球可能带异种电荷B．A小球所带的电荷量为C．竖直墙壁对A小球的作用力大小为D．若B小球缓慢漏电，则O、B间细线上的拉力逐渐减小【答案】C【详解】A．由题意知B处于静止状态，对B球受力分析，如图所示可知B受到A的库仑斥力，B才可能处于静止，故A、B带同种电荷，故A错误；B．设A的带电量为，则B的带电量为，对B，根据平衡条件有解得，故B错误；C．对A球受力分析，设墙壁对A球的弹力为，根据平衡条件有，故C正确；D．对B分析，根据相似三角形原理有由于，，均不变，故拉力也不变，故D错误。故选C。求解带电体平衡问题的方法分析带电体平衡问题的方法与力学中分析物体受力平衡问题的方法相同。(1)当两个力在同一直线上使带电体处于平衡状态时，根据二力平衡的条件求解；(2)在三个力作用下带电体处于平衡状态时，一般运用勾股定理、三角函数关系以及矢量三角形等知识求解；(3)在三个以上的力作用下带电体处于平衡状态时，一般用正交分解法求解。【变式训练1】（2025·重庆·模拟预测）如图所示，带电小球A用绝缘细线通过光滑定滑轮、与不带电的物块C相连，与C连接端的细线竖直，在定滑轮的正下方固定一带电小球B，整个系统处于平衡状态。忽略小球A、B的大小及滑轮的大小。若小球A缓慢漏掉一部分电荷，则在该过程中（）A．带电小球A、B间的库仑力减小 B．带电小球A、B间的库仑力增大C．地面对C的支持力变小 D．地面对C的支持力不变【答案】AD【详解】AB．如图所示将小球A所受到的重力mg、拉力T、库仑力F平移成矢量三角形，它与三角形相似，有由于不变，故比值不变，由于不变，T不变，减小，F减小，故A正确，B错误；CD．对物块C，由于绳子拉力不变，地面对C的支持力不变，故C错误，D正确。故选AD。【变式训练2】如图所示，半径为R的金属圆环固定在竖直平面，金属环均匀带电，带电量为Q，一长为L=2R的绝缘细线一段固定在圆环最高点，另一端连接一质量为m、带电量为q（未知）的金属小球（可视为质点）。稳定时带电金属小球在过圆心且垂直圆环平面的轴上的P点处于平衡状态，点P'（图中未画出）是点P关于圆心O对称的点。已知静电常量为k，重力加速度为g，若取无穷远为零势面。求：(1)P'点场强大小；(2)金属带电小球的电量。【答案】(1)；(2)【详解】（1）设细线与半径的夹角为，由几何关系由金属环均匀带电，将金属圆环无线划分，每一极小段带电量为，则每一极小段带电量在P点处产生电场的水平分量为则所有极小段带电体在P点处产生电场的水平分量其中由以上解得对金属带小球进行受力分析，可得解得金属带电小球的电量设r为P、P'两点之间的长度，由几何关系则带电金属小球在P'处的电场为由此可得根据对称性可知，带电量为Q的金属环，在P、P'两点的场强大小相等，方向相反，即带电量为Q的金属环在P'点的场强大小为，而P'点的场强大小是圆环与带电金属小球在P'处的电场强度的叠加，则有（2）见（1）详解，金属带电小球的电量考点三电场强度的理解及计算知识点一电场强度的性质矢量性规定电场中某点的电场强度的方向与正电荷在该点所受的静电力的方向相同唯一性电场中某一点的电场强度E是唯一的，它的大小和方向与放入该点的试探电荷q无关，它决定于形成电场的电荷(场源电荷)及空间位置叠加性如果有几个静止点电荷在空间同时产生电场，那么空间某点的电场强度是各场源电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和知识点二电场强度三个表达式的比较表达式比较E＝eq\f(F,q)E＝keq\f(Q,r2)E＝eq\f(U,d)公式意义电场强度定义式真空中静止点电荷电场强度的决定式匀强电场中E与U的关系式eq\f(U,d)适用条件一切电场①真空②静止点电荷匀强电场决定因素由电场本身决定，与q无关由场源电荷Q和场源电荷到该点的距离r共同决定由电场本身决定，d为沿电场方向的距离知识点三等量同种和异种点电荷的电场强度的比较比较项目等量异种点电荷等量同种点电荷电场线的分布图连线中点O处的场强连线上O点场强最小，指向负电荷一方为零连线上的场强大小(从左到右)沿连线先变小，再变大沿连线先变小，再变大沿连线中垂线由O点向外场强大小O点最大，向外逐渐变小O点最小，向外先变大后变小关于O点对称的A与A′，B与B′的场强等大同向等大反向考向1电场强度的理解例1（25-26高三上·广西柳州·期末）为测电场中a点的场强，现在a点放上一电荷量为的试探电荷，受到的静电力大小为F，方向水平向左，求得a点的场强大小为；若在a点换上另一电荷量为的试探电荷，求得a点的场强（）A．