河北省衡水市2025-2026学年度第一学期高二年级期末考试数学试卷（试卷+解析）

2025〜2026学年度第一学期高二年级期末考试

数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

v小）一生2m一/（工

1.如果函数）在工=1处的导数为1,则M（）

12

A.1B.-C.2D.-

3

2.若直线4：（a-2）x+ay+4=0与/2：（2a—4）x+6y+3a-l=0平行，则实数。的值为（）

A.OB.2C.3D.2或3

3.设x,yeR,向量〃=h=（1,^,1）,c=（2,-2,2）,且4_1_,，b/1~c>则a+B=（）

A.2VIB.3C.yf5D.4

4已知数列｛〃”｝为等比数列,其中4,，4。为方程x2+4x+3-0的两根.则爆二（）

A.yB.一6C.73D.|

5.抛物线歹2二8%上一点P和焦点厂的距离等于6,则点P的横坐标与=（）

A.2B.4C.5D.6

6.若圆/+/一2%—6y+l=0上恰有三点到直线歹=区的距离为2,则〃的值为

13.44

A.7或2B.一或一C.2D.一

2433

7.己知等差数列｛%｝的前〃项和为S”，若S|2>S10>S”，则使得S〃<0成立的正整数〃的最大值为

（）

A.20B.21C.22D.23

8.已知厂是双曲线£:，-£=15>01>0）的左焦点，。为坐标原点，过点尸且斜率为，的直线与

石的右支交于点M，丽=3而，则后的离心率为（）

A.3B.2C.0D.0

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题全部选对得6分，部分选对

得部分分，有选错的得0分.

9.如果曲线歹=/（x）在点（1,3）姓的切线过点（0,2）,则下列结论不正确的是（〉

A./(I)=3B.r(0=1

c./(0)=2D.,r(l)=O

10.设数列｛4｝的前〃项和为已知q=2,且4川一2%=2"+|(〃£1<),则下列结论正确的是

()

A.｛〃4｝是等比数列B.｛十J是等比数列

C%=D.S“=(〃—l).2"+2

■

Y22

11.已知耳，耳分别是双曲线。二一二V二1的左、右焦点，?是。上一点，且位于第一象限，

44

所•至=0,则()

A.P的纵坐标为后B"产制=26+2

C.△。月人的周长为40+4D.△。月月的面积为4

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若曲线y=*+/在点(0,1)处的切线方程为歹=2戈+力，则。+力=.

13.已知直线/的方向向是为不二(2,-1/)，平面。的一个法向量为B=(-1,2,1),则直线/与平面。所成

的角是.

14.已知直线y二&(x+4)与曲线y=j4—Y有两个不同的交点,则％的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.

15.求下列函数的导函数.

(1)y=Xy/x;

⑵y=y[x^；

2

(3)y=log2x-log2x；

⑷y=-2sin1-2cos

16.如图，在三棱柱/BC-44G中，侧面力均垂直于底面45C,C4=2,Q5=4,

AB=26,RR、=VB,/W为AB的中点.

（1）证明：4CJ/平面A。3：

（2）求二面角G-CM—4的正弦值.

17.在数列｛〃〃｝中，q=1,（"1）%=叫一]（〃之2）.

（1）求数列｛〃”｝的通项公式；

（2）设。二|%-9|,求数列也｝的前〃项和人

18.已知椭圆：过点（0,0），离心率为孝.

（1）求椭圆E的方程；

（2）过点M卜6,1）的直线/与椭圆交于48两点；

（i）若点M为线段X8的中点，求直线/的方程；

（i：）若原点。总在以为直径的圆外，求直线/斜率的取值范围.

19.已知数列｛%｝满足q=2,G〃+[=2%-1.

（1）求｛凡｝的通项公式；

a—1

（2）设4=——,求数列也｝的前〃项和7；；

（3）若q,=k）g2（%-l）,从数列｛%｝中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2”项，按原来顺序

组戌新数列｛4｝,求使得不等式4+刈+…+4>2025成立的最小正整数〃的值.

