勾股定理逆定理（同步练习）解析版-2024人教版八年级数学下册

专题20.3勾股定理逆定理

勾股定理逆定理

1.掌握勾股定理的逆定理内容，能够熟练地运用它来判断直角三角形以及在相关问题

教学目标中运用；

2.掌握勾股数并能够判断勾股数并能够熟练应用勾股数。

1.重点

(1)勾股定理逆定理；

(2)勾股数;

教学重难点

2.难点

(1)勾股定理逆定理的相关运用；

(2)勾股数的证明。

知识清单

知识点01勾股定理逆定理

1.勾股定理逆定理内容：

在AABC中，如果三角形的三边分别是。，b,C且满足_小+乂=。2_,则该三角形一定是有一个

直角三角形且NC是直角。

勾股定理的逆定理用十判断一个三角形是小是直角三角形。

2.直角三角形的判定

①勾股定理逆定理

②三角形中有一个角是90°,

③三角形中有两个角之和为90°。

【即学即练1】

1.以下列各组数为边长，能够组成直角三角形的是（）

A.V5,V4,V5B.2,3,4C.5,12,13D.8,13,17

【答案】C

【解答】解：•・•（VI）2+（V4）2=7,（V5）2=5,

・・・次，"，遍不能组成直角三角形，

故A不符合题意；

V22+32^42,

・・・2,3,4不能组成直角三角形，

故3不符合题意；

V52+122=132,

・・・5,12,13可以组成直角三角形，

故C符合题意；

V82+132^=I72,

・・・8,13,17不能组成直角三角形，

故。不符合题意.

故选：C.

【即学即练2】

2.若△A8C的三边分别是小b,c,则下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）

A.ZA=ZB+ZCB.NA：ZB：ZC=3：4：5

C.a=5,b=12,c=13D.a=l,b=72,c=y/3

【答案】B

【解答】解：A、VZA=ZB+ZC,NA+NB+NC=180°,

・・・2NA=180°,则NA=900，

・•・△4BC是直角三角形，不符合题意；

B、VZA：ZB：ZC=3：4：5,

・••设NA=3k,ZB=4k,ZC=5k,贝lj32+4攵+5攵=12%=180°,

解得k=150,

AZA=45°,ZB=60°,ZC=75°,

・•・△ABC不是直角三角形，符合题意；

。、V52+122=25+144=169,132=169,

.\52+122=132,

•••△A8c是直角三角形，不符合题意；

D、VI2+(V2)2=1+2=3,(V3)2=3,

/.12+(鱼＞=(75)2,

•••△A6C是直角三角形，不符合题意，

故选:B.

【即学即练3】

3.已知小b,c是三角形的三边，如果满足(。-3)2+VF^4+|C-5|=0,则三角形的形状是()

A.底与腰部相等的等腰三角形

B.等边三角形

C.钝角三角形

D.直角三角形

【答案】。

【解答】解：由题意得，a-3=0,b-4=0,c-5=(),

解得4=3,b=4,c=5,

V32+42=9+16=25=5、

a2+b2=洛

・••以a,b,c为边的三角形是直角三角形.

故选：O.

【即学即练4】

4.如图，ABLBC,A3=4,BC=3,DC=\2,AD=\3,连接AC.

(1)判断△*/)的形状并说明理由;

(2)计算四边形A8C。的面积.

A

【答案】(1)△AC。是直角三角形.

理由见解答；

(2)24.

【解答】解：(1)△ACD是直角三角形.

A

理由如下：连接AC,,：ABLBC,AB=4,BC=3,

由勾股定理，得4c=S4/+BC2=5,

VAD=13,CD=\2,

AC2+CD2=25+144=169,

：.AC2+CD2=AD2,

・•・△ACO是直角三角形；

(2)在RtZ\A8C中，SABC=\BC*AB=1x3X4=6,

在RtZSADC中，S:,ADC=|CDMC=1x12X5=30,

・'・S四边形AHCO=S/'/OC-5A4«C=30-6=24.

