江苏南通市通州区2026届高三年级下册期初测试数学试卷（试卷+解析）

高三年级数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

工_2

1.已知复数G+i,则回=()

A.1B.y/jC.2D.V5

2.已知集合M=(-l,3),N=(O,+8),则集合(-1,0]=()

A.3何)CNB./(他N)C.Q(MDN)D,m(McN)

3.设直线。，2的倾斜角分别为4,%，斜率分别为的，3,则“4＞名”是“用＞22”的()

A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

1-

4.已知向量〃，/?满足4•/?＞()，ci在上的投影向量为C，C,在4上的投影向量为5。，则〃与的夹角

为()

A.30°B.45°C.60°D.90°

—,则sinja-4兀

5.已知cos2a+—=4-COS6Z=()

【3j2516

34

A.一B.c±5D

55-4

偶函数，且/(x+l)是奇函数，/(一；)=2,

6.已知/(x)是定义域为R)

A.-2B.2C.-4D.4

7.已知三棱柱48C—AgG的棱长均为2,A在底面A3C内的射影为V44C的中心，则A到平面

8CG4的距离为()

A.1B.72C.6D.2

8.已知q,a2,小，%成等比数列，且4=2,ew/%=4+%+%，则()

A.q<生B.4<%C.a2>a.D.a4>a2

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知双曲线C：f一士二ig>o）的左、右焦点分别为R,F,,以"K为直径的圆与C的一个交点为

b-

P,且归周=2|”则（）

A.|历|=4

B.。的离心率为逐

C.。的渐近线方程为），=土;x

D.分别以PR,为直径的圆的公共弦长为竽

10.设4,8是一个随机试验中的两个事件，且P（A）=g,7尸（A+8）=2,则（

)

6

A.A，3是相互独立事件B.事件A，8互斥

C.P（A+B）=P（B）D.P（B|A）=P（A|B）

11.已知函数/'（X）=cosnx・sin27u,贝ij（）

A./(x+l)=/(x)B./(l-x)=/(x)

C.7（A）值域为卜孚，半

D.7（力在上单调递增

JJ

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若不入2,…，均的方差为4,则2（%-2）,2（巧—2）,…,2（x〃—2）的方差为.

13.已知VA8c的面积为1,taaA=-,tanB=-2,则.

2

14.已知斜率为T的直线与曲线y=e'-x,（x>0）,y=1-x—hu•分别相交于A（%,yJ,8（9,%）两

点，则2x}+ex2的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同,进货成本每瓶4元，售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处

理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位:C）有关.如果最

高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位「区间［20,25）,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,

需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前二年六月分各天的最高气温数据，得下面的频数分布

表:

最高[10,[15,[20[25,[30,[35,

气温15)20)25)30)35)40)

天数216362574

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.

(I)求六月份这种酸奶一天需求量x(单位:瓶)的分布列.

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为y(单位:元)，当六月份这种酸奶一天的进货量〃(单位:瓶)为多少时,Y

的数学期望达到最大值？

16.如图1,在正三角形A3。中，BC=4,D,E分别是AC,AB上的点，CD=BE=],()为BC

的中点.将VAOE1沿OE折起，得到如图2所示的四棱锥P-BC力E,使得P。二卡.

图1图2

(1)证明：PO_L平面8cOE；

(2)求二面角3-尸。一。的正弦值.

17.已知点A，B,C,。都在抛物线石：炉=4y上，且。。=2AB，线段AN，CO的中点分别为

M,N.

(1)证明：直线MV垂直于“轴；

(2)直线A3经过曲线上的焦点/，直线AO与3c相交于点P,求面积的最小值.

18.设函数/(x)=(x-l)e’一加.

(1)讨论F(x)的单调性；

(2)若有两个零点X-x2t<x2.

①求实数0的取值范围；

11八

②证明：一+—>0.

X%

19.设无穷数列｛g｝前〃项和为S.,若4=1,5“=气但■+%,keR,则称数列｛为｝为'“型”

数列.

（1）若数列｛q｝为'"型”数列，且％=0,求生，。3，%的值；

（2）若数列｛q｝为“A型”数列，且〃<0,求数列｛q｝的通项公式;

（3）若“攵型”数列｛〃"｝中可以存在无穷多项为0,求女的取值集合.

高三年级数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

工_2

1.已知复数G+i，则目=()

B.GD.石

【答案】A

【解

2(G-i)

2回。_61.