2025〜2026学年度第一学期高二年级期末考试

数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

_/\lim-------------------------_

1.如果函数)在％=1处的导数为1,则M()

।2

A1B.7C.2D.-

,3

【答案】C

【解析】

【分析】由极限的性质结合导数的定义计算即可.

【详解】因为函数》=/(')在x=l处的导数为1,

/(l+2Ar)-/(l)r/(14-2Ax-)-/(l)l〃，八\.

所以lim---------------------1=Inn2----------------------=2/(1)=2,

八&—0ArAr->o|_2AtJv7

故选：C

2.若直线4:("2)x+〃歹+4=0与A：(2Q-4)x+6y+3o-1=0平行，则实数〃的值为()

A.0B.2C.3D.2或3

【答案】B

【解析】

【分析】根据直线平行可得6(。-2)=。(2。-4),运算求解并代入检验即可.

【详解】若直线4:("2)x+ay+4=0与):(2a-4)x+6y+3a-l=0平行,

则6(。-2)="2〃-4),整理可得(。-2)(々-3)=0,解得〃=2或。=3,

若。=2,则4：y+2=O与4：6y+5=0平行，符合题意；

若a=3,则4:八十3y+4=0与％：无十3y+4=0重合，不合题意；

综上所述：a=2.

故选：B

3.设x,ywR,向量a=b=c=(2,-2,2),且％_|_",b//c»则。+行=()

A.2VIB.3C.75D.4

【答案】C

【解析】

【分析】由空间向量垂直、平行的坐标表示列方程求参数值，进而得1+右=(1,0,2),再应用空间向量模长

的坐标运算求结果.

【详解】由：=(羽1,1),力=(1,刈,c=(2,-2,2),alc^

:.a-c=2x-2+2=0^解得x=0，

又X//Z，则:==，解得)，=一1，

2—2

所以£=(0,1,1),=

则〉+8=(1,0,2),可得B卜百.

故选：C

4.已知数列｛6｝为等比数列，其中4，《0为方程/+4工+3=0的两根，则4=()

A.yB.一C.V3D.T

【答案】B

【解析】

【分析】由根与系数的关系及等匕中项的性质求处.

【详解】数列｛氏｝为等比数列，其中4,%。为方程Y+4x+3=0的两根，

由题，根据韦达定理可得4,4o=3,a6+6fI0=-4,则4，。10<0，

由等比数列的中项性质得％,•《0=4=3,则6=±道，

因为等比数列的偶数项的符号相同，4，％。都是负数，所以%=一6.

故选:B

5.抛物线_/=8x上一点夕和焦点F的距离等于6,则点P的横坐标/=()

A.2B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】

【分析】计算准线方程得到x+2=6,解得答案.

【详解】抛物线歹2=8x的准线方程为工二一2,设点P的横坐标为工,

尸到焦点产的距离等于x+2-6.故x—4.

故选：B.

6.若圆/+/一2%一6》+1=0上恰有三点到直线V二米的距离为2,则Z的值为

1-3「44

A.彳或2B.一或一C.2D.-

2433

【答案】D

【解析】

【详解】把圆的方程化为标准方程得:(x-1)2+(y3)2=9,得到圆心坐标为(1,3),半径r=3,

若圆工2+、2一2工一6〉+1=0上恰有三点到直线)，=6的距离为2,则圆心到直线的距离为1,即

d=i=1,解得上彳

Jl+公3

故选D

7.已知等差数列｛《,｝的前〃项和为，，若兀>1>S「则使得S“<0成立的正整数〃的最大值为

()

A20B.21C.22D.23

【答案】B

【解析】

【分析】设等差数列｛为｝的公差为d,由条件推得。“<0，a2>0,则得d〉0,推出数列｛%｝为递增

数列，推出<°，邑2>0即可求得.