【即学即练5】

5.如图，某小区有两个喷泉A,B,两个喷泉的距离A8的长为25()/〃.现要为喷泉铺设供水管道AM,BM,

供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120/〃，BM的长为150/rz.

(1)求供水点M到喷泉A需要铺设管道MA的长；

(2)BM的长是喷泉8到小路AC上各处的最短距离吗？请说明理由.

A

（2）见解答.

【解答】解：（1）•・・在△ABM中，MNL4B,

二NANM=ZBNM=90°（垂直的定义），

在中，BN=y/BM2-MN2=V1502-1202=90（m）,

r.A7V=25O-90=160（/«）,

在Rt/\AMN中，4M=>/AN2+MN2=V1602+1202=200（m）,

答：供水点M到喷泉人需要铺设的管道AM的长为2（X）/〃；

（2）8M的长是喷泉8到小路4c上各处的最短的距离，理由如下：

BM的长是喷泉B到小路AC上各处的最短的距离，

•••八8=250〃1,AM=2（）0/〃，BM=150〃i,

・•・根据勾股定理得，BM2+AM2=2002+1502=40000+22500=62500,AB2=2502=62500,

：,BM2+AM2=AB2（等量代换），

J/XABM是直角三角形，

・・・N4MB=90°,

上AC,

・・・BM的长是喷泉B到小路4c上各处的最短距离.

知识点03勾股数

1.勾股数的定义：

满足勾股定理（即。2+庐=,2）的三个正整数称为勾股数。

注意：①一定要满足勾股定理；②一定要是正整数。

2.常见的勾股数类型：

基本勾股数：（3,4,5）（6,8,10）

①倍数型勾股数：3%4",5〃（〃为正整黝

“2_]2।

②奇数规律：满足〃,—,——的三个正整数。（〃为奇数）

22

(〃丫/n、2

③偶数规律：满足凡uJ+1的三个正整数。(〃为偶数)

【即学即练1】

6.下列各组数中，属于勾股数的是()

A.32,42,52B.5,12,13C.6，V5,而D.工，工，工

345

【答案】B

【解答】解：A、32=9,42=16,52=25,

,?92+162=81+256=337W625=252,

・•・不是勾股数，不符合题意；

B、V52+122=25+144=169=I32,

・•・是勾股数，符合题意；

C、V3,",通非全部正整数，故不是勾股数，不符合题意;

D、由;，工，=非正整数，故不是勾股数，不符合题意.

345

故选:B.

【即学即练2】

7.一个直角三角形的两边长分别是3和4,且三边长构成一组勾股数，则第三边长为()

A.5B.V7C.5或小D.12

【答案】一个.

【解答】解：①若3和4为直角边，则斜边为7V■=布币=x/25=5.5为整数.符合勾股数

要求；

②若4为斜边，则另一条直角边为V7不是整数，不符合勾股数要求，

・•・直角三角形的第三边长为5,

故选：A.

【即学即练3】

8.如果满足等式/+庐=。2的小b,c是三个正整数，我们称a,b,c为勾股数.

(1)已知机，〃，”是.正整数且〃?>〃，证明：a=2〃"bb=rn2-n2,c=〃，+/是勾股数.

(2)请写出任意一组含有68的“勾股数”：68,28清293(答案不唯一).

【答案】见解答；

(2)68,285,293(答案不唯一).

【解答】(1)证明：a2+b1=(2mn)2+(n?-n2)=4m2n2+m4-2w2M2+n4=w4+2m2w2+n4,

3=(m2+n2)=m4+2m2n2+«4,

则cr+b1=c1,

〃是正整数，，

a=2mn,h=m2-n2,c=m2+n2是勾股数：

(2)解：2加〃=68,

则〃?〃=34,

当机=17,〃=2时，//_〃2=]72-22=285,/«2+/?2=172+22=293,

・・・68,285,293是一组含有68的“勾股数”，

故答案为：68,285,293(答案不唯一).

