2026年初中数学中考复习：线段最值专项练习（含解析）

线段最值专项练习

利用“垂线段最短”解决线段最值问题

方法突破练

直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短

1.如图，在平面直角坐标系中，亘线1y=-：％+4分别交x轴，y轴于点A,B,点P为直线1上任意一点，

连接0P,求线段OP的最小值.

第1题图

2.如图，抛物线y=，-2%-3与x轴交于A,B两点，顶点为C,点D为线段AC上一点，点E为抛物线对

称轴上一点，连接AE,DE,求AE+DE的最小值

第2题图

3.如图，抛物线y=-必+2%+3与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,在平面内有一定点D(3,4),点

P,Q分别是抛物线、直线BC上的动点，求DP+PQ的最小值及此时点P的坐标.

第3题图

利用••胡不归”求线段最值

4.如图，在平面直角坐标系中,*0,-2),8(3,0),点P是x轴上任意一点，连接AP,求PA+，PB的最小值.

第4题图

5.如图，已知抛物线y=-必一2%+3与x轴交于A,C两点，与y轴交于点B,D为抛物线的顶点.若R为y

轴上的一个动点，连接AR，求AR+的最小值.

6.如图，已知抛物线y=/-6%+8与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧)，直线y=%与抛物线对称

轴交于点c,点D是直线y=3上一点，连接AD,求ND+gCD的最小值.

JO

第6题图

设问进阶练

例如图,已知抛物线y=-*+1-2与x轴交于点A,B(点B在点A左侧)，与y轴交于点C,抛物线顶

点为点D,对称轴为直线L(1)如图①，若点P为x轴上一点，点N为直线AC上一点，求CP+PN的最小值；

例题图①

⑵如图②，若点P为y轴上一点，连接BP,求8P+q”的最小值:

例题图②

⑶如图③，若点P为抛物线对称轴上一点，点M为AB上一点，且8M=2他连接MP,BD,求DP+的

最小值

例题图③

综合强化练

1.创新题•探究性试题学习了二次函数之后，我们知道二次函数的图象是抛物线，有同学猜想，抛物线上的点

到定点和定直线的距离相等，经过小组探究，发现：如图，点P是平面内一动点，点Q是y轴正半轴上一点,设(

0Q=几连接PQ.若点P到直线y=-n的距离等于PQ的长y=f度,则所有符合的点P形成的轨迹是抛物线y=

ax2.

【初步感知】

(1)当x#)时，a与n的数量关系为；

⑵若动点P(x,y),Q((),3),连接PQ,且点P到直线.y=-3的距离等于PQ的长，直接写出所有符合的点P形成的

轨迹的抛物线解析式；

【灵活应用】

⑶若点D的坐标是(1,5),在⑵中求得的抛物线上是否存在点M,使得MQ+MD最短?若存在，求出点M的

坐标，若不存在，请说明理由；

【拓展延伸】

(4)由上述发现可知,二次函数y=-1尸+2的图象可以看作平面内一动点到定点F的距离等于它到定直

线y=-n=-n的距离，所有符合这一条件的动点所形成的图形，求点F的坐标和n的值.

作图区答题区

考司4利用"垂线段最短”解决线段最值问题

一阶方法突破练

1解：确定线段长最小值时动点的位置.当OP±AB时，线段CP的值最小.

..直线I的解析式为y=-g%+4,

.•.A(3,0)/B(0/4)/.-.OA=3,OB=4rAB=5.

-SAOB=\OA-OB=\ABOP,

・・・OP=誓=3求出线段长度)，

/Iri3

••・线段0P的最小值为9

2.解「•确定定点坐标.抛物线、=x2-2%-3的顶点为C,y=(X--4,|y.

•.CM."J,

令y=0,解得x=-l或x=3,「.A(-L0),B(3,0),如解图，连接BE,过点B作BD1±AC于点D',与抛。强，'

物线对称轴交于点E',\^C

第2题解图

•・•点A与点B关于对称轴对称，

.•.AE=BE,

AE+DE=BE+DE>BE'+DE=BD,

.•.AE+DE的最小值为BD，的长.

/AC=2西AB=4,连接BC,

••SABC=^ABX4=^AC-BD,：.BD'=第.

「.AE+DE的最小值为¥.

3.解如解图，过点D作DQ±BC于点Q,交抛物线于点P,此时DP+PQ取得最小值，最小值为DQ的长，则

P,Q即为所求作的点.

过点Q作QE±x轴于点E涟接BD,

•・抛物线的解析式为y=--+2%+3,

.•.B(3,0),C(0,3)/OB=OC=3,/.zCBO=45°.

•.•D(3,4),/.zDBO=90°,BD=4,

ANQBD=45"DQ=BQ=4义曰=ZA/2,

・•.DP+PQ的最小值为2企.

-.QE±x5ft,zQBE=45°,

.-.zBQE=zQBE=45°,

:.QE=BE*BQ=2,

.OE=OB-BE=1二点Q的坐标为(1,2).

・••D(3,4),Q(1,2),.••直线DQ的解析式为y=x+L联立［y上丁;：+3解得x=2或x=-l

(舍去)，当x=2时,y=3.

.,点P的坐标为(2,3).

第3题解图

4.解如解图作NOBC=30。,交v轴正半轴于点G过点A作AD±BC于点D,交x轴于点P

。过点P作PD」BC于点D'.

构造直角三角形及特殊角.