大小为，方向水平向右 B．大小为，方向水平向左C．大小为，方向水平向左 D．大小为，方向水平向右【答案】C【详解】根据电场强度的定义式有由于电场强度由电场自身决定，与试探电荷无关，可知，更换为后，场强大小仍为，方向不变，即a点的场强大小为，方向水平向左。故选C。【变式训练1·变载体】在静电场中有a、b两点，试探电荷在两点的静电力F与电荷量q满足如图所示的关系，请向a、b两点的场强大小等于（）A．3∶1 B．9∶1 C．1∶3 D．1∶9【答案】B【详解】设F−q图像的横坐标单位长度电荷量为q0，纵坐标单位长度的力大小为F0，根据可知F−q图像斜率表示电场强度，由图可知，所以a、b两点的场强大小故选B。【变式训练2】关于电场强度、电势差和电容，下列说法正确的是（）A．由公式可知，电场中某点的电场强度与成正比B．由公式可知，电容器的电容与极板带电荷量成正比C．由公式可知，在离点电荷距离为的地方，电场强度的大小与成正比D．由公式可知，任何电场中任意两点间的电势差等于电场强度与这两点间距离的乘积【答案】C【详解】A．公式采用比值定义法，电场强度由电场本身决定，与试探电荷所受的力无关，故A错误；B．公式中，电容由电容器结构决定，与和无关，故B错误；C．公式中，场源电荷的大小直接决定电场强度，当固定时，与成正比，故C正确；D．公式仅适用于匀强电场，且为两点沿电场方向的距离，故D错误。故选C。考向2点电荷的电场及叠加例2（2025·江西·二模）如图所示，等边三角形ABC的三个角上固定着三个等量同种的点电荷，此时，在AC边的中点D的电场强度大小为E。现将固定在A点的点电荷撤去，则D点的电场强度大小变为（）A． B． C．4E D．2E【答案】A【详解】设等边三角形的边长为，点电荷的电量为，因A、C两点电荷在D点的场强抵消，则D点的合场强为将固定在A点的点电荷撤去后，C处的点电荷在D点的场强为则D点的合场强为故选A。【变式训练1·变考法】（2025·四川绵阳·三模）（多选）如图所示，真空中的直角坐标系xOy，以O为圆心、半径为1m的圆与坐标轴交于A、B、C、D四点。在x轴上-2m和2m处，分别固定电荷量为+4q和-q的两个点电荷。则（）A．A、C两点电场强度大小相等，方向不同B．A、C两点电场强度大小不等，方向相同C．B、D两点电场强度大小相等，方向不同D．B、D两点电场强度大小不等，方向相同【答案】BC【详解】AB．根据电场叠加原理可知，两个点电荷在A、C两点电场强度方向相同，合场强方向均沿x轴正方向，设+4q的点电荷到A点的距离为r，A点电场强度大小C点电场强度大小所以A、C两点电场强度大小不等，故A错误，B正确；CD．两点电荷在B、D两点的电场强度如图+4q在D点的电场强度大小-q在D点的电场强度大小则所以D点的合场强方向与x轴有一定夹角偏向y轴正方向，由于电场的对称性可知B点的合场强方向与x轴有一定夹角偏向y轴负方向，所以B、D两点电场强度方向不同；由于电场的对称性可知B、D两点电场强度大小相等，故C正确，D错误。故选BC。【变式训练2】真空空间中有四个点o、a、b、c，任意两点间距离均为L，点d（未画出）到点o、a、b、c的距离均相等，如图所示。在a、b两点位置分别放置电荷量为q的正点电荷，在连线的某点处放置正点电荷Q，使得d点的电场强度为零。