2025-2026学年八年级数学下学期3月学情自测卷2【北师大版测试范围：第1~2章】（全解全析）

八年级数学下学期3月学情自测卷（北师大版

2024）全解全析

（考试时间：120分钟，分值：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.测试范围：新教材北师大版八年级下册第1〜2章。

第I卷

一、选择题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的）

1.下列不等式是一元一次不等式的是（）

A.-9.Y>7x-6B.x+1=0C.xD.x2+x+9>0

【答案】A

【分析】木题考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义（只含有一个未知数，未知数的

次数为1,且左右两边为整式的不等式），逐一分析各选项即可求解.

【详解】解：A选项：-9xN7x-6,只含一个未知数x,未知数次数为1,是不等式且左右两边为整式，符

合一元一次不等式的定义.

B选项：x+l=0是等式，不是不等式，不符合定义.

C选项：x+N>0含有两个未知数，不符合“一元”的要求.

D选项：/十x十9之0中未知数的最高次数为2,不符合“次数为1”的要求.

故选：A.

2.如图，在△川丝中，4=66。，ZC=34°,40是“6C的角平分线，则的度数为（）

BDC

A.55°B.50°C.45°D.40°

【答案】D

【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，根据题意得到NB4c=80。，由角平分线的定义

即可求解.

【详解】解：在zi/lB。中，N8=66。，ZC=34°,

ABAC=1800-Z5-ZC=80°,

•••4）是△川?C的角平分线，

ABAD=/CAD=-ABAC=40°,

2

故选：D.

3.己知〃?<〃，则下列各式中一定成立的是（）

A.2m+1<2//+1B.me2<nc2C.m-/?>0D.—>—

44

【答案】A

【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质，是解题的关键.根据不等式的

性质逐一分析选项即可.

【详解】解：A.,

••・根据不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，得

再根据不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变，得2m+1<2〃+1,故A选项一定成立，符合题意；

B.当c=0时，c2=0,此时〃昭2=.=0,不满足机故B选项不一定成立，不符合题意；

C.

.•・加-〃<0,故C选项不成立，不符合题意；

D.根据不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，得故D选项不成立，不符合题意.

44

故选：A.

4.如图，在△ZB。中，Z5JC=I2O°,AB=6,AC=10,则Z?C的长是（）

A

【答案】c

【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键.作

CQ_L/出交84的延长线于点。，由含30度角的直角三角形的性质，可得力。二3力C=5,再用勾股定理解

R11OC和RL8OC即可.

【详解】解：如图，作。_L48交历i的延长线于点。，

丁ZBAC=120°,NBAC=ND+/ACD,

ZACD=ABAC-ZD=120°-90°=30°,

JD=-JC=-xl()=5,

22

CD=ylAC2-AD2=V102-52=575>

•/AB=6,

BD=AD+AB=5+b=\1,

BC=y/BD2+CD2=yjll2+(573)2=14,

故选：c.

5.如图，已知一次函数y="+3与y=6x-l的图象如图所示，其交点8的坐标为，直线y=bx-l

与.丫釉的交点坐标为（-1，0）,请你观察图象并结合一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的相关知识判

断，则下列说法正确的是（）

姝

ax-y+3=()=-3

B.方程的解是

-Jv+1=0[y=m

C.关于x的不等式at+32/)x-l的解集是xN-3

D.云-l>0的解集为x>-1

【答案】C

【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，一次函数与二元一次方程组,

熟知以上知识是解题的关键.根据两函数图象的上下位置关系结合交点的坐标，即可得出结论.

【详解】解：A、•••直线y=加-1与不轴的交点坐标为(7,0),

二当x=-1时，-1=0,

方程宝-1=0的解是x=-l,原说法错误，不符合题意;

B、•••一次函数y=G+3与1y=6x—1的图象交于点(―3,加)，

ax-y+3=0[x=-3

••・方程组A/.c的解是，原说法错误，不符合题意；

ox-y-1=()=

C、观察图象得：当x>-3时，一次函数y=口丫+3的图象在y=6x-l的图象的上方，

二关于x的不等式公+32旅-1他解集是刀N-3,正确，符合题意；

D、观察图象得：当x<-l时，函数》=以-1的图象在％轴的上方，

・•・瓦-1>0的解集为x<-l,原说法错误，不符合题意.

故选：C.