VZOBC=30。,二加二海万。=初，

.•.PA+：PB=PA+D'PNAP'-P'D=AD（"化折为直"，确定动点位置），

・•・当点P'与点P重合时,PA+“8的值最小，即AD的长.

•••A(0,-2),B(3Q),

・•.OA=2QB=3,

第4题解图

：.OC=—OB=V3,

3

•••AC=2+V3.

o

•.zOBC=30/.zOCB=60°z

・•・AD=AC-sin600=(2+V3)x+V5(求出线段的长),

PA+\P8的最小值为"会

5.解如解图，连接BC,过点R作RH_LBC于点H,过点A作AGJLBC于点G.

V抛物线的解析式为y=-x2-2x+3,

.•.A(l/0),C(-3,0),B(0z3)r,OB=OC=3.

•,zCOB=90°z

.'.BC=3V2,zHBR=45°.

在RUBHR中,RH

：

.AR+—2BR=AR+RH>AG.

・•・当H,R,A三点共线且AH_LBC时,AR+日8R的值最小,最小值为AG的长，连接AB.

-SABC=\BCAG=\AC-OB,

..=普=2企，

4R+日8R的最小值为2V2.

6.解:•••抛物线y=上-6%+8与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧)，

.・令y=0,解得x=2或x=4:.A(2,0).

・「直线y="与抛物线对称轴交于点C,抛物线对称轴为直线X=3,

.•当x=3时,y=?=4；C(3,4).

如解图，过点C作CE±y轴于点E,过点D作DF±CE于点F,过点A作AG±CE于点G,交直线y=?于点D

«5

；.CE=3QE=4,OC=5,

第6题解图

:.FD=-CDf

：.AD+^CD=AD+FD>AD\DG=AG,

・・当点D与点D重合时,AD+，。的值最小，即为AG的长

.•四边形OAGE为矩形，

.-.AG=0E=4,

〃的最小值为4.

二阶设问进阶练

例解:⑴将代入抛物线2中，解得ix=

y=oy=-^+|x-2x2=24,

..点B在点A左侧,••.A(4Q),BQ,0).

当x=0时,y=-2,..C(0,-2).

瓜

.-.OA=4,OC=2//.AC=2.

如解图①，作点C关于x轴的对称点F(0,2),过点F作FN±AC于点N,交x轴于点P.

例题解图①

由轴对称的性质及垂线段最短可知，此时CP+PN=FP+PN的值最小，最小值为FN的长.

易得△ACOiFCN,

AC_0A

，,记一前’

FCOA4X48V5

A/VF=—=^=—

CP+PN的最小值为W；

⑵如解图②，过点C作/OCE=30。,交x轴负半轴于点E,过点B作EC的垂线交EC于点F,交y轴于点P,点P

即为所求作的点.

•.-zOCE=30VzBEC=60o,PF==PC,

•••BP+；CP=BP+PF=BF,

BP+3CP的最小值为BF的长,

由⑴得,A(4,0),B(L0),C(0,-2),

->.OC=2,OB=1,

：.E0=OC-tan30°=竽，:BE=竽+1,

BF=BE,sin60°=—+1,

2

⑶如解图③，过点P作PE±BD于点E,设抛物线的对称轴与x轴交于点F油⑴得6(1,0).

:y=-^x2+-2=-^(x-+[•••0

)222\2/8\28,

.­.BF=l-l=^,BD=^,

乙乙o

...si”。得畸=〉..py。/

:.DP+^MP=^DP+MP)=：(PE+MP),易知M(3,0),BM=2,

过点M作MH±BD于点H,则PE+MP的最小值即为MH的长，连接DM/.DP+2的最小值为9.

•：SBDM=；MB,DF=；BDMH,

....MBDF2X-650rl3

MH=-------=-rf-=-,：♦-MH=-

BD—542

8

：・DP+；MP的最小值为玄

42

三阶综合强化练

2

1.解:(1>=\【解法提示】由题意可知尸QnPB,Q(O,n),设点P的坐标为(x,y),/.x^+(y-ny=(y+n),:.

x2=4ny.:y=ax2,:.%2=^=4ny.:xH0,°--~-

(2)y=法2；【解法提示】由(1)知，此时n=3,/.a=^=》所有符合的点P形成的轨迹的抛物线解析式为y

-±2

~12xX'

⑶存在；如解图①，过点D作直线y=-3的垂线,垂足为E,与抛物线交于点M,此时MQ+MD=ME+MD=D

(4)如解图②，构造新的平面直角坐标系x'0'y',

••・二次函数的解析式为y=i(r-l)24-2,

，二次函数的顶点坐标为(1.2),a=:由⑴可知n=l,即在新的平面直角坐标系中n=-l,

・•・二次函数y=；。-1)2+2的图象可以看作到定点F(1,3)的距离等于它到定直线y=l的距离，所有符合的

动点所形成的图形，

.淀点F的坐标为(L3),n的值为-1.

2.解:(1)二•抛物线经过点C(0,2V3),

2

「•抛物线的解析式为y=aX+bx+26，

将A,B两点的坐标代入抛物线解析式，

Q-V3-

4a—2b+2V5=0解得4

得

b-V3-

16a+4b+2V3=02

抛物线的解析式为y=-^x2+^x+2V3;

⑵【思路点拨】作点G关于x粕的对称点N,过N作BC的垂线，垂足为点M,则GH+HM的最小值为N

M的长.

如解图①，作点G关于x轴的对称点N,过点N作NM_LBC于点M,交x轴于点H(确定线