则Q的电荷量为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】根据题意分析d点的位置，已知o、a、b、c构成正四面体，则由于d与各点等距，所以d位于正四面体的中心，根据几何关系可得在a、b两点位置分别放置电荷量为q的正点电荷，由于对称性分析得这两个点电荷在d点所产生的合场强方向垂直与oc，指向oc的中点e，根据几何关系可得故使得d点的电场强度为零，则正点电荷Q应当防止于e点，正点电荷Q在e点所产生的场强为结合空间几何关系，a、b处电荷量为q的正点电荷在d点产生的合场强大小为因e点合场强为0，得解得B正确，ACD错误。故选B。考向3非点电荷电场强度的叠加例3如图所示，三根长度相同的绝缘均匀带电棒组成等边三角形，带电量分别为+Q、+Q和，其中一根带电量为+Q的带电棒在三角形中心O产生的电场强度大小为E，则O点电场强度的大小为（

）A． B．E C． D．【答案】C【详解】由等边三角形的特点，结合点电荷场强公式场强叠加和对称性知，三根导体棒在O点产生的场强分别为E、E和，如图所示由场强的叠加知，O点的合场强大小；故选C。【变式训练1·变考法】（多选）如图所示，A、B两点确定的水平直线过均匀带电薄板的中心且与薄板垂直，电荷量为的点电荷放在该直线上与均匀带电薄板相距2d，A、B两点在薄板两侧且与薄板间距均为d。若图中A点的电场强度大小为（k为静电力常量），方向沿AB连线，则图中B点的电场强度大小为（）A． B．C． D．【答案】CD【详解】点电荷在A点产生的电场强度大小为，方向水平向左。若A点的电场强度大小为，方向水平向右，说明均匀带电薄板在A点产生的电场强度大小为，方向水平向右；由A点和点关于薄板的对称性可知薄板在点产生的电场强度大小为，方向水平向左；点电荷在点产生的电场强度大小为，方向水平向左；故点的电场强度大小为，方向水平向左，若A点的电场强度大小为，方向水平向左，同理可求点的电场强度大小为故选CD。【变式训练2】均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面AB上均匀分布着总电荷量为q的正电荷，球面半径为R，CD为通过半球顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，，已知M点的电场强度大小为E，静电力常量为k，则N点的电场强度大小为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】右边补齐半球面，电荷量为2q的球型在N点产生的电场强度大小为由于对称性可得，N点实际的电场强度大小故选A。考向4带电球壳、球体的电场例4均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处的点电荷产生的电场。如图所示，在绝缘球球面上均匀分布正电荷，总电荷量为q；在剩余球面AB上均匀分布负电荷，总电荷量是。球半径为R，球心为O，CD为球面的对称轴，在轴线上有M、N两点，且，。已知球面在M点的场强大小为E，静电力常量为k，则N点的场强大小为（）A．E B．2E C． D．【答案】C【详解】将AB部分补上，使球壳变成一个均匀带正电的完整的球壳，完整球壳带电荷量为为保证电荷量不变，球面AB带负电荷量为q，则该球壳带正电的部分在M点产生的场强为根据对称性可知：①带正电的部分完整球壳在N点产生的场强大小②球面AB带负电荷量为q，在N点产生的场强大小为2E，两者方向相反；则N点的场强大小为故选C。【变式训练1·变考法】（2025届河北省廊坊市名校高三下学期5月质量检测（三模）物理试卷）如图所示，半径为的绝缘球壳，球心为，球壳上均匀分布着负电荷，已知均匀带电的球壳在其内部激发的场强处处为零.现在球壳表面处取下一面积足够小、带电量大小为的曲面，将其沿连线延长线向上移动至点，且，若球壳的其他部分的带电量与电荷分布保持不变，且静电力常量为，下列说法中正确的是（