6.如图，在中，以04为边作等边三角形。48,以力户为边作等边三角形力尸。，连接。8并延长

交OP于点C.则下列结论：00P=BQ,②/力《。=90。，③△COA是等腰三角形，

④OB?+BQ?=PQ?,其中正确的结论是()

Q

A.①②③④B.①③④C.①②④D.①②③

【答案】A

【分析】结合等边三角形的性质推出△助。(SAS),再根据全等三角形的性质、等腰三角形的判定、

勾股定理判断求解即可.

【详解】解：如图，△力O尸是直角三角形,

.-.ZAOP=90°,

•••△0/4与XAPQ都是等边三角形，

：.OA=AB=OB,AP=AQ=PQ,ZOAB=6()0=ZPAQtZAOB=ZA80=60°,

：20AB-NPAB=Z.PAQ-ZPAB,

："0AP=/BAQ,

在和△胡。中，

AO=AB

NOAP=NBAQ,

AP=AQ

.•.△0加必△8/IQ(SAS),

，OP=BQ,43。=4。。=90°,故①②正确；

ZABC=180°-Z.ABQ=90°=NAOP,

•••ZAOB=/ABO=60°,

Z.COB=90°-ZAOB=90°-60°=30°,NCBO=90°-NABO=90°-60°=30°,

:.Z.COB=Z.CBO,

：.CO=CB,

.•.△CO8是等腰三角形，故③正确；

在Rt&ABQ中，AB?+BQ?=AQ-,

-AB=OB,4Q=PQ,

222

.-.OB+BQ=PQt故④正确;

综上所述，正确的结论是①②③©.

故选：A.

第n卷

二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)

7.若式子VT斤在实数范围内有意义，则x的取值范围是.

【答案】x>\i\<x

【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零,

进一步求解即可.

【详解】解：•••Jx二1在实数范围内有意义，

x-1>0,

解得X>\.

故答案为X>l.

8.如图，在△力8。中，分别以点4和点8为圆心，大于;44的长为半径画弧，两弧相交于点M,点N,

过这两个点作直线MN,交BC于点、D,连接力Q.若8C=7,CD=3,则力力的长为.

【答案】4

【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、尺规作图等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质是

解题的关键.

首先求出8。=8。-。=7-3=4,由作图过程可知，直线MN为线段力8的垂直平分线，根据线段垂直平分

线的性质可得力力==4.

【详解】解：•.•8C=7,8=3,

.­.5D=5C-CD=7-3=4,

由作图过程可知，直线MN为线段48的垂直平分线，

AD=BD=4.

故答案为：4.

9.若三个数2,2x+2,4-2x中最小的数是2,则式的取值范围是.

【答案】0W1

【分析】本题考查了解一元一次不等式组，理解题意并熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键.

根据题意，2是最小的数，因此2不大于另外两个数，列出不等式组并求解即可.

2<2x+2,

【详解】解：由题意得：

2<4-2x,

解得：OWxVl,

故答案为：04x41.

10.如图，在△ABC中，Z5=9OC,点、0是NC4B、//CB平分线的交点，且8C=8cm,4C=10cm,则

点0到边AB的距离为cm.

【答案】2

【分析】本题考查角平分线定理，勾股定理和三角形面积公式，掌握角平分线定理是解题关犍.连接

过点。分别作力8、AC.4C的垂线，垂足为。、E、F,根据角平分线定理，点。到三角形的三边的距

离都相等，即OO=OE=OF.结合三角形面枳公式，可以求出点。到边/出的距离.

【详解】解：如图，连接08,过点。分别作00148于点。，OEA.AC于点、E,OF上BC于点、F,

vzS=90°,BC=8cm.AC=1Ocm,

•••由勾股定理可得，AB=^AC2-BC2=>/102-82=6（cm）,

.♦.L8c=g".〃C=gx6x8=24cm2,

•.•点。是NCAB、//C8平分线的交点，

又••ODJL43,OE1AC,OF工BC,

OD=OE-OF,

S4zA!ZB>C=SA<OzdAZB>+SAOlJALC+5A<o7goCc=-2ABOD+2—ACOE+2—BCOF.

」X60。+L80。+L100。=24,

222

解得，OO=2cm,

.•.点。到边”的距离为2cM.

故答案为：2.

II.若关于X的不等式组15的解集是X>4,则。的取值范围是.