题型精讲

题型01判断构成直角三角形的线段

【典例1］以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）

A.代,2,V5B.1,百，2C.3,6,7D.6,9,12

【答案】B

【解答】解：根据勾股定理的逆定理得，

4、V（V3）2+22=3+4=7=（V5）2=5,

，长为6,2,遍的三边不可以组成直角三角形，所以此选项错误，不符合题意;

B、VI2+（V3）2=1+3=4=22,

・•・长为1,V3,2的三边可以组成直角三角形，所以此选项正确，符合题意；

C、•••3’+6，=9十36=45¥7?=49,

・•・长为3,6,7的三边不可以组成直角三角形，所以此选项错误，不符合题意；

D、V62+92=36+81=117122=144,

，长为6,9,12的三边不可以组成直角三角形，所以此选项错误，不符合题意；

故选：B.

【变式1】以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（）

A.5,12,13B.1,2,V5C.1,V3,2D.4,5,6

【答案】。

【解答】解：A、・・・52+122=132,・••能构成直角三角形，故本选项错误；

B.Vl2+22=（遍）2,.・.能构成直角三角形,故本选项错误；

C、・门2+（遮）2=22,...能构成直角三角形，故本选项错误;

>・・・52+42/62,•••不能构成直角三角形，故本选项正确.

故选：D.

［变式2】以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）

A.3,4,5B.V3>",V5C.32,42,52D.-

345

【答案】A

【解答】解：A、・・・32+42=52,・••以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故选项正确；

B、•・•（次）2+（V4）2#（遥）2,...以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故选项错误;

C.V（32）2+（42）2±（5?）2,.・・以这三个数为长度的线段，能构成直角三角形，故选项正确；

D、•・•（；）2+（V）2工（1）2.，以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故选项错误.

故选：A.

题型02判定直角三角形

【典例1】已知小儿c为△AEC的三边长，下列条件中不能判定△ABC为直角三角形的是•）

A.ZA+ZB=ZCB.ZA：NB：ZC=1：2：3

C.a：b：c=1：2：3D.a2-b2=c1

【答案】C

【解答】解：A、NA+N8=NC,此时NC是直角，能判定△ABC是直角三角形；

B、NA：NB：ZC=1：2：3,那么NA=30°、NB=60°、ZC=90°,能判定△ABC是直角三角形:

C.12+2V32,不符合勾股定理的逆定理，不能够判定△人BC为直角三角形；

D、a2-b2=c2,则〃2+。2=。2,符合勾股定理的逆定理，能够判定△48C为直角三角形.

故选：C.

【变式1】满足下列条件时，不是直角三角形的是（）

A.NA：ZB：ZC=3：4：5

B.AB：BC：AC=\：1：V2

C.AB=0.5cnuBC=1.2cm,AC=\.3cm

D.NA=38°,ZC=52°

【答案】4

【解答】解：4、VZA：NB：NC=3：4：5,Z4+ZB+ZC=180°,

.♦・NA=45°,Z^=60°,ZC'=75°,

则aABC不是直角三角形，符合题意；

B、设A8=x,则8C=x,AC=6,

V,r+x2=（V2x）2，

:.AB2+BC2=AC2,

•••△ABC是直角三角形，不符合题意；

C、AB2+5C2=0.52+l.22=1.69,AC2=1.32=1.69,

:.AB2+BC2=AC2,

・•・△ABC是直角三角形，不符合题意；

D、・・・NA+/C=38°+52°=90°,

•••△A8C是直角三角形，不符合题意；

故选：4.

【变式2】在△ABC中，分别给出下列条件，不能判定是直角三角形的是（）【提示：在△ABC中，Z

A、NB、NC的对边分别是小b、C

A.在△ABC中，NA：ZB：ZC=3：4：5

B.在△48C中，/4+N8=NC

C.在△48c中，（a-b）（a+b）=c2

D.在△ABC中，a=3,h=4,c=5

【答案】A

【解答】解：A.设N4=3x,ZB=4x,ZC=5x,

则3,什以+54=180°,解得人=15°,

AZC=75°,

•••△ABC不是直角三角形，符合题意；

B.•••NA+NB=NC,

/.2ZC=180°,

AZC=90",

・•・△ABC是直角三角形，不符合题意；

C.（。-b）Ca+b）=（r,

222

a=c+bt

•••△A8C是直角三角形，不符合题意；

D.***（t=3rb=4,c=5,

Ac2=t/2+/?2>

•••△ABC是直角三角形，不符合题意.

