实数及其运算（十大考点）-2026中考数学总复习考点突破（解析版）

专题01实数及其运算（十大考点）-【重难突破】2026中考数学总复习-考点强化

讲与练

分类

（1）实数分类

「正整数・

-整数-—■自然数

L负整数•

[•有理数-

・正分数.有限小数

L分数-

实数•.负分数.或无限循环小数

无限不循环小数

（2）无理数的几种常见类型

①开方开不尽的数，如虎，2等；

②有特定意义的数，如圆周率兀，或化简后含有兀的数，如4等；

③有特定结构的数，如0.1010010001…等无限不循环小数；

（二）实数的相关概念

（1）绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，间对。零的绝对值是它本身，也可看成它的相

反数，若|a|=a,则心0；若|a|=-a,则它0。

（2）相反数：实数与它的相反数时•对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零）.从数轴I:

看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0,a=-b,反之亦成立。

（3）倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=l,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。

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（4）数轴：①数轴的三要素为座点、正方向和单位长度,数轴上的点与实数构成一一对应.

②数轴上a,b两点之间的距离=|a-0

（三）科学计数法

（1）形式:axlOn,其中lS|a|V10,n为整数

（2）确定n的方法：对于数位较多的大数，n等于原数的整数为减去1；对于小数，写成QXl（Tn,l<|a|<10,

n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个）

（四）实数的大小比较

有理数的比较大小的法则在实数范围内同样适用。

（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（2）求差比较：设a、b是实数，

a-b>O<^a>b,

Q-b=O=a=b,

Q-bVO=QVb

（3）求商比较法：设a、b是两正实数，>1<=>a>媚=1Qa=b;*<1<=>a<d;

（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则|a|>网QQVb。

（5）平方法：设a、b是两负实数，则>必=。<八

备注：遇到有理数和带根号的无理数二匕较大小时，让“数全部回到根号下“，再比较大小。

（五）开方运算

（1）平方根、算数平方根：

如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根（或二次方根）。一个数有两个平方根，他们互为相反数；

零的平方根是零；负数没有平方根。正数a的平方根记做“土6"。

正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“返工

正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术-平方根是零。d

（2）立方根:

如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的立方根（或a的三次方根）。一个正数有一个正的立方根；一个负

数有一个负的立方根：零的立方根是零。

注意：g=-g，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

（六）实数运算

常考的运算法则：

（1）乘方：（-2）3=-8

（2）-1的奇偶次慕：（偶次为1,奇次为・1）

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（3）零次塞:a°=l（a和）

（4）负指数累：建=/（按止指数，冉倒数）

（5）绝对值运算：

Q（Q〉O）

|a|10（a=0）

_Q（QV0）

（6）特殊角的三角函数：sin30。4等

实数的运算顺序：

实数的运算顺序是先算乘方和开方,再算乘除,最后算加减.如果芍括号，一股先算小括号里面的，再算中括号

里面的，最后算大括号里面的,同级运算应从左到右依次进行.

运算律：

（1）加法交换律：a±b^b±a.

（2）加法结合律:（a+b）+c=a+（〃+c）.

（3）乘法交换律：ab=ba.

（4）乘法结合律：（ab）（反）.

（5）分配律：a（He）;ab+ac.

考点1实数的分类

典例1：

1.在实数VLx。（x/D,cos30。，弼中，有理数的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】【解答】解：在实数也x°（x#））=1,cos30°=强=2中，有理数是狗=2,卜。=1,

所以，有理数的个数是2,

故答案为：B.

【分析】有理数是整数（正整数、（）、负整数）和分数的统称。根据有理数的定义求解即可。

【变式1】

2.下列各数是负数的是（）

A.0B.1C.-（-5）D.-V5

【答案】D

【变式2】

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3.四个数一1,0,J,国中，为无理数的是

【答案】V3

【解析】【解答】解：-1,0,如有理数，国是无理数.

故答案为：V3.

【分析】无限不循环小数叫做无理数.

【变式3】

4.在竽，W，7T,一1.6,俄这五个数中，有理数有个.

【答案】3

考点2数轴的相关计算

典例2：

5.实数a,b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（）

ab

—*-«--->----'------

-1012

A.\a\>\b\B.a+b<0C.a+2〉b+2D.\a-l\>\b-l\

【答案】D

【变式1】

6.如图，数轴上点A表示的数是2023,OA=OB,则点B表示的数是（）

BOA

-,02023X

1

A.2023B.-2023C_—D.

20232023

【答案】B

【解析】【解答】解：由题意得数轴上点A表示的数是2023,OA=OB,

・••点B表示的数是-2023,

故答案为：B

【分析】根据数轴的概念即可求解。

【变式2】

7.如图，点A,B,C在数轴上，点A表示的数是一1,点8是4C的中点，线段AB=&，则点C表示的数

是.