【答案】a>2

【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据“同大取大''的原则，结合已知的解集确

定参数。的取值范围.

【详解】解：解不等式组即一叱5

"x<0

解不等式5（x-l）>5,

5x-5>5

x>2.

解不等式。-x<0,

-x<-a

得）>4.

已知不等式组的解集为工>〃，根据“同大取大''的原则，要使成为解集，必须满足。22.

故答案为:。22.

12.如图，在△/BC中，4B=4C=5,BC=8,动点尸从点8出发，沿8c以每秒一个单位长度的速度向终

点。运动，连接力户.当点尸的运动时间为秒时，力尸与△ABC的一边垂直.

【答案】:7或4或245

44

【分析】该题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，一元一次方程，解题的关键是分类讨论.

设点尸的运动时间为£秒，则8P=L过点4作力"_L8C,根据在△48C中，AB=AC=5,BC=S,得出

BH=；BC=4,根据勾股定理得出力，=3,分三种情况：当Z尸14。时；当力0_L/4时，当力尸_L/1C时,

分别求解即可.

【详解】解：设点。的运动时间为，秒，则8P=/,

过点4作加/_L4C,

\,在△力8c中，AB=AC=5,BC=8,

：.BH=、BC=4,

2

'-AH=ylAB2-BH2=3»

当N尸13c时，点尸与点H重合,

此时，BP=BH=4,

・1=4秒：

当4PJ.43时,如图,

即/2-52=32+(/-4)2,

解得："37S秒：

4

当乂尸JL4c时,如图,

则AP2=CP'-AC2=AH2+HP，，

即(87)2-52=32+(4T『，

解得：/二=7秒；

4

综上，当点尸的运动时间为一7或4或235秒时，4P与△Z8C的一边垂直.

44

故答案为：;7或4或多25.

三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理)

13.解下列不等式或不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上：

,x-2x+1,

(1)——>--------1

32

x+5>4x-1

⑵

2x>\-x

【答案】见解析

(2)；<x«2,见解析

【分析】本题考查了解一元一次不等式，解不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确掌握相关性质内

容是解题的关键.

(1)先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1，得出xv-l,再在数轴上表示出来，即可作

答.

(2)分别解出每个不等式的解集，再得出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来，即可作答.

【详解】(1)解：•••一>?一1,

去分母，得2(x—2)>3(x+l)—6,

去括号，得2x—4>3x+3—6,

移顶，得2x—3x>3—6+4,

合并同类项，得r>l,

系数化为1,得x<-l,

这个不等式的解集在数轴上的表示如图:

-2-101

x+5>4.v-l©

(2)解:

2x>l—x②

解不等式①，得x«2,

解不等式②，得x>g,

该不等式组的解集是

在同一数轴上分别表示不等式组的解集:

^-10112

T

14.如图，在△/比?中，。是48的中点，DEJ.AB交4c于点、E,连接BE,CE2+BC2=AE1.

B

(1)求证：ZC=90°.

(2)若CE=ED,求NX的度数.

【答案】(1)证明见解析

(2)30°

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，角平分线的判定等,

熟练掌握知识点是解题的关键.

(I)由已知可得DEl是线段48的垂直平分线，即得=再根据勾股定理的逆定理即可求证；

(2)由8E=4E得4=再根据角平分线的判定定理可得=即得到

N4BE=NCBE=NA,得到3N4=90。，即可求解.

【详解】(1)证明：丁。是力8的中点，DEqAB交AC于点、E,

••・。£是线段48的垂直平分线，

•••BE-AE,

••CE2+BC2=AE2,

•CE2+BC2-BE2，

.•.△BCE是直角三角形，

.-.20=90°；

(2)解：由(1)知，BE=AE,

•••4=NABE,

vZC=90°,

.%EC工BC,

乂•.ED上AB,EC=ED,

.•.点七在N48。的角平分线上，即8E平分N49C,

ZABE=NCBE,

；BE=/CBE=NA,

vZJ+Z^C=90°,

.•.3/力=90°,

.♦.4=30。.

15.如图，CE平分△ABC的外角N4CQ,且CE交的延长线于点E.

4

(1)若N8-32。，ZZ?-36°,求上胡。的度数；

(2)试猜想/历IC、/B、/£三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想.