故选：A.

题型03判断三角形的形状

【典例1】已知〃、b、。是△48C的三边长，它们满足伍―10）2+-26|=0,则这个三角形

的形状是（）

A.等边三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【解答】解：根据算术平方根的非负性、偶次方的非负性、绝对值的非负性可知：

a-10=0,b-24=0,c-26=0,

・・・〃=10,b=24,c=26,

•・•/+/=102+242=676,?=262=676,

/+02=自

・•・ZVIBC是直角三角形，

故选：B.

【变式1】已知实数4,b,。满足（。一77）2+/=^+|（:-3企|=0.

（1）求实数a,b,c的值.

（2）以小b,c为边能否构成直角三角形？请说明理由.

【答案】⑴a=书,b=5,c=3\/2；

（2）能构成直角三角形，理由如下见解答.

【解答】解：（1）由题意得，Q-夕=0,b-5=0,c-372=0,

：.a=,b=5,c=3>/2；

（2）以小b,c为边能构成直角三角形，理由如下：

,•a=y/7,b=5,c=3>/2»

；.Q2=（V7）2=7,b2=52=25,c2=（3>/2）2=18,

111

:.a+c=bt

・••以a,b,c为边能构成直角三角形.

【变式2】已知〃+6的算术平方根是3vL0-4的平方根是±3,-27的立方根是2-c.

（1）求a,b,c的值.

（2）判断以小b,。为边长的三角形的形状，并说明理由.

【答案】（1）ci=12,b=13>c=5；

（2）直角三角形.

理由：由（1）知，a=\2,b=\3tc=5,

V52+122=132,

・••以a,0,c♦为边长的三角形是直角三角形.

【解答】解：（1）・・7+6的算术平方根是3vL〃-4的平方根是±3,-27的立方根是2・c,

."+6=（3V2）2=18,4=（±3）2=9,2-c=7^27=-3,

/.«=12,0=13,c=5；

（2）直角三角形.

理由：由（1）知，a=12,b=13,c=5,

V52+122=I32,

・•・以db,。为边长的三角形是直角三角形.

题型04判断勾股数及其求值或证明

【典例1】下列各组数是勾股数的是（）

A.7,24,25B.0.3,0.4,0.5

C.1.5,2,2.5D.5,11,12

【答案】A

【解答】解：I选项,72+242=625=252,7,24,25是勾股数;

B选项，三个数都不是正整数，0.3,0.4,0.5不是勾股数;

。选项，1.5和2.5不是正整数，1.5,2,2.5不是勾股数；

D选项,52+112=146^122,5,11,12不是勾股数；

故选：A.

【变式1】下列各组数中，是勾股数的一组是（）

A.7,8,9B.1,1,2C.9,12,15D.2,3,4

【答案】C

【解答】解：4、72+82^92,不是勾股数，不符合题意;

12+12^22,不是勾股数，不符合题意;

C、92+122=152,是勾股数,符合题意；

D、22+32^42,不是勾股数，不符合题意,

故选：C.

【变式2】若〃、8、10是一组勾股数，则〃的值是（）

A.2B.6C.8D.10

【答案】B

【解答】解：•・•〃、8、10是一组勾股数,

・•・7?+82=102或/=82+1（）2,

解得：〃=±6或〃=±2"L

•・•〃是正整数，

；•〃=6,

故选：B.

【变式3】若5,小12是一组勾股数，则。的值为（）

A.13B.VT19C.或13D.11

【答案】A

【解答】解：分两种情况讨论:

①。为最长边，。=>52+122=13,13是正整数，符合题意；

②12为最长边，«=V122-52=V1I9,不是整数，不能构成勾股数，不符合题意；

故选：A.