【详解】复数z二

V3+i-(V3+i)(>5-i)-4-T-2

则目=

2.已知集合M=(-l,3),N=(O,~HX),则集合(一1,0]=(

A.他M)cNB.M他N)C.Q(MDN)D."(MeV)

【答案】B

【解析】

【分析】利用集合的运算，求出4N,再结合条件，即可求解.

【详解】因为N=(O,y),则QN=(Y,0],又M=(-1,3),则(T,0]=M。值N).

3.设直线八％的倾斜角分别为4，4,斜率分别为占，k2,则“4>4”是>&”的()

A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

【分析】利用举反例来作出既不充分也不必要条件的判断.

【详解】举反例：取4=120,%=30,满足

但公=tan120=—>/3,k2=tan30，此时仁〈左2，

举反例：取k、=0（对应4=6D）,k2=-\（对应q=135）,

满足匕＞的，但4=60＜135=仇,

因此“4＞。2”是“4＞网”的既不充分也不必要条件.

4.已知向量4，力满足〃功＞0,4在上的投影向量为c，c在〃上的投影向量为;。，则〃与人的夹角

为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量的数量积及投影向量公式求解即可.

【详解】设向量〃与〃夹角为6.

ab

因为〃力＞0,所以cos9=-X)

困b

所以。加bab

因为4在8上的投影向量为C，=TTh®'

bH

ca1.1Ip

c在4上的投影向量为I=I.i2d，所以।_|2a=y,即自a=上同-②.

l问)1^1同同

a,b11I卜人6)~bcos(9

ba=a=|d|2cos26>=1|d|2,

将①代入②中，-ra'^\\,即

\b\

bb

所以cos2e=』，因为cos6＞0,所以cos6=YZ,所以。=45。.

22

c兀7/,,.兀

5.已知cos2a+———，则sina——+COS6Z=()

32256

34D

A.一B.-c'±9

554

【答案】C

【解析】

【分析】利用二倍角公式求得，ina+F，再利用两角和与差的三角函数公式和辅助角公式化简

InJ

sin"用",可得结果.

k6J

【详解】由cos2a+^=—=>l-2sin2«+=—=>sin2L+A—nsin

\3j25\v)25I6j25

,.71.兀J5.1

[+COS6?=sinczcos——cosasin—+cosa=—sma+—cos«=sina+4

^T~l6622I6,

6.已知/(x)是定义域为R的偶函数，且〃x+l)是奇函数，-g)=2,则。图=()

A.-2B.2C.-4D.4

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数的对称性推出4为/(X)的一个周期，利用对称性和周期性得£/(g)=0,从而可得

18(八(1

-=f\-+/(1)，代入即得答案.

A=1\^7C

【详解】因为/(X+1)是R上的奇函数，所以/(x)关于(1,0)中心对称，

所以7(1)=0,/(-x)=-/(x+2),

又因为/(力为偶函数，所以〃-力=/("，

所以/(x)=-/(%+2),则/(R+2)=-/(X+4).

所以〃力=〃x+4),即4是函数f(x)的一个周期.

由了(八)关于(i,o)中心对称知，/(小十/6卜。，

由/(力=一〃三+2)知,/(3)=-/0)=0,/(2)+/(4)=0,

乂同“㈢3/7

所以(也5、卜也(7卜、。,

/1\35

Xz/\

所//

以/1/23/4O

+I++^++十+()=

2-/2-\(2-\/

\7

/2z5\

/

所以1+

ZE/-(-+

I2\27・•(9

7.己知三棱柱ABC—A4G的棱长均为2,A在底面A8C内的射影为V48c的中心，则A到平面

BCG用的距离为（）

A.IB.72C.75D.2

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意结合等边三角形和棱柱的性质求解棱柱的高，然后建立空间直角坐标系，确定

4也co，A，历的坐标，进而求解平面BCG用的法向量，最后利用点到平面距离公式求解.

【详解】由三棱柱ABC-的所有棱长均为2，

可得VA3c为边长为2的等边三角形，侧棱44=2.

设A,在底面ABC内的投影为0,则4。，平面ABC,

由V48c的边长2,可得高//=2-sin工=2XX3=J5,

32

则0到顶点A的距离AO=20=22g.

