2016-2025年安徽中考数学试题专项汇编：相似三角形

4.5相似三角形

一、与相似三角形有关的证明与计算

1.（2020安徽中考第8题）如图，Rt^ABC^,zC=90°，点。在AC上，乙DBC=4A.若AC=4,cosA=£

则BO的长度为（）

D.4

2.（2021安徽中考第23题）如图1,在四边形ABC。中，々IBC=iBCD,点E在边8c上，月/E〃CD,

DE//AB,作C/7/4D交线段AE十点R连接8F.

(1)求证：^ABF^^EAD；

(2)如图2,若｛8=9,CD=5,乙ECF=^AED,求BE的长;

如图3,若即的延长线经过AO的中点M,求整的值.

EC

图2图3

3.（2019安徽中考真第23题）如图，RU3ABC中，0ACB=9O°,AC=BC,P为△ABC内部一点，且

ZAPB=ZBPC=135°

（1）求证：△PAB^APBC

（2）求证：PA=2PC

（3）若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为hi,h2,h3,求证h声11冲3

'B

4.(2017安徽中考第23题)已知正方形ABC。,点M为边AB的中点.

⑴如图1,点G为线段CM上的一点，且NAG3=90°,延长AG,BG分别与边BC,CD交于点E,F.

①求证:

②求证:8E2=BCCE

(2)如图2,在边BC上取一点区满足8序=8CCE,连接AE交CM干点G,连接BG并延长交CD于点F,

求tanNC8尸的值.

5.(2024安徽中考第22题)如图1,1348c。的对角线4c与BD交于点。，点M,N分别在边4),BC上,

且4M=CN.点£尸分别是3。与AN,CM的交点.

图3

(1)求证：OE=OF；

(2)连接8M交4c于点”,连接HEHF.

(i)如图2,SHEHAB,求证:HFHAD；

乙EHF=60°,求二：的值.

()i)如图3,若比4BCD为菱形，且M。=2/1M,BD

6.(2023安徽中考第22题)在中，例是斜边A4的中点，将线段M4绕点M旋转至A/D位置，点

。在直线八5外，连接AR8O.

图1图2图3

(1)如图1,求NAO8的大小;

⑵已知点。和边AC上的点E满足ME±AD.DE//AB.

(i)如图2,连接CD,求证：BD=CD；

(ii)如图3,连接班:，若AC=8,4C=6,求tanNABE的值.

参考答案与解析

一、与相似三角形有关证明计算

1.（2020安徽中考第8题）如图，Rt^ABC^,zC=90°，点。在AC上，乙DBC=4A.若AC=4,cosA=£

则BO的长度为（）

CgD.4

.4

【答案】C

【详解】VZC=90°,/.cosi4=^,

AB

4

ACcosA=一,

=4,sAB=5>

根据勾股定理可得BC=，JB2-心=3,

4

Z.DBC=乙4,cosZDBC=cos>

r.cosZDBC=^=p即.・.BD=¥，

BD5BDS4

故选：C.

2.（2021安徽中考第23题）如图1,在四边形"CO中，乙=点七在边AC上，RAE//CD,

DE//AB,作。/〃力。交线段AE于点F,连接BE

(1)求证：△ABFWAEAD；

（2）如图2,若48=9,CD=5,乙ECF=^AED,求BE的长;

（3）如图3,若8户的延长线经过AD的中点M,求萼的值.

【答案】（1）见解析；（2）6；（3）1+V2

【详解】（1）证明：AE〃CD,：•乙AEB=LDCE；

vDE//AB,A/.ABE=/-DEC,z.1=z2.

vLABC=/.BCD,AZ.ABE=Z.AEB,Z.DCE=/.DEC»=AE»DE=DC,

vAF//CD,AD//CF,四边形AFC。是平行四边形

•t.AF=CD,AF=DE

AB=EA

在A/B/与△E4D中，zl=z2,

AF=ED

三△E40（S4S）

（2）-^ABF=△EAD,ABF=AD,

在口49。0中，/ID=CF,BF=CF,•••乙FBC=Z.FCB,

X,.Z.FCB=z.2,z2=zl,zFBC=zl,

（乙EBF=Z.1

在AEBF与A中,LBEF=Z.AEB

vAB=9,AE=9：vCD=5,二AF=5；

„EB4

ErF=4,•,•—=—

9EB

BE=6或一6(舍)；

(3)延长BM、ED交于点G.

•••△ABE与△£)(：£1均为等腰三角形,/.ABC=LDCE,

,ACL八〃r-ABHEBE

••△ABE—△ADCE,•••——=——=——,

DCDECE

设CE=1,BE=x,DC—DE=a,

则48—AE—axyAF=CD=a,EF=a{x—1),

vAB//DG,**.z3=4G；

Z3=

在AM/IB与△MOG中，z4=z5»

MA=MD

=△MDG(AAS)；

•••DG=AB=ax,EG=a(x+1)：

vAB//EG,FABFEG,

...必二竺，,a二内，

FSEG’"a(x-l)a(x+l)'

•••x(x-1)=x4-1,

%2-2x-1=0,

•••(x-l)2=2»x=1±V2,

•••xj=1—&(舍)，x2=1+V2,

••・一+戈•

3.(2019安徽中考真第23题)如图，Rt团ABC中，0ACB=9O°,AC=BC,P为△ABC内部一点，且

ZAPB=ZBPC=135°

(1)求证：△PAB^APBC

(2)求证：PA=2PC

(3)若点P到二角形的边AB,BC,CA的距离分别为hi,h2,h3,求证11声112由3

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.