【变式4]（1）我们知道像3,4,5这样三个整数是一组勾股数，那么北，4七5k（A是正整数）是一组勾

股数吗？请说明理由；

（2）如果a,b,c是一组勾股数，那么Hr,bk,ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？请说明理由.

（3）如果加表示大于1的整数,a=1m,h=m2-1,请说明a,h,o为勾股数.

【答案】见解答.

【解答】解：（1）是勾股数，

理由:<3k,4k,5k（A是正整数），

:.（3k）2+（软）2=9您+16k2=25F=（5k）2,

：.3k,4k,52是一组勾股数;

（2）是勾股数，理由：

4c•是一组勾股数，

/.672+Z>2=C2,

:,ak,bk,ck（k是正整数）也是一组正整数，

:.lrcr+lcb1=/cc2,

:.（ak）2+（H）2=（以）2,

:,ak,bk,ck（左是正整数）也是一组勾股数；

（3）是勾股数，理由：

•・•〃?表示大于1的整数,

，由。=2m,-I,c=〃?2+i得到〃、b、c均为正整数;

又•.•。2+户=（2加）2+（m2-1）2=4ui2+m4-2w2+l=/H4+2W2+1,

而（T=（nr+1）2=/w4+2/n2+1,

••a1+b2=c1,

・•・〃、b、。为勾股数.

题型05勾股定理逆定理的应用

【典例1】如图，在四边形A8C。中，ZB=90°,AB=BC=y[2,CD=遥,DA=\.连接4c.

（1）求AC的长度；

（2）求NOA8的度数.

【答案】(1)2；

(2)135°.

【解答】解：(1)VZfi=90°,AB=BC=V2,

：,AC=J(V2)2+(V2)2=2,

则AC的长度为2；

(2)，：CD=场,DA=\,

VAC=2,

••・根据勾股定理，DA2+AC2=DC1,

••.△D4C为直角三角形，即ND4c=90°,

NB=90°,AB=BC=®

•••△ABC是等腰直角三角形，

・・・NB4C=45°,

・・・NOAB=900+45°=135°.

【变式1】如图，四边形ABC。的四个顶点都在网格上，且网格中每个小正方形的边长都为1.

(1)求四边形48C。的周长;

(2)求NBA。的度数.

【答案】（1）5V2+3V5+5：

（2）ZBAD=45°.

【解答】解：（1）根据勾股定理得:

AB=V72+I2=5V2,

BC=V424-22=2A/5,

CD=V22+I2=V5,

AD=,32+42=5,

：.AB+BC+CD+AD=5V2+275+V5+5=5/+3V5+5；

(2)连接BQ,

根据勾股定理得：BD=.32+42=5,

♦:AB=5五,40=5,

.*.5D2+AD2=52+52=50=AB2,AD=BD,

.••△A8。是等腰直角三角形，

••・NRAQ=45°.

【变式2】如图，一架无人机旋停在空中点人处，点A与地面上点8之间的距离人8=20米，点A与地面

上点C（点4，C处于同一水平面上）的距离AC=25米，且BC=I5米.

（1）求N4BC的度数；

（2）现这架无人机沿AB所在直线向下飞行至点。处，若点。恰好在边AC的垂直平分线上，连接CD,

求这架无人机向下飞行的距离（人。的长）.

A

匕K

BC

【答案】这架无人机向下飞行的距离（4。的长）为等米.

【解答】解：（1）vAB2+BC2=202+152=625,AC2=252=625,

222

：.AB+BC=ACt

・•・△ABC是直角三角形，ZABC=90c；

（2）设AD=x米，若点。恰好在边AC的垂直平分线上，用CQ=AQ=x米，BD=（20-x）米，

在RlZ\B/）C中，DC1=BD1+BC2,

・•・/=（20-x）2+15、

解得x=号.

125

答；这架无人机向下飞行的距离（人。的长）为丁米.

8

强化训练

1.以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（）

A.1,2,3B.2,3,4C.3,4,5D.4,5,6

【答案】C

【解答】解：A、因为12+22^32,所以不能构成直角三角形；

B.因为22+32^42,所以不能沟成直角三角形；

c、因为32+42=52,所以能构成直角三角形；

D、因为42+52工62,所以不能构成直角三角形.

