第三章 重难点比大小（学生版）

第三章重难点比大小

知识梳理

(1)利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定4,dC的大小.

(2)指、对、幕大小比较的常用方法：

①底数相同，指数不同时，如谟1和谟2,利用指数函数y=a》的单调性；

②指数相同，底数不同，如咐1和以利用幕函数丫=”单调性比较大小；

③底数相同，其数不同，如logMi和k)ga%2利用指数函数log/单调性比较大小；

④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0,1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中可量进行大

小关系的判定.

(3)转化为两函数图象交点的横坐标

(4)特殊值法

(5)估算法

(6)放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法

(7)常见函数的麦克劳林展开式：

①1=1+%+鼠+-+正+诉”+1

②sinx=无一?+?—…+(-1^+o(x2n+2)

③侬“14+94+--+(-1)"^+。(田)

®ln(l+X)=X-y+y---+(-l)n^7f+O(Xn+1)

=1+%+/+…+”+o[”)

⑥(1+x)n=1+nx+电口2+o(X2)

经典真题回顾

I.(2024年新课标全国I卷数学真题)已知函数/(无)的定义域为R,/(x)>/(x-l)+/(x-2),且当

%<3时/(%)=%,则下列结论中一定正确的是()

A./(10)>100B./(20)>1000

C./(10)<1000D./(20)<10000

02

2.(2024年天津高考数学真题)设Q=4.2-°Z,b=4.2,c=log420.2,则a,b,c的大小关系为()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

3.（2024年北京高考数学真题）已知（勺,（如力）是函数y=2”的图象上两个不同的点，则（）

A.脸空〈年B.脸华件

C.唾2中<^1+“2D.”及>+%2

4.（2023年天津高考数学真题）设a=1.O105,2?=l.Ol06,c=O.605,则a,4c的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

z<\0.71

5.（2022年新高考天津数学高考真叁）设Q=2°7,b=,c=log21,则a,b,c的大小关系为

()

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a

6.（2022年高考全国甲卷教学（文）真题）已知9.=10,。=10血-11,匕二8加-9,则（）

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

7.（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知Q==costc=4sin\则（）

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

8.（2022年新高考全国【卷数学真题）设a=0.1e°i,b=\c=-ln0.9,则（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

9.（2021年天津高考数学试学）设a=k）g2（）,3,b=k）g20.4,c=0.4M3,则%b,c的大小关系为（）

2

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

10.（2021年全国新高考H卷数学试题）已知a=log52,ft=log83,c=则下列判断正疏的是（）

A.c<b<aB.b<u<cC.a<u<bD.u<b<c

11.（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设a=21nl.01,Z?=lnl.O2,c=-1.则（）

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

考点一：直接利用单调性

解题思路

利用指对藉函数的单调性判断

【典例1・1】设Q=212,b=lg3,c=In],则a、b、c的大小顺序为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b

【典例1・2】（2024•高三•黑龙江鸡西•期中）已知函数/'（幻=2"+x,g{x}=log2x+x,h（x）="+%的

零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小顺序为（）

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>a>bD.b>a>c

【变式1・1】已知Q=log56,b=logos2,c=e2，比较〃，b,c的大小为（）

A.b>a>cB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c

【变式1・2】已知。=0.33",匕=（：）（e为自然对数的底数）c=tanl,比较a,b,c的大小（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

高考预测

_53

7

I.（2024•江西新余♦一模）故a=G）,b=（3J,c=log3y,则叫b,c的大小顺序是（）

A.b<a<cB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a

2.已知实数a,满足20+Q=2,b=logi63,则（）

A.a>bB.a<bC.a=bD.%。的大小无法判断

考点二；引入媒介值

解题思路

寻找中间变量0,1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定.

