2026年高考数学二轮复习 突破练13 计数原理、概率

专题突破练13计数原理、概率

必备知识夯实练

1.（2025福建泉州二模）若（奴+妥）〃的展开式中二项式系数之和为32,各项系数之和为

243,则展开式中:的系数是（）

A.32B.64

C.80D.16

2.（2024广东深圳一模）骰子是质地均匀的正方体，各面分别标有数字123,4,5,6.现在拱（

--枚骰子两次,记事件4="两次点数的最小值为3”,事件8="两次点数的最大值为6”,则

P（B\A）=（）

3.（2025陕西咸阳二模）2025年有双春年之寓意，双春年是指在一个农历年中出现两个立

春节气的现象这是由于农历和阳历之间的差异造成的，为了使农历与季节变化相适应，

农历中会设置闰月,2025年有闰六月，从而导致一年中出现两个立春.在传统文化中，双春

年通常被认为是非常吉利的年份,双字寓意着好事成双，在这一年做任何事都会有好兆

头.那么，用2025,66,2,0,2,5组成不同的10位数的个数为（）

A.294B.297

C.298D.300

4.（多选题）（2025福建厦门二模）某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有6位

男生,4位女生进入决赛.现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女

生”，事件8表示“第二位出场的是女生”，则（）

A.P（AB）=3^

J

C.P（A）=P（B）

2

D.P（AUB）=-

3

5.（多选题）（2025浙江宁波模拟）在（卷++〃的展开式中，前3项的系数成等差数列，则下

列结论中正确的是（）

A.〃二8

B.展开式中所有奇数项的二项式系数和为128

C.展开式中的常数项为白

D.展开式中系数最大项为第3项和第4项

6.（2025湖北武汉一模）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满十

进一就是十进制,满八进一就是八进制，即“满几进一”就是几进制，不同进制的数可以相

互转换，如十进制下,159=2x82+3x8+7,用八进制表示159这个数就是237.现用八进制表

示十进制的则这个八进制数的最后一位为（）

A.3B.4

C.5D.7

7.（2025上海崇明二模）抛掷一枚质地均匀的硬币〃次（其中〃为大于等于2的整数），设事

件A表示“次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件8表示“次中至多有一次正面朝

上”,若事件A与事件B是独立的，则〃的值为（）

A.5B.4

C.3D.2

8.（2025福建漳州一模清十妥-3户的展开式中，常数项为.

9.（2025八省联考,13）有8张卡片，分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,现从这8张卡片中随机抽

出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率

为.

关键能力提升练

10.（2025福建漳州一模）设4乃是两个随机事件，且0＜P（A）＜l,P（B）＞0,则下列说法正确的

是（）

B.1-P（AB）=（1-P（A））P（B|Z）

C.若4与B互斥，则P（AUB）=1

D.若则A与B相互独立

11.（多选题）（2025广东茂名模拟）某高中开展一项课外实践活动，参与活动并提交实践报

告可以获得学分,且该校对报告的评定分为两个等级:合格，不合格.评定为合格可以获得

0.2学分,评定为不合格不能获得学分.若评定为不合格，则下一次评定为合格的概率为最

若评定为合格，则下一次评定为合格的概率为*已知小李参加了3次课外实践活动，则

（）

A.“小李第一次评定合格”与“小李第一次评定不合格”是互斥事件

B.若小李第一次评定为不合格，则小李获得（）.4学分的概率为孩

C.若小李第一次评定为合格，则小李第三次评定为合格的概率为争

D.”小李第一次评定合格”与“小李第三次评定合格”相互独立

12.（2025浙江杭州二模）甲、乙、丙三人分别从2个不同的数中随机选择若干个数（可以

不选），分别构成集合A,8,C,记ACBCC中元素的个数为，小则心的概率为.

13.（2025安徽合肥二模）如图，在4x4的方格中放入棋子,每个格子内至多放一枚棋子，若

每行都放置两枚棋子，则恰好每列都有两枚棋子的概座为.