如图所示，取5c的中点M为原点，以直线M4为X轴，直线MB为y轴,

过M点且垂直于底面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，

可得4、反0,0),8(0,1,0),C(0,-l,0),。(匕0,0)，

故明=AA=(一苧^,0,

，"C-(0,-2,0),=(—,0,

设平面BCC】Bi的法向量为〃=Q,)，,z),

^-BC=0-2y+0=0,_n

y-v

I2g八26八01仄，令z=1得力=(>/2,0,1)>

n-BB.=x+0+z=0x=\/2z

、133

n八八nIA/fAIX近十()X()+2瓜X1

所以A到平面BCG用的距离J-FIMA^•利一_3心+0"3;_一幽耳_”、5

8.已知q,%,%，%成等比数列，且4=2,=4+/+%，则()

A.q<a2B.4<a3C.a2>a.D.a4>a2

【答案】D

【解析】

【分析】设/(x)=2(l+x+x2+x3)-]n(2(l+x+Y)),分析函数的单调性，利用函数零点存在性的判

定定理，确定函数/(“零点所在的区间，即等比数列公比的取值范围，再比较各项的大小.

【详解】设等比数列的公比为

2+2<z+2</2+2

则渣,+0+5+%=67|+6724-a3=>e^=2+2q+2q2=2+24+2夕？+2g3=|n(2+2g+2d).

设/(%)=2(1+/+%2+x3)-ln[2(l+x+x2)),

2(1+2力2(1+2A+3X2)(1+X+X2)-(1+2X)

则r(x)=2(l+2x+3f)

2(1…f)=FP

6/+10北+12上+41+1(1+2工+2巧(1+2x+3x2)+3x2

22

1+X+A\+x+x

if3(1VI1

因为X?+X+1=x+-+—>0»2,x~+2.x+1=2x+—I4—>0>

2j422

3x~+2A'+1=3fxH—।H—>0>3A2之0»

I3j3

所以/'（x）>0在R上恒成立.所以函数/（x）在R上单调递增.

又〃-l）=2（l-l+I）-ln2（l+l）=-ln2<0,/（0）=2-ln2>0.

所以函数/（x）只有1个零点，且该零点在（一1,0）.

所以公比一lvq<0.

因为。1=2,a?=2q<0,所以％>%,故A错误；

因为％=2夕2>0,又一所以d<|,所以4>%，故B错误；

因为。2<0，%>0，所以。2<%，故C错误；

因为％=2/<0,且%—％=2q（g2-1）,由一lvq<0,录<1,所以%-%>。，所以4>生，故

D正确.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

2

9.已知双曲线C:Y-与=1仍>（））的左、右焦点分别为片，F2,以斗鸟为直径的圆与C的一个交点为

P,且|P£|=2|P闾,则（）

A.|尸制=4

B.C的离心率为逐

C.。的渐近线方程为），=±；x

D.分别以P"，F八为直径的圆的公共弦长为逑

5

【答案】ABD

【解析】

【分析】由双曲线的定义与性质解ABC,对于D,先求出点/>的坐标，再分别求出两个圆的方程，将它们

相减得到公共弦的方程，进而可由勾股定理求公共弦的弦长.

【详解】由题意得。的焦点在x轴上，且々=1,如图：

对于A,所以|尸用一|%|二勿=2,因为|尸二二2|尸闾,

代人得21P周一归周=|P&=2,则归用=2归周=2x2=4,故A正确;

对于B,由题意得旧图为圆。的直径，。在圆。上，

则有|P国2+|巴4=闺用2,即忧用="万=26,所以2c=26,C=JL

所以b=[(逐)2—12=2,则C：f?=],

则e=£二无=后，故B正确；

a1

对干C,渐近线方程为尸土”=±?x=±2x,故C错误；

a1

对干D,如图：

设点P(x,y)，由题意得小一石,0),g(石,0),

+y2=4

5厂，即P

则有—，解得•，~5-

+y2=24V5

y-

--75—+0^(/72乖、

则以尸耳为直径的圆的圆心为工^—，号一，即他•七,半径4=2,

所以方程为-1

4,

延+0

孚6

5_____

则以为直径的圆的圆心为,即,半径为4=1,

~T~2

4回

所以方程为x-I,

5>

40

两圆方程相减=4-1,

5J

整理得工=上叵，即两圆公共弦的方程为工=述

55

到工=述的距离d=也，

易得

则公共弦长/=2后彳

i75

10.设A,8是一个随机试验中的两个事件、且P（A）=—,P（B）=—,尸（A+8）=二，则（）

236

A.A，8是相互独立事件B.事件A，8互斥

C.P（A+B）=P（B）D.P（B|A）=P（A|B）

IJAC

【解析】

【分析】利用独立事件•、互斥事件的定义与概率公式即可判断选项A、B、C,利用条件概率的定义与公式

即可判断选项D.