A।IB1C1A

-10

【答案】2V2-1

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【解析】【解答】解：•・•点B是AC的中点，线段48=四，

：-AC=2您，

故C表示的数是：2或一1.

故答案为：2或一1.

【分析】先求出AC,即可求出答案.

【变式3】

8.一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动.第一次从原点。起跳，落点为4,点4表示的数为1；第二次从点4

起跳，落点为04的中点4；第三次从Az点起跳，落点为0小的中点小；如此跳跃下去……最后落点为

。从2019的中点42020.则点A2O2O表示的数为.

【答案】72019

乙

【解析】【解答】由题意得：点力1表示的数为1=*

点A2表示的数为加1=»小

111

点小表示的数为

111

点A4表示的数为或。&=专=$

归纳类推得：点41表示的数为号（n为正整数）

11

则点A2020表示的数为"2020-1=2019

乙7?乙

故答案为：2019♦

【分析】先根据数轴的定义、线段中点的定义分别求出点41，上，人3,44表示的数，再归纳类推出一般规

律，由此即可得.

考点3相反数

典例3：

9.若x与y互为相反数，z的倒数是一3,则2x+2y—3z的值为（)

A.-9B.-1C.9D.1

【答案】D

【解析】【解答】解：二”与y互为相反数，z的倒数是一3,

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]

/•X+y=0,Z=—*

；・2x+2y-3z=2(%+y)-3z=2x0-3x(-不)=0+1=1，

故答案为：D.

【分析】一对相反数的和为0,一对倒数的积为1.

【变式1】

10.下列各组数中，互为相反数的是（）

B

A.|一2024|和—2024-2（四和嬴

C.|一2024|和2024D.-2024和募

【答案】A

【变式2】

11.若a、b互为相反数，c为8的立方根，贝ij2a+2b-c

【答案】-2

【解析】【解答】解：•・“、b互为相反数，c为8的立方根,

a+b=0,c=2,

r.2a+2b-c=0-2=-2

故答案为：-2

【分析】根据相反数和立方根即可得到a+b=0,c=2,进而代入即可求解。

【变式3】

12.计算：一（一2024）=

【答案】2024

考点4绝对值

典例4：

13.已知m匕都是实数，若（a+2）2+|b-l|=0,则（Q+5）2023的值是（)

A.-2023B.-1C.1D.2023

【答案】B

【变式1】

14.已知实数Q,b在数轴上的位置如图所示，则含+卷的值是（

)

0h

A.—2B.C.0D.2

【答案】C

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【变式2】

15.已知实数a,b满是3历K+SI"=9,s=7?=1+奈也|,则w=18s+1的最大值为

【答案】55

【变式3】

16.已知a,b都是实数，若|a+l|+（b—2022）2=0,则成=.

【答案】1

考点5

典例5：

17.我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展.据中国汽车工业协会发布的消息显

示.2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口30.7万辆.将30.7万用科学记数法表示为3.07x10巳则n的

值是（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】【解答】解:30.775=307000=3.07x105,

则?1=5,

故选：B.

【分析】本题主要考查科学记数法，科学记数法的表示形式为QX10”的形式，其中a为整数，确定n的值

时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可作答.

【变式1】

18.“海葵一号”是完全山我国自主设计建造的深水油气田“大国重器”，集原油生产、存储、外输等功能于一

体，储油量达60000立方米.将60000用科学记数法表示为（）

A.6x103B.60x103C.0.6x105D.6x104

【答案】D

【解析】【解答】解：60000=6x104,

故选：D.

【分析】科学记数法的表现形式为ax10”的形式，其中lW|a|<10,n为所有整数位的个数减1.

【变式2】

19.2023年呼和浩特市政府工作报告中指出，我市主要经济指标增速达到十年来最好水平，地区生产总值完

成3802亿元，数据“3802亿”用科学记数法表示为.

【答案】3.802x10"

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【解析】【解答】解：3802^=380200000000=3.802x1011,

故答案为：3.802x1011.

【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成QX的形式，其中仁同＜10,n等于原数的整

数位数减去1,据此可得答案.

【变式3】

20.2024年政府工作报告提出，我国今年发展主要预期目标是：国内生产总值增长5%左右，城镇新增就业

1200万人以上……将数”1200万“用科学记数法表示为.