核心素养创新练

14.（2025山东名校联考）若0,42,43,44,45,46为123,4,5,6的任意排列.设

X=min{max{的必⑷},max（a49as,O6}},X=max{min{ni,02,03},min{45M6}},则（）

（已知min{々i,42,表示ai,…中最小的数,max{山,42,…,小}表示ai,s,…，如中最

大的数）

A.排列总数为700

B.满足0<〃2<。3的排列有8（）个

C.X>4的概率小于:

D.x>y的概率为《

答案:

1.C解析因为(or+妥)"的二项式系数之和为32,则2"=32,解得〃=5,因为(如+点/展开式

各项系数和为243,令户1,代入可得5+1)5=243=3\解得〃=2,(2叶点)5的展开式的通项公

式为77+尸谶⑵产〈fys应C纣3■仁(()』,2,3,4,5},令5-3-1,解得上2,则展开式中1

的系数为23-*8x10=80.故选C.

2.C解析事件A包含(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,3),(5,3),(6,3),共7种情况，其中只有(3,6)和

(6,3)满足“两次点数的最大值为6”,故P(B|A)V故选C.

3.B解析2025,66,2,0,2,5这6个数的全排列为A?,又0排在首位有A］种排法，又有2个

2,它们之间的排序有A'种，当2。2,5这4个以2025这种顺序与66和2025排序有A「3

种,所以用2025,66,2,0,2,5组成不同的10位数的个数为誓一A：=297.

A2

4.BCD解析由题意得，P(A3)=需豳==*故A错误；

由题意得,P(A)=策=黯="尸(始尸需=招B正确；

对于事件B可分为两种情况，即第一位出场的是男生,第二位出场的是女生，或第一位出

场的是女生，第二位出场的是女生，

•nzD\_C6C4A8+C4C3A8_6x4xAg+4x3xAg_2

•尸疏=—1OX9XA|—=?

・・・P(A)=P(B),故C正确；

onoO

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=^+*-三=±,故口正确.故选BCD.

55153

5.ABD解析('+畀展开式的通项公式为5+kG忌)"畀9.C行眩则前3项

的系数分别为呆对于A,由题意可得2x=C?+；鬣，即L1+当2解得

24Z4o

〃=8或片1(舍去)，所以片B,故A正确;对于B,弓+巧8展开式中所有奇数项的二项式

系数和为28,故B正确;对于C,(~T=+巧8展开式的通项公式为Tk+i=$,C&d",令k-

4二0测七4,所以(白+苧)8展开式中常数项为高•黑=争故C错误;对于D,设展开式中

第r+1项的系数最大，则有解得『2或『3,所以展开式中系数最大

项为第3项和第4项，故D正确.故选ABD.

,9,9,9,8,7,6,5

6.D解析7=(8-1)=8-C19X8+C?9x8-Cf9x8+Cj9x8+-+C1fx8-l,而C片x8・

1=151=2x82+2x8+7,故最后一位数为7,故选D.

7.C解析抛掷一枚质地均匀的硬币〃次，所有可能的结果有2〃种.

事件A表示“〃次中既有正面朝上又有反面朝上”，其对立事件了为“〃次都是正面朝上或〃

次都是反面朝上“7包含的情况有2种，所以P(A)=^=会根据对立事件概率之和为1,

可得P(A)=1-P(彳)=1-白.

事件8表示“〃次中至多有一次正面朝上“，即“次中没有正面朝上(全是反面朝上)”或"〃

次中有一次正面朝上次中没有正面朝上''的情况有1种;“〃次中有一次正面朝上”，从

〃次中选1次为正面朝上，有吗=〃种情况.所以事件B包含的情况共有〃+1种，则

P(8)=祟，

事件AA3表示“〃次中既有正面朝上又有反面朝上且至多有一次正面朝上”，即“〃次中有

一次正面朝上”，有聒二〃种情况，所以P(AnB尸去.

因为事件A与事件〃是独立的，所以尸(4n8)=。(4)尸(⑶，即二=(1-；i)x

44

可得〃二(1-/)(〃+1),展开得〃=〃+1-紫，即n+\=2n].