故选：C.

2.下列各组数中，是勾股数的是（）

A.0.3,0.4,0.5B.10,15,18

111

C.一，一，-D.6,8,10

24s

【答案】。

【解答】解:人、（）.3,0.4,0.5不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；

102+152^182,不是勾股数，故此选项不合题意;

0、3;不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；

345

D、62+82=102,且都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意；

故选：

3.下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）

A.NA+NB=NCB.NA：NB：ZC=1：2：3

C.a2-b2=c2D.a：b：c=3：4：6

【答案】D

【解答】解：A、VZA+ZB=ZC,NA+/8+NC=180°,

••・2NC=180°

AZC=90°,

・•・△ABC是直角三角形，不符合题意；

B、VZA：N&ZC=1：2：3,设NA=hNB=2匕4c=3k,

则A+2A+3k=6A=180°

:・k=30°

/.ZC=90°

•••△ABC是直角三角形，不符合题意；

c、•.•/・/=<?,

.\a2=b1+c1,

•••△ABC是直角三角形，不符合题意；

D、V«：b：c=3：4：6,设a=3匕b=4k,c=6k,

则（r+b2=9标+16Z?=25必，c2=36乒

Va2+/?2^c2

・•・△ABC不是直角三角形，符合题意，

故选：D.

4.如图，将长为的橡皮筋放置在水平面上，固定两端4和B,然后把中点C垂直向上拉升至点D,

则橡皮筋被拉长了（）

【答案】A

【解答】解：RtZiAC。中，AC=^AB=4cnuCD=3cm；

根据勾股定理，得：AD=y/AC2+DC2=5（cm）；

：.AD+BD-AB=2AD-AB=]O-8=2(cm)；

故橡皮筋被拉长了2cm.

故选：A.

5.如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者儿何？意

思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折

斯处离地面的高度.设竹子折断处离地面x尺，根据题意，列出的正确方程为（）

A.^+62=102B.(10-x)2+62=AT

C..?+62=(10-X)2D.(10-X)2+?=62

【答案】C

【解答】解•：由图可得,

,?+62=（10-x）2,

故选：C.

6.平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺.一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接

触到岸边的水面.此时，荷花顶端相比于原位置.，在水平方向上移动了4尺.由此可知水池的深度是（）

1517

A.7尺B.3尺C.8尺D.二尺

【答案】B

【解答】解：设水池的深度为〃尺,

则必+4?=(万+1)2,

必+16=庐+1+2/?,

解得：/1=号，

故选：B.

7.已知△ABC三边长分别为a,b,c,且满足-尤|+(c-V5)2=0,贝ijZ^ABC是()

A.以。为斜边长的直角三角形

B.以。为斜边长的直角三角形

C.以。为斜边长的直角三角形

D.等腰三角形

【答案】4

【解答】解:由题意得，a-1=0,b-6=0,c-V3=0,

「•4=1,b=y]2,c=y/3,

•'•a2+b2=I2+(V2)2=3=(V3)2=c2,

.二△ABC是以c为斜边长的直侑三角形，

故选:4.

8.如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置4处摆绳OA与地面垂直，摆绳长2/〃，向前荡起到最高点B

处时距地面高度1.3小，摆动水平距离8。为16〃，然后向后摆到最高点。处.若前后挖动过程中绳始终

拉直，且03与OC成90°角，则小丽在。处时距离地面的高度是()

【答案】A

【解答】解：如图，过点C作C£_LOA于点E,则NOEC=90°,

VZBOC=90°,

：.ZBOD+ZCOE=90°,

由题意可知，OB=CO,OA=OB=OC=2m,BD=\.6m,0r=1.3〃?，BD±OA,

：.ZBDO=90°,

/.OD=y/OB2-BD2=J22-1.62=1.2(w),

OF=0D+DF=1.2+13=2.5(tn),

•・・N8QO=NOEC=90°,

:.NBOD+NOBD=90°,

：,/COE=NOBD,

在△。8。和中，

ZBDO=LOEC

乙OBD—乙COE,

OB=CO

:.△OBD义ACOE(AAS\

0E=BD=1.6，n,

:.EF=0F-OE=25-1.6=0.9(m),

即小丽在。处时距离地面的高度是09〃，

故选：A.

