2022-2024年高考数学试题分类汇编：平面向量（附解析）

2022-2024真题分类汇编

平面句量

考点1：平面向量线性运算

1.（2022年新高考全国I卷数学真题）在“8c中，点。在边A8上，8O=2D4.记C5=傀诙=〃，则而=

（）

A.3用—2”B.—2成+3”C.3加+2"D.2加+3”

【答案】B

【解析】因为点。在边48上，BD=2DA,所以丽=2丽，S3CD-C5=2（C4-CS）,

所以C*=3CD-2CA=3n-2m=-2m+3/i.

故选B.

考点2:数量积运算

2.（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量方的夹角的余弦值为:，且同=1,1卜3,则

（2%+95=.

【答案】11

【解析】设Z与五的夹角为。，因为Z与五的夹角的余弦值为:，即cos。］,

JJ

乂网=1,W=3,所以£・5=~，/；卜0§。=lx3x，=1,

3

所以（2Z+B）・6=2、万+牙=235+忖=2xl+32=11.

故答案为：11.

3.（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）正方形A8C。的边长是2,E是48的中点，则巨。.瓦=（）

A.V5B.3C.26D.5

【答案】B

uinnuimuuu

【解析】方法一：以｛而，而｝为基底向量，可知卜6

AD=2,ABAD=()t

uunutruimiuinuimutuuiruuiniutuuuu

贝|JEC=E8+8C=-A8+ADE£>=E4+AO=——AB+AD,

22

innum(Ilamuim\(iumuimimu2uim3

所以=+人=+AD=-1+4=3；

方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系,

则E（1,0）,C（2,2）,0（0,2）,可得£C=（1,2）,EO=（—I,2）,

“rUllDUIM1

所以七。・笈。=-1+4=3;

方法三：由题意可得：ED=EC=6CD=2,

DE1+CE--DC25+5-4_3

在&CDE中,由余弦定理可得cos/。比二

2DECE-2xx/5xV5~5

umuiuuummiiiini__

所以ECE£>=ECEDcosZDEC=45xy/5x|=3.

4.（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知向量满足管|=1,历=百,万-2向=3,则［石=（）

A.-2B.-1C.ID.2

【答案】C

【解析】I”2ga|2-Actb+4时,

又仍i=⑸”2/1=3,

•••9=l-4d〃+4x3=\3-4db，

•'-ab=\

故选C.

5.（2024年北京高考数学真题）设入〃是向量，则”,+■）（&-5）=。”是“2=一耳或2=的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

［解析］因为伍+4（力）=方孑=0,可得/=加即同=跖

可知仅+3）•仅-5）=0等价于同明，

若或2=-加可得同=W，即,+孙（万-5）=0,可知必要性成立：

若(。+孙("5)=0,即同=问，无法得出4=分或£=一」,

例如d=(i,o)/=(o,i),满足同=忖，但且心多，可知充分性不成立：

综上所述，平+可.伍-5)=0”是“％”且心―夕的必要不充分条件.

故选B.

考点3：求模问题

6.(2023年新课标全国II卷数学真题)已知向量5满足叫=6,忸+石卜忸叫，则忖=.

【答案】G

【解析】法一：因为B+万卜忸-可，即(及+盯=(21—5)2,

则a+2ab+b~=4a-4ab+b，整理得一2〃〃=。，

又因为卜_6卜石，即

则：-£.32=九3,所以忖=技

法二：设\=。_:，则H=6，a+/?=c+2〃,2"/?=2c+。，

由题意可得：(c+2〃)=(2c+〃)，则:『+4；••1+4%2=4：+4；/+力2，

rr

整理得：1J2,即卜卜卜卜道

故答案为：丛.

7.(2024年新课标全国H卷数学真题)已知向量词满足同=1,*阳=2,且0-2山口则忖=()

A.iB.巫C.BD.1

222

【答案】B

【解析】因为任一24_1尻所以0-%”；=0,即92=237，

又因为问=1/+留=2,

所以1+4£•B+4石“=1+6b=4»

从而5|=-^.

故选B.

8.(2023年北京高考数学真题)已知向量不，5满足不+B=(2,3),々一5=(-2,1),贝丁(『一出『=()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【解析】向量。出满足1+1=(2,3)3一5=(-2,1),

所以|3F-|GF=Q+B)・Q-B)=2x(-2)+3xl=-l.

故选B

9.(2022年高考全国乙卷数学(文)真题)已知向量2=(21)石=(-2,4),则以()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】因为二行=(2,1)-(-2,4)=(4,-3),所以衿闻=52+(_3)2=5.