当〃=2时,2+1=3,22/=2,等式不成立;当〃=3时,3+1=4,23/=4,等式成立;当〃二4

时,4+1=5,2*=8,等式不成立.综上，〃=3.故选C.

8.-873解析3+9-3)5的展开式的常数项为CrCJ<-3)3+髭-C1<-3)+(-3)5=20x(-

3)s+30x(-3)+(-3)5=-873.故答案为-873.

9.^解析从8张卡片中随机抽出3张，则样本空间中样本点的个数为喘二56.

56

因为1+2+3+4+5+6+7+8=36,所以要使抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片

上的数字之和相等，则抽出的3张卡片上的数字之和应为18,则抽出的3张卡片上的数

字的组合有8,7,3或8,6,4或7,6,5,共3种，所以符合抽出的3张卡片上的数字之和为18

的样本点的个数为3,所以抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和

相等的概率为

56

10.C解析对于A选项,玳引4)=第，若P(A8)>P(8|4),则P(A)>1,不符合题意，故A选

项不正确；

对于B选项,。(8|不一盟=鬻^若1P(A))P(BIA)M1/(A8)-P(彳8),所以

P(A8)+尸(98)=1,即P(8)=l,不符合题意，故B选项不正确；

对于C选项，因为A与8互斥，所以An8=0,又彳以4=0,耳UB=所以AG瓦8G无所以

AUB=Q,故P(AU万)=1,故C选项正确；

对于D选项,P(AB)/),不能说明P(AB)=P(A)P(B)成立，故D选项不正确.故选C.

11.AB解析事件“小李第一次评定合格”与“小李第一次评定不合格”不可能同时发生，

所以互斥，故A正确；

若第一次评定为不合格,设事件A尸”第，次评定为合格”』=2,3.

则事件“小李获得0.4学分”即事件AM%由概率乘法公式得，

尸(4加尸尸处)尸(A31A2)4x：=总故B正确；

若第一次评定为合格，则由全概率公式得，

P(A3)=P(A31A2)P(A2)+P(A3瓦)P(瓦)芸X|+2x(l1)=*故C错误;

P(A3|4)=9若第一次评定为不合格，由全概率公式可得

----4q4416

P(A3)=P(A|A2)尸(A2)+尸(A34)P(42)Wx(令黑

X7+-

即P(A3瓦)=9所以尸(A3|击/P(A3|再),即第一次评定是否合格对第三次评定合格的概率

有影响，故“小李第一次评定合格”与“小李第三次评定合格''不相互独立，故D错误.故选

AB.

12.台解析设两个不同数为1,2,一个元素被某人选中的概率为:且各元素被选中与否

642

相互独立,所以一个元素被甲、乙、丙三人都选中的概率为$3二;，由Ansnc中元素的

28

个数〃表示至少一个元素被三人选中，而两个元素均未被三人选中的概率为(1-

5)2=^,所以m21的概率为1-

8646464

13.意解析设“每行都放置两枚棋子”为事件4”每列都有两枚棋子”为事件B,则所求概

率为P⑶人户瑞=喘.

根据题意,每行都放置两枚棋子，即每行都在4个方格中选2个放置棋子，有鬣种方法，所

以〃(A)=C公鬃•第•鬃二1296.

对于“每行每列都放置两枚棋子”，不妨令第一行的两枚棋子放置在左边第一、二个方格,

此时第二行有第二6种放置方法，则第三、四行的放置方法如图所示，

图1

••

■•

42•

小4•

图2

••

・■

•

GC2

•

c2C,

图4

图5

图6

图1有1种方法，图2,3,4,5各有2种方法，图6中，第三行有第二6种放置方法，其选定方格

后,第四行只有唯一的放置方法，所以总共有1+2x4+6=15种方法.

因为第一行棋子有C?4=6种放置方法，其他5种情况同理，故〃(48)=6x15=90.

所以若每行都放置两枚棋子，则恰好每列都有两枚棋子的概率P