）A．球壳内部的电场线为直线B．球心点场强的大小为C．取无穷远处电势为零，则点的电势为负D．连线中点的场强大小为【答案】C【详解】A．球壳表面处取下一面积足够小、带电量为的曲面，相当于在球壳表面点处放入等电荷密度、等面积的带正电荷的曲面，球壳剩余部分的电荷在球壳内部激发的电场可以看作两部分电荷电场的叠加，一部分是原球壳上均匀分布的负电荷在内部激发的电场，处处为零；另一部分是球壳上位于处的等量正点电荷激发的电场，故球壳剩余部分的电荷在球壳内部激发的电场等同于只有处的一个正点电荷激发的电场。将其移到位置后，球壳内的电场相当于两个等量异种电荷产生的电场，球壳内部的电场线不是直线，故A错误；B．球心点场强大小，故B错误；C．球壳上均匀分布负电荷，由负电荷周围的电势分布可知，球心点的电势为负，故C正确；D．连线中点的场强的大小相当于球面上电荷与点电荷共同产生的，由于不知道球面电荷量，无法计算电场强度，故D错误。故选C。【变式训练2】（2025·河北·模拟预测）对于表面电荷均匀分布的球壳，球壳内部任意一点的电场强度的矢量和均为零，而球壳外部的电场强度分布与将球壳总电荷视为集中于球心的等效点电荷所激发的电场强度一致。一个半径为R、电荷量为+Q的金属球，其内部有一个与其同心且半径为的球形空腔。现在其球心位置放一电荷量为+q的点电荷，当金属球达到静电平衡时，电场线的分布如图所示，下列说法正确的是（）A．金属球内表面上的负电荷的电荷量为B．金属球外表面上的正电荷的电荷量为C．距离球心为处的某点，该处电场强度大小为0D．距离球心为2R处的某点，该处电场强度大小为【答案】BD【详解】AB．由题意可知，金属球壳内部的电场强度处处为零，所以金属球内表面的电荷量为，金属球原来的电荷量为+Q，所以此时外表面的电荷量为，选项A错误，选项B正确；C．金属球上的电荷量对空腔无影响，所以距离球心为处的某点，此处电场强度大小不为0，选项C错误；D．距离球心为2R处的某点，该处电场强度大小为，选项D正确。故选BD。考点四电场线的应用知识点电场线的特点1.判断电场强度的方向——电场线上任意一点的切线方向即为该点电场强度的方向。2．判断静电力的方向——正电荷的受力方向和电场线在该点切线方向相同，负电荷的受力方向和电场线在该点切线方向相反。3．判断电场强度的大小(定性)——同一电场，电场线密处电场强度大，电场线疏处电场强度小。4．判断电势的高低与电势降低的快慢——沿电场线方向电势逐渐降低，电场强度的方向是电势降低最快的方向。考向1等量同（异）种电荷电场线分布例1（多选）用电场线能直观、方便地比较电场中各点电场强度的强弱。如图甲是等量同种正点电荷形成电场的电场线，图乙是电场中的一些点。已知两点电荷带电量均为，两电荷间距离为，是两电荷连线的中点，、是两电荷连线中垂线上的两点，，、和、均是两电荷连线上相对对称的点，，下列说法正确的是（）A．、两点处没有电场线，则场强均为零B．、两点电场强度大小相等，方向相反C．点和点电场强度相同D．点电场强度大小大于点电场强度大小【答案】BD【详解】A．根据等量同种电荷电场分布特点可知B、C两点的场强不为零，故A错误；B．根据对称性可知，A、D两处的电场线疏密程度相同，则A、D两处的电场强度相等，由甲图可看出A、D两处的电场的方向相反，故B正确；C．根据对称性可知，G、F两处的电场线疏密程度相同，则G、F两处的电场强度相等，由甲图可看出G、F两处的电场的方向相反，故C错误；D．两电荷在G处产生的场强均为根据电场的叠加法则可知两电荷在A处产生的合场强均为所以A点电场强度大小大于G点电场强度大小，故D正确。故选BD。【变式训练1·变载体】（多选）如图所示是实验室模拟出的等量异种电荷电场线的显形平面图片，该平面中有A、B、C、D四个点，其中B、C两点处在等量异种电荷连线的中垂线上，下列说法正确的是（）A．A点的电场强度要大于B点的电场强度B．将一个电子从C点由静止释放，它可能会沿着电场线运动到D点C．B点的电场强度小于C点的电场强度D．将一个质子从B点由静止释放，运动到A点过程中，加速度逐渐增大【答案】AD【详解】A．电场线越密，电场强度越大。A点的电场强度要大于B点的电场强度，A正确；C．