【典例2-1】（2024・高三•江西•期中）已知a=ln2,b=cos2,c=d，则小①。的大小顺序为（）

A.c>a>bB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

【典例2.2】三个数a=sin|,b=23,c=ln3—ln2的大小顺序是（）

A.a<b<cB.c<a<b

C.a<c<bD.b<c<a

【变式2・1］已知Q=log23,b=(|)‘，c=cos(-|兀)一sin比较a,b,c的大小为()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>b>aD.c>a>b

【变式2-2］已知a=ln4,匕=lg4,c=Q)3,则()

A.c<b<aB.b<a<cC.b<c<aD.a<c<b

高考预测

1.已知a=logo.48,b=log060.5,c=log23,则()

A.b>a>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>h>a

已知Q=9，匕=M，c=5，则（）

2.ln4inz2

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

3.已知Q=log14O.7,h=1.40,7,c=0.71,4,则a,b,c的大小关系是()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

考点三：含变量问题

解题思路

对变量取特殊值代入或者构造函数

【典例3・1］［新考法］若0<2QV匕V1,=a",%2=（2。）"，%4=（28）2。，则（）

A.x4<x3<xY<x2B.xx<x2<x3<x4

C.x2<Xi<x4<x3D.x3<x4<Xi<x2

【典例3-2】（2024・高三•河北邢台•期中）已知1VTHVnV2,a=ri7n,b=m",c=logn/n,则a,b,c的大

小关系是（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

【变式3・1】（多选题）已知正数a,b满足1（1-1汕）=1,则（）

A.e<b<e2B.ea+-7>2

ea

C.ca>bD.ea-Ind>1

=-（J,y=log产z=iogg严,

【变式3-2］（2024•陕西西安・统考一模）设a>匕>0,a+b=1且工

则x,y,z的大小关系是（）

A.x<z<yB.z<y<x

C.y<z<xD.x<y<

高考预测

1.（多选题）若0<Q<b<c,且lga+lgb+lgc=O,则下列各式一定成立的是（）

A.2a+2b>4B.ab<lC.a+c2>2D.a2+c>2

2.（多选题）若0<。<力<1,则（）

A.ab<baB.Qb+1VQ+力

C.QjVb-a

D.loga(l+b)>logb(l+a)

考点四：构造函数

解题思路：

构造函数比大小是高考数学的重点考点，它可以从“形”与“数”两个角度入手解题。

“形”的构造：不等式两边的结构相似时，我们可以构建一个函数，通过分析这个函数的单调性，进而根据

“若函数g（x）单调递增，则X2%<=>g（x）Ng（X2）；若函数/（x）单调递减，

X之/og（%）<g（W）”判断.

“数”的构造：观察到待比较式子间数与数的关系后，我们可据此构造函数.

【典例4-1】（2024•陕西咸阳•模拟预测）已知a==㈣,c=:，则a,b,c的大小为（）

262c

A.b>c>aB.a>b>cC.b>a>cD.c>b>a

【典例4-2】（2024•全国•模拟预测）若。=坐，b=j,c=—y则a,b,c的大小顺序为（)

ez2e4

A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c

【变式4-1][新考法|设函数/1(%)=%+In%,g(x)=x\nx-1,h(x)=1-：+彳+■在(0,+8)上的零点分

别为a,瓦c,则a,瓦c的大小顺序为()

A.c<b<aB.b>c>a

C.c>a>bD.b>a>c

【变式4・2］已知a=6，b=lnlV5+1）,。=匕叵，试比较a,bc的大小（）

、J4t

A.a>c>bB.a>b>cC.h>a>cD.c>b>a

高考预测

I.已知Q=ln(sinl.O2),b=c=lnl.02,则()

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.b<a<c

2.若a=I，b=cos(=—；),c=-,则〃、b、c满足的大小关系式是().

332x

A.a>b>cB.a<b<cC.a>c>bD.b>c>a

3.设a=&-1,b==1-Ing,则()

A.c>a>hB.a>c>bC.b>a>cD.h>c>a

考点五：数形结合

【典例5・1】函数，(％)=2"+%,g(x)=log2%+无，h(x)=4+x的零点分别为a,b,c,则a,b,c,

的X小顺序为()

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

【典例5・2】实数a,瓦c€R满足Q-4=In2V0,b-3=ln-<0,c-2=ln-<0,则a,d,c的大小为

432

()

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>c>aD.c>b>a

【变式54】［新考法］已知函数/(无)=合.设Q+b+c=0,QbcV0,则()

A./(a)4-/(fe)+/(c)<|B./(a)+/(/,)+/(c)