故选D

考点4:求夹角问题

10.(2023年高考全国甲卷数学(文)真题)已知向量£=(3#/=(2,2),则85@+反2—5)=()

A.—B.叵C.亚D.毡

171755

【答案】B

【解析】因为2=(3,1)石=(2,2),所以Z+B=(5,3),£—5=(l,—l),

则,+d+32=后，,词=、'=0,仅+B).(d询=5xl+3x(T)=2,

(Z+B)•(力)_2_后

所以COS.+瓦

x/34xx/2-17

故选B.

11.(2023年高考全国甲卷数学(理)真题)已知向量满足何=忖=1,同=&,且@+则

cos(a-c,b-c)=()

42-2

B

A，-?--?C.?

【答案】D

【解析】因为々+B+*=0,所以。+力=」，

即a2+b2+2ab=c23Pl4-l+2«.力=2,所以小B=0.

如图，设瓦=鬲。片=瓦面=祗

由题知,OA=OB=\,0C=&QAB是等腰直角三角形，

AB边上的高。。=出,AD=也，

22

所以8=。0+0。=&+立=述，

22

tanZ.ACD==-,cosZ.ACD=~^=

CD3m

cos(a-c,b-c)=cosZ.ACB=cos2Z.ACD=2cos2Z.ACD-\

故选:D.

12.(2022年新高考全国II卷数学真题)已知向量2=(3,4),方=(1,0),3=0+说若＜痴＞=＜瓦，＞,贝打=()

A.-6B.-5C.5D.6

【答案】C

9+3/+163+/

【解析】3=(3+f,4),cos仅用=8S〈b©,即5同二百，解得/=5,

故选C

考点5:平行垂直问题

13.(2024年上海夏季高考数学真题))已知kwRS=(2§,B=(6M),且不〃凡则k的值为.

【答案】15

【解析】•.4/4，.•.22=5x6,解得％=15.

故答案为：15.

14.(2024年新课标全国I卷数学真题)已知向量4=(0,1)出=(2,力,若』_L(5-4d),则尸:)

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】因为万乂万一甸，所以好一砌=0,

所以/_4n=0即4+丁-4x=0,故x=2,

故选D.

15.(2022年高考全国甲卷数学(文)真题)已知向量〃=(〃?,3)出=(1,〃?+1).若入&,则"?=.

3

【答案】-:/-0.75

4

3

【解析】由题意知：ab=m+3(m+\)=0,解得"7二一二.

4

3

故答案为：-二.

4

16.(2023年新课标全国I卷数学真题)已知向量2=(1,1)5=0,-1),若«+网_1_«+闷，则()

A.2+/z=1B.2+//=-1

C.初=1D.办=-1

【答案】D

【解析】因为a==,所以〃+九万=(1+2,1-2),£+〃6=(1+〃,1一〃)，

由R+%与(2+筋)可得，(2+笈)=0,

即(1+/1)(1+〃)+(1_/1)(1_〃)=0,整理得:加=7.

故选D.

17.(2024年高考全国甲卷数学(理)真题)设向量4=(4+1㈤石=(x,2),则()

A.“x=-3”是“2J_B”的必要条件B「”=-3”是“ai/b”的必要条件

C.、-0”是“2J.L的充分条件D.“人=-1+四”是，/万”的充分条件

【答案】C

【解析】对A,当时,则23=0，

所以r(x+l)+2K=0,解得工=0或—3,即必要性不成立，故A错误；

对C,当x=0时，2=(1,0)石二(0,2),故7B=0,

所以31小即充分性成立，故C正确；

对B,当力行时，则2*+1)="解得户1±b，即必要性不成立，故B错误；

对D,当x=-l+G时，不满足2"+1)=/,所以2/4不成立，即充分性不立，故D错误.

故选C.