电场线越密，电场强度越大。B点的电场强度大于C点的电场强度，C错误；B．将一个电子从C点由静止释放，它不会沿着电场线运动到D点，因为C、D两点间的电场线不是直线，B错误；D．将一个质子从B点由静止释放，运动到A点过程中，电场线越来越密，质子所受到的电场力越来越大，加速度逐渐增大，D正确。故选AD。【变式训练2】如题图，空间中A点和B点存在两等量同种正点电荷，O点是两点电荷连线的中点，现以O点为圆心，在两点电荷连线中垂面内作一个圆，圆上有M、N、P三点，其中O、Q分别是线段MN和OP的中点。用φ表示各点的电势，则下列关系中一定正确的是（）A．P点的场强方向平行于ABB．P点处的电场强度一定大于Q点处的电场强度C．φM＝φN＜φPD．O点的场强为零【答案】D【详解】A．根据等量同种电荷的电场分布可知，P点的场强方向垂直于AB，选项A错误；B．根据等量同种电荷的电场分布可知，从O点向垂直AB向外方向的场强先增加后减小，则无法确定P点处的电场强度与Q点处的电场强度大小关系，选项B错误；C．因MNP三点到两个等量点电荷间的距离相等，可知三点电势相等，即φM＝φN=φP，选项C错误；D．根据等量同种电荷的电场分布可知，O点的场强为零，选项D正确。故选D。考向2不等量点电荷或多个点电荷周围电场线分布例2如图所示为一对不等量异种点电荷的电场线分布，下列说法正确的是（）A．的电性无法确定B．B处没画电场线，故B处电场强度为零C．电子在A点受到的静电力大于在B点受到的静电力D．电子在A点的加速度小于在B点的加速度【答案】C【详解】A．根据题图电场线方向由指向，可知带正电，故A错误；B．电场线实际并不存在，没有画出电场线的位置不代表没有电场，根据电场强度叠加原理可知B处电场强度不为零，故B错误；CD．根据电场线的疏密程度可知，A点的场强大于B点的场强，则电子在A点受到的静电力大于在B点受到的静电力，根据牛顿第二定律可知，电子在A点的加速度大于在B点的加速度，故C正确，D错误。故选C。【变式训练1·变考法】空间存在电荷量分别为＋2q、－q（q>0）的点电荷，它们的电场线分布情况如图所示，A点是两电荷连线的中点，到两电荷的距离均为L，C点是两电荷连线延长线上的一点，到正电荷的距离也为L，B点与A点在同一条等势线上，静电力常量为k，下列说法正确的是（）

A．A、B两点的电势相等，电场强度也相同B．A点的电场强度大小为C．C点的电场强度大小为D．两点电荷连线上电场强度为0的点与负电荷间的距离为【答案】B【详解】A．由于B点与A点在同一条等势线上，则A、B两点的电势相等，由于电场线分布的密集程度表示电场的强弱，根据图示可知，A点与B的电场强度大小与方向均不同，故A错误；B．根据点电荷的场强公式和电场的矢量叠加原理可知，A点的电场强度大小为故B正确；C．根据点电荷的场强公式和电场的矢量叠加原理可知，C点的电场强度大小为故C错误；D．两电荷连线延长线上，位于负电荷的右侧，有一点的电场强度为0，设此点与负电荷的距离为d，则有解得故D错误。故选B。【变式训练2】如图甲所示，、为两个固定点电荷，其中带正电，它们连线的延长线上有、两点。一带正电的试探电荷以一定的初速度沿直线从点开始经点向远处运动，其速度图像如图乙所示。则下列说法正确的是（）A．的电荷量可能小于的电荷量B．点右侧的电势先降低后升高C．在、之间放置一个点电荷，该点电荷可能处于平衡状态D．在左侧的连线延长线上不存在电场强度为零的点【答案】D【详解】A．根据v-t图线可知，试探电荷经过a点时的加速度为零，所以电荷在a点所受的电场力为零，a点的电场强度必为零，即Q1、Q2在a点产生的电场强度等大、反向，故Q2一定带负电，因Q1距离a点较远，根据点电荷的电场强度公式：，可知，Q1所带电荷量一定大于Q2所带电荷量，故A错误；B．分析图象可知，试探电荷从b点向右侧运动的过程中，速度先减小后增大，则动能先减小后增大，只有电场力做功，动能和电势能之和恒定，则电势能先增大后减小，由于试探电荷为正，则b点右侧的电势先升高后降低，故B错误；C．