512

【详解】根据概率加法公式可知P（A+8）=尸（A）+P（8）—P（A3）,即：=7+

623

所以P（A3）=；.

I21

选项A：因为。（A）•尸（3）=-x-=-=P（4B）,所以A,B相互独立，故A正确.

33

选项B：若A,B互斥,则P（AB）=O,但P（48）=gwO,放B错误.

P（AB）=P（A）-P（.4B）=1-1=1,

选项C：P（B）=l-P（B）=l--=一,

33

1112

P（A+B）=P（A）+P（5）-P（AB）=---1--------=—=P（8）,故C正确.

2363

选项D：呼网=需邛4咿⑹=需=隼需叽寸T故D错谀

23

11.已知函数/（X）=COSTLY与。2心，则（）

A./（X+1）=/（X）B./（1-X）=/（X）

-AFxAFx~\rii-

C./（x）的值域为一年，等D.在上单调递增

【答案】BC

【解析】

【分析】A选项将/（1+1）代入解析式借助诱导公式即可检验：B选项将/（1-X）代入解析式借助诱导公

式即可检验；C选项利用二倍角公式将解析式变形，再进行换元得到〃(，)=-力最后利用

导数求出最值即可得出值域；D选项利用更合函数的单调性即可判断.

【详解】对于A选项，/(x+l)=cos[兀(x+1)]©11[2兀(％+1)]=cos(7ix+兀)•sin(2心+2兀)

=-cos7LV・sin27u=-/(x),故A错误；

对干B选项，/'(1-x)=cos[兀(1一切•sin[2兀(1一切=cos(兀-叫•sin(2兀-2兀丫)

=-cosXV-[-sin2JU]=cosxv-sin2TLT=/(x),故B正确；

对FC选项，f(x)=COSTU-sin2兀r=cosxv-2sinxv-COSTLV=2sinxvcos2TVC,

4ksin7L¥=r,rG[-1,1],则A(r)=2r(l-r)=-2r3+2r,r,

v//(r)=-6r2+2,令〃(f)=0,.•./=±&,

当毛.时，贝〃?«）单调递减；

当一曰＜/＜弓时，/f（r）＞0,则〃（。单调递增；

当浮＜z＜l时，"⑺＜0,则力⑺单调递减；

.•.当t=_立时，力1）取得极小值一芈，当［=且时，力（，）取得极大值苧，

393

又Mi）=o,/7（i）=o,..hh].=_迪，/（）=逋

'，\7\/min9\/maxQ

4X/34X/3

.J(x)的值域为F-3一，半.故C正确;

对于D选项，由C选项可知/(x)=cos7tr-sin27Lr是由/?(/)=-2广+2/和z=sin兀v复合而戊,

\_兀兀.兀.花

,/xe二.TlXGtG-sin—,sin—

5,55,?55

:.t=sin7L¥在,11上单调递增,

5'5

乂力（f）=_2/+2r在百❷上单调递增,

3'3

下面证明sin色与立的大小:

53

设顶角为36。的等腰VA3C,AB=AC,ZA=36°,

作//平分线交AC于。，得AD=3O=8C,AABCLBCD,

设8c=1,AB=x,则CO=x—l,

由相似得，：=」一，」.Y-XT=0,解得犬=在正，

1x-\2

、八I+百C/O厂+尤2-114-\f5

x>0»/.x=----，/.cos?6°=-----；——=------，

22x24

..兀.々40J10-26

..sin—=sin36=---------,

54

273

将sin^和立分别平方再作差得，sin--f—"I=-^>0>..sin2E>2^.,

53513J2453

兀兀

则力⑺二-2r+2f在/£-sin-,sin—上存在递减部分,

JJ

则由复合函数的单调性可知，/（工）在一杲上不单调递增.收D错误.

JJ

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若占/2,…，当的方差为人则2（%-2）,2（七一2）产・,2（4一2）的方差为

【答案】16

【解析】

【分析】根据方差的线性变化公式，即O（aX+A）=/D（x）即可求解.

【详解】由题意得。（七）二4』=1,2,3,则。（2（七一2））二22。（七）=4、4=16.

13.已知VH3c的面积为I,taaA=-,tanB=-2,则.

2

【答案】G

【解析】

【分析】首先利用同角三角函数基本关系式求出A3的正弦和余弦值，再利用诱导公式求出sinC，

最后利用正弦定理及三角形的面积公式求出三角形的外接圆半径，即可求解..