9.小惠同学用25个等距离的结出一根绳子分成等长的24段，她同时握住第1个结和第25个结，小淇同

学握住第7个结，这时小婷同学应该握住第（）个结，拉紧绳子后才会得到一个以第7个结为直角

顶点的直角三角形.

A.13B.14C.15D.16

【答案】C

【解答】解：•・•小淇同学握住第7个结，

・•・小惠和小淇之间有6个单位长度，

V6,8,10是一组勾股数，且6+8+10=24,

.•.小婷同学应该握住第15个结，拉紧绳子后才会得到一个以第7个结为直角顶点的直角三角形,

故选：C.

10.在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格

中：

a68101214…

b815243548・••

c1017263750…

则当a=18时，He的值为()

A.242B.200C.128D.162

【答案】D

【解答】解：根据表格中数据可得：。2+庐=召，并且c=0+2,

则。2+户=(5+2)2,

当4=18时，182+/?2=(/?+2)2,

解得：6=80,

则e=80+2=82,

则b+c=162.

故选：O.

11.如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门

的边AB和BC的长分别为24〃和1/〃，乂测得点A与点C间的距离为2.6m,则小红家的木门没有变

形(填“已变形”或“没有变形”).

【答案】没有变形.

【解答】解：*/AB2+BC2=2A-+12=6.76=2.62=AC2,

，N/WC=90°,

则小红家的木门没有变形，

故答案为：没有变形.

12.如图，RtZ\A4C中，NC=90°,A8=5,BC=4,4c=3,点/为RtZXABC三条角平分线的交点，则

点/到边的距离为1.

【解答】解：•・・在△ABC中，ZC=90°,8c=4,CA=3,A4=5,

•1点、I为AABC的一:条角平分线的交点，

：JE=IF=ID,

设IE=x,

SMBC=S^IAH+S^IAC+S^ICB,

1ill

.・.一x4X3=中/X5+4/EX3+4/DX4,

2222

5x+3.r+4x=12»

/•x=1,

・•・点/至IJAB的距离等于1.

故答案为：1

13.勾股定理/+房=科本身就是一个关于小b,。的方程，满足这个方程的正整数解(a,b,c)通常叫

做勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组:

(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),….分析上面勾股数组可以发现,4=IX(3+1),12=2X(5+1),

24=3X(7+1),…分析上面规律，第4个勾股数组为(9,40,41).

【答案】(9,40,41).

【解答】解•：根据图中给出的数据可得：

由4=IX(3+1),I2=2X(5+1),?.4=3X(7+1),…第四个为4X(9+1)=40.

・•・第4组中间的数为4X(9+1)=40.

故答案为：(9,40,41).

14.如图，△48C是边长为的等边三角形，动点H。同时从4,4两点出发，分别在A从3C边上匀

速移动，它们的速度分别为2c〃心和当点P到达点B时，P,Q两点停止运动，设点P的运动时

312

旬为后，则当或$时，APB。为直角三角形.

312

【答案】「或w

【解答】解：•'.△ABC是等边三角形，

:.AB=BC=6ctn,NA=N8=NC=60°,

当NPQB=90°时，NBPQ=30°,

:,BP=2BQ.

a：BP=6-2x,BQ=x,

3

-

2

当NQP8=90°时，NPQB=30°,

:・BQ=2PB,

：.x=2(6-2x),

解得x=弓.

312

答：;或W秒时，ABPQ是直角三角形.

212

故答案为5或

15.在△ABC中，AI3=5,AC=12,BC=13,过点A的直线把△A/C分成两个三角形，若其中仅有•个是

1501500360

等腰三角形,则这个等腰三角形的面积是-半E石-

1501500360

【答案】有或

16913

【解答】解：由条件可知"2+AC2=3C2,

•••△48C是直角三角形，ZB^C=90°.