因Q2带负电，在Q1、Q2之间电场强度向右，放置一个点电荷，不能处于平衡状态，故C错误；D．a点的场强为零，根据库仑定律可知，电荷量Q1＞Q2，在Q1的左侧，场强方向向左，不存在为零的位置，故D正确。故选D。考点五静电场中的动力学分析考向1静电力作用下的直线运动例1如图所示，光滑绝缘水平面上有三个质量均为m的带电小球，A、B球带负电，电荷量均为2q。有一水平拉力F作用在C球上，如果三个小球能够保持边长为r的正三角形“队形”一起沿拉力F方向做匀加速直线运动，静电力常量为k，则下列说法正确的是（）A．A、B之间的库仑力为B．A、B之间的库仑力为C．C球带正电，且电荷量为2qD．C球带正电，且电荷量为q【答案】A【详解】CD．运动中间距不变，则三球加速度相同，方向水平向右，因为A、B两球的电量均为-2q，所以B球受到A的斥力向下，则受到C球的力为吸引力，所以C球带正电，设C球所带电量为Q，对B球受力分析，有解得故CD错误；AB．根据库仑定律可得A和B球之间的库仑力为故A正确，B错误。故选A。【变式训练1·变载体】（多选）（2025·湖北·一模）如图所示，与水平方向成30°角的固定光滑滑杆，滑杆正下方某位置固定带正电小球A，小球A与滑杆上N点水平距离为L，小球A与N点等高，滑杆上M点与小球A连线跟水平方向夹角为60°，P点为MN中点，带正电小球B套在滑杆上，由M点无初速释放，释放瞬间小球B的加速度大小为，方向沿杆向下，小球B质量为m，电量为q，小球A在M点的电势为，已知点电荷电势公式为（Q为点电荷电量，r为距离点电荷的距离），重力加速度为g，下列说法正确的是（）A．小球B到达P点时的加速度大小为B．小球B电势能最大时的动能为C．小球B到达N点时加速度大小为D．小球B到达N点时的速度大小为【答案】BC【详解】A．受力分析知小球B到达P点时加速度大小为故A错误；B．由几何关系可知，M点、P点距离小球A距离分别为，根据点电荷电势公式为则P点电势小球B在P点电势能最大，由能量守恒有得故B正确；C．小球B在M点加速度为，由牛顿第二定律有小球B到达N点时加速度为，由牛顿第二定律有得故C正确；D．由于M点与N点电势相同，小球到达N点速度为，由动能定理有得故D错误。故选BC。【变式训练2】如图所示，质量的带正电小球A套在光滑的竖直绝缘细杆上，杆底端固定一个与小球A电荷量相等的小球B，整个装置处在真空中。小球A从离底端的位置由静止释放后沿杆下滑，刚释放时加速度大小。已知静电力常量，取重力加速度。求：(1)小球A所带的电荷量Q；(2)小球A速度最大时与B的距离H；(3)已知小球的最大速度为，求（2）下降H过程中库仑力所做的功W。【答案】(1)；(2)；(3)【详解】（1）小球刚释放时受重力与库仑力，根据牛顿第二定律，则有其中刚释放时加速度大小为解得（2）当小球加速度时，速度最大，则有解得（3）对小球从静止释放到速度最大，由动能定理，有解得考向2静电力作用下的曲线运动例2（多选）如图所示，光滑绝缘的水平面上有一质量为m、带负电的小球A，在距水平面高h处固定一带正电且带电荷量为的小球B。现使得小球A获得一水平初速度，使其恰好能在水平面上做匀速圆周运动，此时两小球连线与水平面间的夹角为30°，小球A恰好对水平面没有压力。已知A、B两小球均可视为点电荷，静电力常量为k，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（）A．两小球间的库仑力大小为2mgB．小球A做匀速圆周运动的向心力大小为2mgC．小球A做匀速圆周运动的线速度大小为D．小球A所带的电荷量【答案】AC【详解】AB．对小球B受力分析可知两小球间的库仑力大小小球A做匀速圆周运动的向心力大小为选项A正确,B错误；C．小球做圆周运动的半径为，根据向心力公式有解得小球A做匀速圆周运动的线速度大小为选项C正确；D．根据库仑定律可以解得小球A所带的电荷量为选项D错误。故选AC。【变式训练1·变载体】光滑绝缘水平转台上有两个等量异种电荷（可视为点电荷）被约束在相距为的位置，带电量为，质量都为，已知静电力常量，求：(1)两电荷之间的库仑力大小；(2)同时释放两个电荷，求两个电荷相距为时加速度大小；(3)若解除对两个电荷的约束，请设计方案使两个点电荷间距保持d不变。【答案】(1)；(2)；(3)见解析【详解】（1）根据库仑定律