考点6:平面向■取值与范围问题

18.(2024年天津高考数学真题)在边长为1的正方形A8C。中，点E为线段C。的三等分点，

IuurLILTuun

CE=3DE,BE=；iBA”BC,贝IJZ+〃=；尸为线段班:上的动点，G为质中点，则"•历的最小值

iinn-2Er皿1umini'iuirlam

【解析】解法一：因为。石=一。石，即。石二一m，^BE=BC^CE=-BA+BC,

233

1_4

可得a=不〃=1，所以丸+〃二三；

，3

由题意可知：|品1=1丽卜1.胡.肥=0,

因为厂为线段的上的动点，设丽=A屁丽+A肥,

__(I、_

贝I]A7=4*+8尸=4分+&3£=-fc-1BA+kBC,

(3>

又因为G为”中点，则。C=D4+AG=-46+：4尸=

可得衣ZXj

又因为丘［0/，可知：当左=1时，行.而取到最小值-4；

1O

解法二：以8为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，

则A(TO),B(O,O),C(O,I),D(T,I),E，[，I

可得面=(7,0),阮=(0』),8巨=j_g,l),

因为南=2丽+〃肥=（一九〃），则•一"二一3,所以义+〃=:；

〃=i^

因为点尸在线段B£y=-3x,xe-1,0上，设尸（a,-3〃）,ae-1,0

且G为"中点，则G（?,-|a）,

«+1

可得"=(a+l,-3〃),£>G=

"T-

贝IJ舒.诙二^1^-+（-3a）'|"l）=5（a+|）一,，

fideT-lol所以当a=-:时，标.云取到最小值为-工；

-J」3lo

45

故答案为：—;.

19.（2023年高考全国乙卷数学（埋）真题）已知0。的半径为1,直线力与。。相切于点A,直线PB与。0

交于8,C两点，。为8c的中点，若|PO|=JL则可•方的最大值为（)

A.2B,包

22

C.1+5/2D.2+y/2,

【答案】A

【脩析】如图所示，|OA|=1,|“1=&，则由题意可知:NA尸

由勾股定理可得1pA|=JO尸-CW=1

当点A。位于直线加异侧时或必为直径时.，设/。七”,。工。号,

兀

则：

PA.pD=\PA\\PD\co:a+—4j

71

cosacosa+—

4

cosa-^sina

逝cosa

2

=cos2a-sinacostz

1+cos2a1.c

-----------------sin2a

22

也71

224J

»今则亨2"冷

・•・当2”广4时，丽而有最大值L

当点A。位于直线P。同侧时，设

冗

则：丽/力=1万110力Ia——

4

lx&cosacos(a-9)

但c°sa+巫sina

75cosa

(22

=cos2a+sinacosa

1+cos2a1.,

------------+-sin2a

22

Ix/2

-+——si•nr2a+，一乃,

22I4J

。Y则52T4

，当2a+?=］时，⑸.所有最大值上胃.

综上可得，可•方的最大值为32.

2

故选A.

20.（2022年新高考北京数学高考真题）在小8。中，AC=3,BC=4,ZC=90°.尸为△A8C所在平面内的动

点，且PC=I,则苏.丽的取值范围是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.1-6,4|D.[-4,6]

【答案】D

【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则C（。，。），A（3,0）,8（0,4）,

因为PC=1,所以尸在以C为圆心，1为半径的圆上运动,

设P(cos0,sin。),6w［0,2乃］,

所以抬=(3-854-5皿。),ra=(-cos^,4-sin^),

所以PA-P/j=(-cos^)x(3-cos^)+(4-sin^)x(-sin^)

=cos26^-3cos6?-4sin^4-sin20

=l-3cos^-4sin£?

=l-5sin(6+e),其中sine=。，cos0=*,

55

因为一lKsin(e+>)Kl,所以TW1—5sin(O+°)«6,即⑸•刖«Y,6］；

故选D

21.(2022年新高考天津数学高考真题)在中，CA=a,CB=b,。是4c中点，丽=2丽,试用

表示海为，若荏诙，则N4C8的最大值为

・■3-r1-7T

【答案】-b--a—

22o

【解析】方法一:

A

_______3i

DE=CE-CD=-b--d,AB=CB-CA=b-^ABLDE=>Ob-a)(b-d)=0,

3.+/=4——火8=舒=泮£=§当且仅当同=6忖时取等号，而

/,1、/Ie1A*\^t!7•»”z

0<ZACB<n,所以/ACSw(0,2].

6

故答案为：|吟心f.

方法二：如图所示，建立坐标系:

DEIAB^(―)(x-1)+^-=0=>(x+1)2+y2=4,所以点A的轨迹是以M(-l,0)为圆心，以「=2为半径的

22

圆，当且仅当C4与0M相切时，/C最大，此时3］。=三=：=《,/。=£

CM426

3-1-乃

故答案为：产外不

22.（2022年新高考浙江数学高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形A4…4的边AA上，则

中;+限？+…+品的取值范围是.

【答案】［12+2>/2,16］

【解析】以圆心为原点，A74所在直线为x轴，AA所在直线为）'轴建立平面直角坐标系，如图所示:

rv5立］,A(L0)，44,一44（一1,0）,4（一手，乎，设P（x,）'）,

则A(0,1),4,人（0,一i），A

2'2-当,-当

于是前+忒+...+而;=8（f+y2）+8,

因为cos22.5K|OP区1,所以；s-wf+y%],故中;+忒+…+阮的取值范围是[12+20,16].

故答案为：[12+2近,16].

23.（2023年天津高考数学真题）在AAbr