【详解】解：⑴VZACB=90°,AC=BC,

ZABC=45°=ZPBA+ZPBC

又NAPB=135。，

AZPAB+ZPBA=45°,

AZPBC=ZPAB,

又；NAPB=NBPC=135。，

AAPAB^APBC：

（2）VAPAB^APBC,

...—PA=—PB=一AB,

PBPCBC

在RIAABC中，AC=BC,

/.PB=V2PC,PA=V2PB

.*.PA=2PC；

（3）

过点P作PD_LBC,PE_LAC交BC、AC于点D,E,

*.*ZCPB+ZAPB=135°+135°=270°,

AZAPC=90°,AZEAP+ZACP=90°,

又丁ZACB=ZACP+ZPCD=90°

AZEAP=ZPCD,

ARtAAEP^RtACDP,

啸嗯=2，艮瞪=2,・・.h3=2h2

VAPAB^APBC,

.*.~=^7=V2»Ah1=x^2h2

h?BC

22

BPh1=2h2=2h2•h2=h2h3.

4.（2017安徽中考第23题）已知正方形ABCD,点M为边A8的中点.

（1）如图1,点G为线段CM上的一点，且/AG8=90°,延长AG,8G分别与边8CCQ交于点

①求证

②求证:8序=4CC£.

（2）如图2,在边BC上取一点£满乃8E2=8CC£连接AE交CM干点G,连接BG并延长交C。于点F,

求tanNCBV的值.

【答案】（1）详见解析；（2）tan/CBF=号.

【详解】⑴①丁四边形A8CQ是正方形，

.•・AB=BC,NABC=NBCF=9U°,

/.ZABG+ZCBF=90°,

：2463=90°,

•：NABG+NR4G=90°,

"BAG=/CBF

：・AB=BC,NABE=/BCF=90；

"ABE妾ABCF,

・・・BE=CF.

②：2AG8=90°,点M为44的中点，

・：MG=MA=MB,

.：NGAM=NAGM

又：*ZCGE=^AGM,ZGAM=ZCBG,

"CGE二/CBG,

又/ECG=/GCB,

・：kCGEsbCBG,

z—="，即CG2=BCCE.

CGCB

VzlCFG=ZGBM=ZBGM=ZCGF,•:CF=CG,

由①知BE=CF,

.：BE=CG,.：BE2=BCCE.

DFC...........N

（2）延长AE,DC交于点N,I\/I

丁西边形ABC。是正方形，

・・.AB〃CD,・・./N=/EAB、1X

AMB

乂:2CEN=NBEA,

••・LCENsABEA、e="即BECN=ABCE.

BEAB

:・AB=BC,BE2=BCCE,・：CN=BE,

VAB//DN,

AMGMMB

7AM=MB,・：CF=CN=BE.

不妨设正方形的边长为

由BE2=BCCE可得x2=1-（1-幻，

解得工尸与M上孰舍），•嘿=冬

则lan/CBF0=里=邑.

BCBC2

5.（2024安徽中考第22题）如图】，团48C0的对角线力，与8。交于点。，点M,N分别在边/W,3c上,

且＜M=QV.点、E,r分别是B。与AN,CM的交点.

(1)求证：OE=OF；

(2)连接8M交AC于点〃，连接“&HF.

(i)如图2,若HEIIAB,求证：HFWAD；

(ii)如图3,若瓯48CD为菱形，且M。=2AM,Z.EHF=60°,求鼻的值.

【答案】(1)见详解

(2)(i)见详解，(ii)

【详解】(1)证明：I四边形4BC。是平行四边形,

：.ADIIBC,OA=OC,

：.AM||CN,

又=CN,

・•・四边形4MGV是平行四边形，

：.AN||CM,

：.LOAE=Z.OCF.

在小。5与4COF中，

20AE=乙OCF

OA=OC

(dOE=Z.COF

：.^AOE^ACOFCASA).

：.0E=OF.

(2)(i):HE||AB

.OH_OF

••港=布'

又08=OD.OE=OF,

.OH_OF

••%二布‘

'：LHOF=^AOD,

:,hHOFsAAOD,

：.“HF=WAD,

：.HF\\AD

(ii)・・・A8CD是菱形，

：.AC1BD,

又OE=OF,乙EHF=60°,

：.Z.EHO=乙FHO=30°,

:.OH=WOE,

'：AM||BC.MD=2AM,

AAAHMfCHB,

>••一AH=-AM-

HCBC

即HC=3AH,

AOA+AH=3(04-OH),

：.0A=20H,

*：BN||AD,MD=2AM,AM=CN,

：,ABNEDAE,

_B_EBN―2

ED~AD-3"

即38E=2ED,

・・・3(OB-OE)=2(O8+OE)

：.0B=50E,

A，lAC__OA_20H2Xy/3OE2>/3

14

乂茄~~OB~TOE50E-S

6.(2023安徽中考第22题)在RtZVlBC中，M是斜边AB的中点，将线段Ml绕点M旋转至M。位置，点

。在直线外，连接A。/。.

图1图2图3

(1)如图I,求NAQ3的大小;

(2)已知点。和边4C上的点E满足ME±AD.DE//AB.

(i)如图2,连接CD,求证：BD=CD；

(ii)如图3,连接的，若AC=8,BC=6,求tanNA8£的值.

【详解】(1)解：VM/1=MD=MB,J./.MAD=Z.MDA,Z.MBD=

在△480中，Z.MAD+/-MDA+Z.MBD+ZMD^=18O°

：.LADB=Z-ADM+乙BDM=?=90。

(2)证明：(i)证法一：如图，延长B。、AC,交于点尸，贝iJzBCr=90。,

*：ME1AD,Z.ADB=90°,

又「OEIMB,I.四边形80EM是平行四边形，・・・0E=8M.

是48的中点，・・.4M=BM,・・.DE=/1M..•・四边形力MOE是平行四边形.

•：MELAD,・・・[!MMDE是菱形，：,AE=AM.

••