解得（2）

解得

解得（3）当两电荷间的库仑力刚好提供向心力时，d可以保持不变，即

两电荷绕两者连线中点匀速转动

解得【变式训练2】物体做曲线运动的情况较复杂，一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替，如图甲所示，曲线上A点的曲率圆定义为通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫作A点的曲率圆，其半径r叫作A点的曲率半径，在分析物体经过曲线上某位置的运动时，就可以按其等效的圆周运动来分析和处理。(1)氢原子核外的电子绕核做匀速圆周运动，其周期为T，已知电子的电荷量为e，质量为m，静电力常量为k，求电子运动的轨道半径R。(2)将一物体沿与水平面成角的方向以速度抛出，如图乙所示.已知重力加速度为g，求其轨迹最高点P处的曲率半径r。【答案】(1)；(2)【详解】（1）根据库仑定律和牛顿第二定律有解得电子运动的轨道半径（2）物体在最高点的速度为，根据牛顿第二定律有解得曲率半径1．（2023·上海·高考真题）如图所示，a为匀强电场，b为非匀强电场，三个电荷用轻棒连接为正三角形，则整个系统受合力的情况是（

）

A．a为0，b为0 B．a为0，b不为0 C．a不为0，b为0 D．a不为0，b不为0【答案】B【详解】对于图a，由于是匀强电场，设电场强度为E，则两个＋q的电荷受到的电场力为2Eq方向沿电场线向上，一个－2q的电荷受到的电场力为2Eq方向沿电场线向向下，则图a整个系统受合力为0；同理分析，由于两个＋q的电荷所在的场强更弱，则图b整个系统受合力不为0。故选B。2．（2024·江苏·高考真题）在静电场中的A、B两点放置试探电荷，其受到的静电力F与试探电荷的电荷量q的关系，分别如图中直线、所示。、两点的电场强度之比为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】设图像的横坐标单位长度电荷量为,纵坐标单位长度的力大小为根据可知图像斜率表示电场强度，由图可知可得故选D。3．（2023·上海·高考真题）三个大小相同的带电导体球，带电量分别为、和，让与先接触，然后让与接触，最终所带的电荷量为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】相同大小的三个带电导体球，根据电荷守恒定律得，与先接触后两球分别带电为再让与接触，两球最后分别带电为故选A。4．（2025·广西·高考真题）用带电玻璃棒接触验电器的金属球，移走玻璃棒，验电器内的两片金属箔张开，稳定后如图。图中a、b、c、d四点电场强度最强的是（

）A．a点 B．b点 C．c点 D．d点【答案】D【详解】bc两点分别在金属外壳内部和金属杆的内部，则两点的场强均为零；在金属箔上的最下端电荷分布比金属球上更密集，且d点距离金箔的下端较近，可知d点的场强比a点大，则电场强度最大的点在d点。故选D。5．（2024·河北·高考真题）如图，真空中有两个电荷量均为的点电荷，分别固定在正三角形的顶点B、C．M为三角形的中心，沿的中垂线对称放置一根与三角形共面的均匀带电细杆，电荷量为．已知正三角形的边长为a,M点的电场强度为0，静电力常量的k．顶点A处的电场强度大小为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】B点C点的电荷在M的场强的合场强为因M点的合场强为零，因此带电细杆在M点的场强，由对称性可知带电细杆在A点的场强为，方向竖直向上，因此A点合场强为故选D。6．（2