【答案】(1)104。

Q”BAC=NB+2NE,见解析

【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的外角的性质，熟练掌握以上知识点是关键.

(1)先求解乙/7。=/8+/£=68。，可得/4。£=//。。=68。，再利用三角形的外角的性质可得结论;

(2)证明NZCE=NECO,结合=+,/BAC=NACE+/E=/ECD+/E,可得结论.

【详解】(1)解：由条件可知/后。。=/8+/£=32。+36。=68。，

vEC平分NJCZ),

ZACE=NECD=68。,

ABAC=ZACE+NE=68°4-36°=104°；

(2)解：NBAC=NB+2/E,理由如卜.：

由条件可知4CE=NEC。，

又•・•ZHZ7=ZF+ZE,

...NBAC=NACE+NE=ZECD+乙E

=NB+NE+NE

=NB+2NE,

BP<BAC=NB+2/E.

16.如图是由边长为1的小正方形组成的7x7网格，每个小正方形的顶点叫做格点.的三个顶点都

是格点，且8c=5.请仅用无刻度的直尺完成下列作图，保留作图痕迹.

图I图2

(I)在图1中，画出△月8C的角平分线为。；

(2)在图2中，画出△/出。的角平分线8E.

【答案】(1)见解析

Q)见解析

【分析】此题是网格作图题，作三角形的角平分线，三线合一性质，解题的关键是掌握以上知识点.

(1)取格点凡连接X尸交8c于点。即为所求；

(2)取格点G,连接GC,取GC中点以连接即为所求.

【详解】(1)解：如图所示，彳。即为所求；

:.BE平分/G8C

.•.8E是MBC的角平分线.

17.如图，已知直线y,=2x+6和直线刈=依-1相交于点尸(-2,-2),直线％=2x+b分别与x轴和》轴相交于

点N和点“，直线必二米-1与工轴交于点C.

(I)分别求山这两个函数的解析式；

⑵直接写出不等式组依-l<2x+/><0的解集.

【答案】⑴直线为乂=2X+2,直线为=*1；

(2)-2<x<-l.

【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数解析式、两条直线相交或平

行问题，解题时要能利用数形结合是关键.

(1)先将点尸分别代入直线K=2x+Z>和直线必=米-1,求出A%的值，再代入即可；

(2)依据题意得，不等式组去-：〈24+力<0的解集是直线为=履-1在直线M=2X+力的下方，且都在x轴

下方部分对应的自变量的取值范围，从而结合函数图象即可得解.

【详解】(1)解：••・直线M=2x+力和宜线为=h-1相交丁点尸(-2,-2),

.•.将尸(一2,-2)代入直线乂=2x+b中，得＞4+〃=-2,即6=2,

将P(—2,-2)代入直线必=h—1中，得-2k-l=-2,即4=g,

二直线为M=2x+2,直线为

(2)解：依据题意得，不等式组h-l<2x+b<0的解集是直线在直线必=2x+2下方，且都在工

轴下方部分对应的自变量的取值范围,

•"(-2,-2),4(-1,0)

・••结合函数图象可得，-24y-l.

四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理)

x2x++2；y=2\+-2〃m？的解满足不等式中双

18.已知关于x,V的二元一次方程组，

⑴求实数〃?的取值范围.

（2）在（1）的条件下，若不等式（6加+1）、-6/〃<1的解集为1>1,请求出整数〃?的值.

【答案】（1）〃?>一3

（2）整数〃?的值为-2,-1

【分析】本题考杳了二元一次方程组的整体解法、一元一次不等式的解法及解集与系数的关系，掌握整体相

加求解的技巧和不等式系数正负与解集方向的关系是解题的关键.

（1）通过将方程组的两个方程整体相加，直接得到x+V的表达式，无需单独解出-夕，再根据x+y>。建

立关于根的不等式求解范围；

（2）先整理不等式，根据解集x>l判断不等式系数的正负，得到m的新范围，并结合（1）中所得结果

确定机的取值范围，然后确定其整数解即可.

2x+y=1+2出，①

【详解】（1）解:

x+2y=2-%②

①+②，得3x+3j，=3+〃?,

3+"1

解得x+y=-^―.

v.v4-y>0,

3+/H.

二.---->0,

3

3+w>0,m>-3.

（2）解：移项，得（6〃,+1）》v6〃!十1.