【答案】1.2x107

考点6

典例6：

21.用四舍五入法将数3.14159精确到千分位的结果是（）

A.3.142B.3.141C.3.14D.3.1

【答案】A

【变式1】

22.用四舍五入法按要求对0.05049分别取近似值，其中错误的是（）

A.0.1（精确到0.1）B.0.05（精确到百分位）

C.0.05（精确到千分位）D.0.050（精确到（）.001）

【答案】C

【解析】【分析】根据近似数与有效数字的概念对四个选项进行逐一分析即可.

【解答】A、0.05049精确到0.1应保留一个有效数字，故是0.1,故本选项正确；

B、0.05049精确到百分位应保留一个有效数字，故是0.05,故本选项正确；

C、0.05049精确到千分位应是0.050,故本选项错误；

D、0.05049精确到0.001应是0.050,故本选项正确.

故选C.

【点评】本题考查的是近似数与有效数字，即从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的

数字都是这个数的有效数字.

【变式2】

23.为了保护人类居住环境，我国的火电企业积极做好节能环保工作.2011年，我国火电企业的平均煤耗继续

降低，仅为330000亳克/千瓦时，用科学记数法表示并保留三个有效数字为亳克/千瓦时.

【答案】3.30x105

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【解析】【解答】解：根据题意330000用科学记数法表示为3.30X1"亳克汗瓦时.

故答案为：3.30x105.

【分析】科学记数法的表示形式为axion的形式，其中i§a|V10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变

成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；

当原数的绝对值小于I时，n是负教.

【变式3】

24.某省将为义务教育阶段的贫困学生免费发放教科书，预计发放总量为1500万册，发放总量用科学记数

法记为万册（保留3个有效数字）.

【答案】1.50x103

考点7

典例7：

25.下列各数中，最小的数是（）

A.—2B.-（—2）C.—D.—y/2

【答案】A

【解析】【解答】解：-（-2）=2,

,**—2<—V2V—；V—（—2）

・•・最小的数是一2

故答案为：A.

【分析】根据实数的大小比较“正数大于零,负数小于零，两个负数比较大小绝对值大的反而小''解答即可.

【变式1】

26.下面四个数中，比1小的正无理数是（）

7T

A.9B.C.1D.

33

【答案】A

【解析】【解答】解：坐、金属于正无理数，且（学2等1,爱>1,

・••比1小的正无理数为承

故答案为：A.

【分析】无理数是无限不循环小数，然后利用平方法进行比较即可.

【变式2】

27.我国古代数学家张衡将圆周率取值为VTU,祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为华.比较大

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小：Vio（填“>”或y）.

【答案】>

【解析】【解答】解：（Vig/=io=鬻，（钓2二鬻,

・・490、484

・酒》祈

・,・旧〉竽

故答案为：>.

【分析】分别求出VIU与爷的平方数，比较平方数的大小，继而得解.

【变式3】

28.写出一个比VT大且比VIU小的整数是.

【答案】2或3

【解析】【解答】VV3<2,3<V10

AV3<2<3<V10

即比百大且比小的整数为2或3,

故答案为：2或3

【分析】利用估算无理数的大小可知g<2<3VaU,即可得到比国大且比au小的整数.

考点8平方根、算术平方根、立方根

典例8：

29.完全相同的4个正方形面积之和是100,则正方形的边长是（）

A.2B.5C.10D.20

【答案】B

【解析】【解答】解：设四个完全相同的正方形边长为a,

依题意得：4a2=100,解得a=±5,

Va>0,

a=5,

・,•正方形的边长为5.

故答案为：B.

【分析】根据题意可以设元列方程解之即可.

【变式1】

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30.弼I的平方根是（）

A.±3B.3C.±9D.9

【答案】A

【变式2】

31.计算：弼+（—1）2024=

【答案】3

【变式3】

32.一个正数。的两个平方根是28一1和匕十4,贝9Q+b的立方根为

【答案】2

【解析】【解答】解：・・・2b一1和。+4是正数。的平方根，

A2b-l+d+4=0,

解得b=-1,

将b代入2b—1=2x(―1)—1——3,

・・・正数a=(—3)z=9,

.*.a+h=-1+9=8,

•9•a+b的立方根为：Va+b=V8=2,

故填：2.

【分析】先求出匕=一1,再求出。+6=—1+9=8,最后求解即可。

考点9无理数的估算

典例9：

33.矩形相邻两边长分别为遮cm、居cm，设其面积为Sc/,则S在哪两个连续整数之间（）

A.1和2B.2和3C.3和4D.4和5

【答案】C

【变式1】

34•设馆=5压，则实数m所在的范围是（）

A.m<-5B.-5<m<-4C.-4<m<-3D.m>-3

【答案】B

【解析】【解答】解：由题意可得：m=5J1-V45=V5-3x/5=-2V5>

VV16<>/20=2V5<V25,

，4V275V5,

；・一