【详解】vtanA=,/4G（0,TC）,sinA=^^»cosA=.

255

,/tanB=-2,8W(O,TT),sin8=^^，cosB=-^~

sinC=sin[兀一(A+/?)]=sin(A+3)=sinAcosB+cosAsinB

设V48C的外接圆半径为R,则由正弦定理得，a=27?sinA,〃=2Rsin3,

?.SMe=—^sinC=-^-(27?sinA)-(2/?sinB)sinC=I

AB=c=27?sinC—2xx——石•

65

14.已知斜率为一1的直线与曲线)，=e、-x,(x>0),丁=1一工一山分别相交于4(冷)1),8仇/2)两

点，则2$+ex2的最小值为.

【答案】l+21n2##21n2+l

【解析】

【分析】利用参数人来表示玉,刍，从而把构造成一个关于〃的函数SS),再利用导数来研究单调

性求最值即可.

【详解】设斜率为一1的直线方程为y=-x+"与)，=e、7交于A(x，x),

则有e*-%=-%+/?,化简得炉=〃，即X=ln/?

因为玉>0,所以8>1,

又y=r+O与),=17_]nx交于3(々,必)，

l-x2-lnx2=-x2+bt化简得1一一占=6,即

则2内+ex?=2InZ?+exel-/,=2\nb+e2-ft,

构造函数S(b)=2\nb+e2-\(Z?>l),

9

求导得:S'(b)=——e2^,可知S'(2)=0,

b

7_2e2_2eh-be2

又由S'3)=2—e2"

_g_/一贷

构造函数f(b)=2eh-be\(b>\),求导得/S)=2e〃—e?,

由f'(。)=2/-e?X)nb>2-In2,

f(b)=2e"-加2在(2一in2,〜)上单调递增,

rfi/(/?)=2e6-e2<0=>l<b<2-\n2,

可得f(b)=2e〃一*?在(1,2-In2)上单调递减，

又因为/⑴=2e—e?=e(2—e)<0,/(2)=2e2-2e2=0,

所以结合f(h)=2e〃一加2单调，件可知：

2eft-be2

当时，/（A）〈0,即S'g）-vO,

加〃

_/p2

当。>2时，f(b)>0,BPS\b)=；>0,

beh

所以S（b）在（1,2）上单调递减，在（2,48）上单调递增，

因此SS）在6=2处取最小值，即5（。）.=21n2+e2-2=l+2ln2,

\/min

所以2.甘+ex2的最小值为1+2In2.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同,进货成本每瓶4元，售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处

理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位:℃）有关.如果最

高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位厂区间［20,25）,需求量为300瓶;如果最高气温低广20,

需求量为200瓶.为了确定六月份的订购冲划,统订了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布

表：

最高[10,[15,[20,[25,[30,[35,

气温15)20)25)30)35)40)

天数216362574

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位:瓶）的分布列.

（2）女六月份一天销售这种酸奶利润为丫（单位:元），当六月份这种酸奶一天的进货量〃（单位:瓶）为多少时,Y

的数学期望达到最大值？

【答案】（1）详见解析；（2）300.

【解析】

【分析】（1）由题意知丫的可能取值为200,300,500,分别求出相应的概率，由此能求出丫的分布列.

（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，只需考虑200<〃W5（X）,根据

300<〃（500和200<〃<300分类讨论.

【详解】解：（I）由题意知，Y所有的可能取值为200,300,500,由表格数据知

V的分布列为

y200300500

0.20.40.4

(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200K〃K500

当3004500时,若最高气温不低于25,则，=6”_如=2小

若最高气温位于区间[20.2%则y=6X300+2(〃-300)-4〃=1200-2〃；

若最高气温低于20,则丫=6X200+2(/Z-200)—4/7=8(X)-2n

因此E(y)=2〃xO.4+(l2OO-2〃)xO.4+(8OO-2/0xO,2

当04“<3。。时，若最高气温不低于20,则y=A”-4”=2",

若最高气温低于20,则Y=6X200+2(//-200)-4/7=800-2^,

因此£(y)=2〃X(0.4+0.4)“800・2"X0.2」60+1.2〃

所以〃=300时，y的数学期望达到最大值，最大值为520元.

16.如图1,在正三角形A8C中，8c=4,D,石分别是AC,A8上的点，CD=BE=],。为BC

的中点.将VAOE1沿折起，得到如图2所示的四棱锥产一BCQE,使得「。二6.