•••（6机+1）%—6加<1的解集为x>1,

6m+1<0,

1

/.W<—•

6

m>-3,

-3<〃i<—,

6

・•・整数"的值为-2,-1.

19.如图，在A/IBC中，ZC=90°,4D平分NB4C,DE^LAB于点E,。尸为△4X7的中线.

A

(1)若/8=40。，zero=45°,则4。产=。；

(2)连接CE,求证：直线垂直平分线段CE；

(3)若QE=2,且“。/比AOC尸的周长大3,能否求出4。的值？若能，请写出理由和结果；若不能，请你

补充条件并解答.

【答案】(1)20

(2)见解析

(3)能求出彳。的值；AD=5；理由见解析

【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，角平分线的定义、性质，垂直平分线的判定，三角形的

中线的性质.

(1)根据直角三角形的两个锐角互余，得出NR4C=50。，根据角平分线的定义得出

ZZ)JC=|ZZ?/1C=25°,进而求得/4。。=90。一/D4C=65。，再根据/力。/=NAOC—NCED,即可求解；

(2)根据角平分线的性质可得OE=OC,证明RtAAEDgRtAACD(HL)得出力E=力。，结合。E=QC,

即可得证：

(3)根据三角形中线的定义，结合题意可得力。-8=3,结合力E=。。，即可求解.

【详解】(1)•.•在中,ZC=90°,ZB=40°,

ZBJC=50°

•.力。平分N84C,

ADAC=-ZBAC=25°

2

ZADC=90°-ZDJC=65°

vZCFZ)=45°

:.ZADF=ZADC-ZCFD=65°-45。=20°,

故答案为：20；

(2)证明：•.•40平分NA4C,ZC=90°,DE1AB,

DE=DC,

又•；AD=AD,

...RtAAED^RtAACD(HL),

AE=AC,

二•点力，。均在线段CE的垂直平分线上，

・••直线力。垂直平分线段CE：

(3)能求出4D的值;

理由：•・•尸是边AC中点，

/.AF=FC.

•.•"Z小比AQC/的周长大3,

:.(AD+DF+AF)-(CD+DF+CF)=3,

/.AD-CD=3.

CD=DE=2,

AD=3+2=5.

20.扎染占称“绞缴”，是我国一种占老的纺织品染色技艺.扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发

展.某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表：

单价

成本价/(元/件)销售价/(元/件)

类别

甲种布料60100

乙种布料4070

(1)该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？

(2)因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共10()

件.若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料数量的1.5倍，且以相同的销售价全部售完这批布料.设第

二次购进甲种布料〃?件，第二次全部售完后获得的利润为％元.第二次应怎样进货，才能使第二次购进的

布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？

【答案】(1)甲种布料25件，乙种布料55件

(2)第二次应购进甲种布料60件、乙种布料40件时，利润最大，最大利润为3600元

【分析】(1)分别设该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料的件数分别为未知数，根据题意列二元一次方程

组并求解即可；

(2)根据题意，列关于〃?的一元一次不等式并求其解集，写出力关于,〃的函数关系式，根据一次函数的

增减性和加的取值范围，确定当吸取何值时氏值最大，求出其最大值和此时100-/〃的值即兀.

本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组、一元

一次不等式的解法和一次函数的增减性是解题的关键.

【详解】（I）解：设第一次购进甲种布料X件，乙种布料y件，则：

Jx+y=80

[60x+40y=3700，

x=25

解得：

y=55

・••第一次购进甲种布料25件，乙种布料55件.

（2）解：设第二次购进甲种布料机件，则乙种布料为（100-M件，则根据题意得：〃，个.5（100-〃?）

解彳J：/»W60

,加的取值范围为0$MW60（且〃？为整数）.

设第二次全部售完后获得的利润为力元，则:

rr=(100-60)/w+(70-40)(100-w)=10w+3000

vl0>0

.力”随ni的增大而增大,

:.当〃？=60时，%，人债=10x60+3000=3600元,

此时乙种布料为100-60=40件.

・•・第二次应购进甲种布料60件、乙种布料40件时，利润最大，最大利润为3600元.

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理）

21.【传统文化】“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏

不倚，其次是放置与之垂直的主尺，最后是观察正午口影在圭尺上“勾”出的口影长度，由此判断季节或时

问.如图，“表”AD与“圭”BC垂直,冬至时节“表”AD的日影最长（8C的长），某一节气，光线AM平分,

。为4c上一点，连接MQ,BD.