C./(a)+fW+/(c)>|D./(a)+/(b)+/(c)>|

08808

【变式5-2］已知Q=0.8°S+0.80,7+0.8°9,b=0.6+0.7°+0.8,c=+e~H+e4,则

()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a

1.若实数a,b,c满足a2b=a3，=6,则下列不等关系中不可能成立的是（）

A.c<a<bB.b<c<aC.a<c<bD.a<b<c

2.已知（小,丫1）,（%2，丫2）是函数y=182%图象上两个不同的点，则下列4个式子中正确的是（）

②空

>2@log2自＜一空；④晦自＞-空

A.①③B.②③C.①④D.②④

考点六：特殊值法、估算法

解题思路

估算要比较数值的大致范围，从而判断其大小关系。

【典例6・1】（2024•高三•四川•期中）已知（必,乃）、（&，%）是函数y=bg2%图象上不同的两点，则（）

A.牛＜1哂中B.牛＞1叫等

cyi+y2V晦红/D.%+为＞脸^^

【典例6-2】已知％yER,且x+y>0,则()

33

A.-x+-y>0B.x+y/>0

C.lg(x4-y)>0D.sin(x4-y)>0

【变式6・1】设a=3e-02,b=2e02,c=2.4,则()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

【变式6-2］（多选题）已知正数x,y满足x—y+l=Z—=则（）

“y

A.Ig（y-x4-1）>0B.cosy>cos无C.2025y-x>1D.\y-2\>

\x-2\

高考预测

I.已知Q=sinl.01,b=c=lnl.04,则a,b,c的大小关系是（）

A.b>a>cB.a>b>cC.a>c>bD.b>c>a

2.已知a=log20.05,b=O.51002,c=2005,则下列判断正确的是（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.b<a<c

3.已知a=-,b=V3,c=史型虻，则（）

32

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a

考点七：放缩法

解题思路

放缩法比较指对罪大小，关键在于合理估计与调整。可通过适当放大或缩小数值，转化为更易比较的

形式，如利用指数、对数的性质进行放缩，或结合均值不等式等。需注意保持放缩方向的一致性，以确保

比较结果的准确性。

1,2

【典例7-1】（2024・高三・四川德阳•开学考试）已知a=log32,b=log43,c=0.5,比较a,b,c的大小

为（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>c>aD.b>a>c

【典例7-2】（2024•河南•模拟预测）已知Q=c可b=U,c=1+ln§,则a,b,c的大小关系是（）

1835

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

【变式7-1]（2024•浙江杭州•一模）对VxW[l,+8）,不等式（（皿，）2-1）断一6）20恒成立,则

（）

A.若Q£（0,J,则bWeB.若aW（0,》，则b>e

C.若Q6£，e）,则Qb=e。D.若。6日工），则》a=ee

【变式7-2】已知b=sin1,c=ln1,则（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

高考预测

I.已知Q=log??+logg4,3。+4°=5，则（）

A.a>b>2B.b>a>2C.a>2>bD.b>2>a

2.已知a=Iogs7,b=log68,c=log810,则a,b,c的大小关系是（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

3.设。=匕血.21,d=Inl.21,c=||,则下列大小关系正确的是()

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

考点八：同构法

解题思路

同构法比较指对搴大小，核心在于构造相同结构的函数。通过变形使待比较式具有相同函数形式，利

用函数单调性或图像直观比较大小。关键在于准确识别并构造同构函数，简化比较过程。

【典例8-1］［新考法］已知a,/?W（0j），且e"-2cos2a=e。-sin2/?-1=0,则（）

Aa>£Ba=/?

C.a<pD.无法确定a,£的大小

【典例8-2】（2024・高三•浙江绍兴•期末）已知0<a<b,loga%+logj<logaY+log/,则下列说法正确

的是（）

A.当log/>0时，x>yB.当log。/）〉。时，x<y

C.当logab<0时，x<yD.当logq匕V0时，工,y大小不确定

【变式8-1］（2024高三・江西・期中）已知。>04>0,£=。/?（1+1时），则（）

A.Inb>aB.a\nb>1

C.e>baD.a(l+Inb)<1

【变式8-2］（多选题）（2024•全国•模拟预测）已知实数a,%满足log3a+log/,3=log3b4-loga4,则下列

关系式中可能正确的是（）

A.3a,bG(0,+co),使|a->1B.3a,bE(0,+oo),彳更ab=1

C.