；・面积为SAABC=xABxAC=2x5x12=30.

沿过点A的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况:

当A3=BP=5时，如图1所示，

c-及s一5…一空

、等髅4ABp~BC'AABC_13X3U_13,

当A8=AP=5,且户在3c上时，如图2所示，

作△A8C的高AZ),则缆充=岭翼=黑，

OC*•!JJLJ

：.BD=DP=yjAB2-AD2=1|,

:,BP=2BD=瑞，

.e_BP_Hxo0_1500

Q等腰4ABp-~BChABC_l3169--

当CA=CP=12时，如图3所示，

・c-QLQ_12_360

•・、等腰4ABp-'BC^^ABC-行vX7JUn一方；

1501500360

综上所述：等腰三角形的面积可能为二;或F•或二二,

1316913

16.若实数。的立方根为2,且实数。，b,。满足加厂口亏+匕+（。-。+2）2=8.

（1）求2。-3b+c的值；

（2）若a,Ac•是△ABC的三边，试判断三角形的形状，并说明理由.

【答案】（1）23；

（2）Z\A3c是直角三角形，理由见解答.

【解答】解：（I）•・•实数〃的立方根为2,

.,./?=8,

Wa-15+b+(Q-c+2/=8,

.Wa-15+(Q-c+2)2=0

••a-15=0,a-c+2=0,

解得：«=15,c=17,

：.2a-3b+c=2X15-3X8+17=23；

（2）△ABC是直角三角形，

理由：Va=15,b=8,c=17

・•・/+/=152+82=289,C2=172=289,

:.a2+b2=c2,

・•・△ABC是直角三角形.

17.如图，在四边形ABCD中，ZB=90°,AC为四边形ABCD的对角线，已知4B=8,BC=6,CD=2反,

AD=2710.

（1）请判断△ACO的形状，并说明理由；

（2）过点。作Q行14c于点R求线段的长.

【答案】(I)八人。。是百角二角形,理由见解答：

(2)线段CE的长为6

【解答】解：(1)△AC。是直角三角形，理由：

•・・N8=90°,A8=8,8C=6，

：.AC2=ABi+BC1=82+62=100,

：.AC=\0,

又,••40=2同，CD=2/15,

：,ADZ+CDZ=(2g)2+(2/^)2=40+60=100,

：.AD1+CD1=AC2,

・•・△ACO是直角三角形：

(2)1•△AC。是直角三角形，NAQC=9()°,DELAC,

:*S&ACD=^力。xCD=xDE,

吟x2710x2y/15=IxIDxDE,

化简得2\/T^=5OE,即10&=5OE,

:.DE=2V6

.\CE2=CD2-DE2=(2V15)2-(2V6)2=60-24=36,

:・CE=6.

18.当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个正整数为勾股数.

（1）若4,〃为一个直角三角形的两条直角边长，c为斜边长，”，b,c为勾股数，且a=〃+7,c=〃+8,

“为正整数，求〃的值（用含"的式子表示），并直接写出符合题意的最小的〃值.

(2)当〃是大于1的整数时，判断2〃，1,M+］是否是勾股数，并说明理由.

【答案】(1)5；

(2)是勾股数，理由见解析.

【解答】解：(1)a,b,c为勾股数，。为斜边长，

.\a2+b2=c2,

Vtz=7/+79c=〃+8,

(n+1)2+Z>2=(n+S)2,

・・・庐=2〃+15,b=V2n+15,

•・•〃，〃都为正整数，

:.当n=5时，b=x/2x5+15=5,

，最小的b值为5；

(2)*.*(2〃)2=4〃2,(,12-1)2=n4-2/72+1,(772+1)2=77~+2/72+1,

:.⑵)2+(n2-1)2=(M+1)2,

・・・2〃，］,/+］是勾股数.

19.已知加、x、y均为正整数，且xWy,当机=f+)2时，我们称正整数机为“可媲美勾股数”，把x与)，

的积称为加的“勾股值”，用4(〃?)表示,