（1）若ASJ./C,下面是小明证明4/也”的过程，依据1是,依据2是;

证明：•••/〃平分N84C,A/OL.4C,MB上AB,：.DM=BM（依据I）

AM=AM

在Rt△48M和RtZ\,4OM中，｛玲〃八〃，（依据2）

BM=DM

（2）若△48。为等边三角形.

①说明点M在线段AC的垂直平分线上；

②已知日影8M的长为2米，求日影4C的长.

【答案】（1）角平分线的性质，HL；

（2）①见解析：②FI影4。的长为6米.

【分析】（1）由角平分线的性质可得。M=然后通过“HL”即可求证；

（2）①由△48。是等边三角形，可得NB4D=60°,则NC=30。，通过角平分线的定义可得

Z.BAM=ZCAM=1Z.BAD=30°,所以NOA/=N。.从而得A"=A/C.然后通过垂直平分线的判定即可

求证；

②通过30。角所对直角边是斜边的一半即可求解.

【详解】（1）证明：•.・4”平分N84C,MB148,

:.DM=BM（角平分线的性质）

在RtA/fRW和中，

AM—AM

BM=DM'

,-.RtAJ5M^RtA/l£）M（HL）,

故答案为：角平分线的性质，HL：

•••△相。是等边三角形,

ABAD=60°,

ZC=90°-Z^JZ)=30°,

VAM平分/BAC,

』BAM=/CAM=-/BAD=30c,

2

/CAM=ZC,

:.MA=MC,

二点M在线段AC的垂直平分线上；

②在Rt"3/W中，/.BAM-30°,

/.AM=2BM=4米，

由（1）知.M/1=MC=4米，

:.BC=BM+MC=6（米），

・•・日影的长为6米.

22.阅读理解:

定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想

解”.例如，已知方程2x-1=1与不等式x+l>0,当x=l时,21=2x1—1=1,1+1=2>0同时成立，则

称“x=1”是方程2x-l=l与不等式x+1>0的“理想解”.

问题解决：

（1）请判断方程3x-5=1的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解"：（直接填写序号；

3x-5>2（x-3）

①2x-3>4x+l；@2（x+l）-l>5；③

[x=nifx-2y=5+q

（2）若是方程组。°、与不等式》一歹>1的“理想解”，求夕的取值范围；

[y=〃[2x-y=2g+1

x+y=5a+j

（3）若关于X,y的方程组｛.,与不等式x+2”a+10的“理想解”均为正数（即“理想解"中的x,y

均为正数），直接写出。的取值范围.

【答案】⑴②③

（2）7>-1

（3）14〃<4

【分析】（1）先解方程3x-5=1,再求出各个不等式（组）的解集，然后根据其解集进行判断即可；

（2）解方程组求出x,y,再代入不等式x—求出9的取值范围；

（3）解方程组，用含有。的代数式表示凡V,再根据已知条件列出不等式组，解不等式组求出。的取值范

围即可.

【详解】（1）解:3x-5=l,

解得：x=2,

①2x-3>4x+1,

解得：x<—2,

.•"=2不是此不等式的解；

@2（x+l）-l>5,

解得：x>2,

••.x=2是此不等式的解；

3x-5>2（x-3）

③x+]<]»

解彳导：—1<xS2,

.•"=2是此不等式组的解；

方程3x-5=1的解是此方程与②③的“理想解”，

故答案为：②③；

x-n\x-2y=5+«

（2）解：是方程组'c।与不等式工7>1的“理想解”，

y=n[2x-y=2夕+1

m-2〃=5+夕tn=q-1

解方程组

2m-〃=2q+1〃=-3

即q的取值范围为g>T；

x=4a+\

（3）解：解方程组

x-y=5a-3y=4-4?

••・关于x,y的方程组（与不等式x+2y之。+10的“理想解”均为止数（即“理想解"中的X,y均

为正数）,

4n+l>0①

：.<4-a>0②,

（4«+l）+2（4-tz）>t7+10@

解不等式①，得：a>-；，

解不等式②，得：。<4,

解不等式③，得：a>\,

・•.不等式组的解集为1K〃<4,

即a的取值范围1工。<4.

六、（本大题共12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理）

23.“数学区别于其他学科最主要的特征是抽象和思维”.