COBP

ADE

图1图2

(1)证明：POJ_平面3coE；

(2)求二面角8-〃。一。的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

⑵叵

6

【解析】

【分析】(1)根据边长关系，结合勾股定理证明。尸_L8,OPLOE,再结合线面垂直判定定理证明即

可；

(2)根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.

【小问1详解】

证明：正三角形A3C中，BC=4,CD=BE=1,0为8c的中点,

7T

所以，在图1中，OC=OB=2,C=-

3

所以，在qCW中，DO2=CD1+CO2-2CD-COcosC=1+4-2x2cos-=3,即0。二百,

3

同理，0E=J1

因为，在图1中，AE=AD=3,

所以,在图2中,PE=PD=3,

因为尸0二太，

所以尸。？+0D2=DP2，PO2+OE2=EP2，

所以。尸J_OD,OPLOE.

因为ODcOE=O,0D,0Eu平面3COE

所以尸OJL平面8cOE.

【小问2详解】

解：如图，建立空间直角坐标系，

则C(0,—2,0),5(0,2,0),P(0,0,V6),D

I22J

所以CP=(0,2,〃)，CD=乌,;,0

设平面PCD的一个法向量为=(x,y,z),

CP•m=02y+\/6z=0

所以＜即〈令y=-拒,则=(1,—6

CD•m=0\/3x+y=0

因为平面P3C的一个法向量为/?=(1,0,0),

设二面角4—PC—O为。，，w[0,兀

1&

所以|cos0\=|cos777,n\=7TT

所以sin0=Vl-cos2G=避。

6

V30

所以二面角4-小-。的正弦值为

—

P)

17.已知点A,B,C,。都在抛物线E:V=4y上，且。。=2AB，线段AB,CO的中点分别为

M,N.

（1）证明：直线MV垂直于“轴；

（2）直线A3经过曲线石的焦点/，直线AO与3c相交于点P,求/Q43面积的最小值.

【答案】（1）证明见解析

（2）6

【解析】

【分析】⑴设根据条件可得

«=(4,x1+x2),Z?=(4,X3+%)共线，即可求解;

（2）设/,3：＞'=履+1，联立直线与抛物线方程，利用根与系数间的关系，得X+占=4&,%.与=-4，求

出直线AO与3c的方程，进而得点尸，再求出点尸到直线A3的距离和利用面积公式，即可求解.

【小问1详解】

(1(1(1,

设AXp-xf,Bx2,-x；,Cx3,-x3

\4/\今4，I—

则AB=(x2-x[y^-xl-^-xf]=7(X2-A:I)(4,X1+X2),

\44/44

11i1

DC=I-x4,-I=-(x3-x4)(4,+x4),

4

因为OC=248，则。67/43，乂易知耳。占，工3工5，

所以向量〃=（4,X]+/），〃=（4,与+七）也共线，

所以4（%+£）=4（七+七），得到]：.，

又线段4B，CQ的中点分别为M，N,所以X“=XN，则直线MN垂直于x轴.

【小问2详解】

易知尸（0,1）,由题知直线AB的斜率存在，设/"：）'=履+1，

r）4

,x-=4y

由＜,，消）'得12一4求一4=0，则△=16公+16＞0，%+毛=4攵,不々=一4,

、＞=Ax+1

-LJp-----L1I

因为做「444I=1G⑷,则直线AO的方程为了-^^=京'4+用1"2）①‘

工4一»4

又一白

二」（与+工2），则直线8c的方程为）・；君=；（刍+工2）（工_工2）②，

KBC~

X,

联立①②，消y得日入；—-A1|~=—（x4+Xj—x3—x2）X+—x2+4）_+xjx,

X.X.-X.X-,

整理得到户蜜外;

由（1）知M+W=当+&，又DC=2AB，即（七一兀,为一）’4）=2（X2一%,％一）'1），

X,+X0=X,+X.

所以&一七=2（%一%），由-/V得到

七一乙=29（乙一刈

_3X2-%

X.X,-XjX.

将＜乙代入X=——_得到

_3x）-x2x4+xi-x3-x2

2

3x-x-,3X-x.3/o,\

工f7i

3%一工21工3々-%X3（X（-x2）2（I+x2）

2122

将K=g（M+x,）代入y-；x；="匕+%）（x一再），整理得到

2

16y=6X1X2-x；—x；=8玉々一（玉+W『