,、伉।+4,〉0

【详解】设等差数列｛4｝的公差为"，由512>豆0>£|可得：<0，则％2>0，</>0,

故数列｛〃”｝为递增数列，乂S2i二2一%；的)=21%<0,522=223；%2)=1](卬+、2)〉0,

故使得S〃<0成立的正整数〃的最大值为21.

故选：B.

8.已知产是双曲线后：£-£=1(。>0,6>0)的左焦点，。为坐标原点，过点b且斜率为也的直线与

crh~3

E的右支交于点诉=厢，MFYON,则E的离心率为()

A.3B.2C.百D.V2

【答案】B

【解析】

【分析】取物的中点为连接样，夕£,根据题意得到ON//P不求得阿娟=怛娟=2。，结合

、万LVfFl3

tan^MFFX=—＞得到cos=匕苗=:，结合双曲线的定义，得到。=2。，即可求解.

132归司4

22

【详解】如图所示，双曲线E:二-1=1的右焦点为月，的中点为乙连接M耳，PF、,

a"b~

因为丽=3而，。为的中点，所以。N//P//则可得阿用=|"J=2c,

、万\MF\3

又因为tan/M/记=、一，所以cos/"/；=会51=］，

132历4

则|加日=30,|A/TTA/4|=3C-2C=C=2Q,可得e=±二2,

所以上的离心率为2.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题全部选对得6分，部分选对

得部分分，有选错的得。分.

9.如果曲线y=/(x)在点(1,3)处的切线过点(0,2),则下列结论不正确的是()

A./(1)=3B./"⑴=1

C./(0)=2D.r(l)=0

【答案】CD

【解析】

【分析】根据切点在曲线上可判断AC,再由导数的几何意义可判断RD.

【详解】因为切点为(1,3),所以/(1)=3,故A正确；

而(0,2)为切线上的点，不一定为切点，故C错误；

由切线经过(1,3)和(0,2)可得切线斜率A===1,

所以由导数的几何意义知，/'(1)=1，故B正确D错误.

故选：CD

10.设数列｛为｝的前〃项和为S”，已知q=2,且。用一2%=2"M(〃£N)则下列结论正确的是

()

A.｛〃/｝是等比数列B.｛?•是等比数列

C.D.S”=(〃—l>2"+2

【答案】BC

【解析】

【分析】根据等差数列和等比数列的定义，结合错位相减法逐一判断即可.

【详解】。向一2%=2日，碧一/=1,则［黑］是公差为：，首项为彳=1的等差数列，

22”［22

所以墨=1+(〃-1)=〃，则勺=〃・2”.

对A：〃勺=〃2.2〃，因为5+1)，丝L=(〃+；)：2向二2(〃J不是非零常数,

叫“2.2”〃2

所以卜?〃“｝不是等比数列，故A错误；

对B：%=2",因为且土1===2,

n%r

所以是以幺=2为首项，以2为公比的等比数列，故B正确;

,n1

对C：故C正确；

对D：因为S〃=2、2・22+…+，八2”，

所以2s“=22+2"+…+

两式相减得50=小2川一(2+22+1_+2")=(〃-1>22+2,故D错误.

故选：BC

11.已知片，居分别是双曲线C：二一匕=1的左、右焦点，P是。上一点，且位于第一象限，

44

所电=0,贝IJ()

A.P的纵坐标为3B.|P^|=2V3+2

C.△夕月6的周长为46+4D.△。片鸟的面积为4

【答案】ABD

【解析】

【分析】结合西♦电二0、双曲线的定义、三角形的面积和周长等知识进行分析，从而确定正确答案.

【详解】依题意〃=力=21=2近，

因为两•丽=0,所以归用2+仍可2=忻周2=32.

由双曲线的定义可得|P用一归用二4①，两边平方得|尸片「+|尸周2一2|尸片|.仍曰=16,

即32-2|刊讣归用=16,解得归用・|%|=8,

故A。;转的面积为口尸耳卜|尸闻二4,D正确.

设P的纵坐标为人△尸/花的面积m月用力二4,解得卜=6,A正确.

(|尸耳|+|尸图)2=|W「+|P周2+2|刊讣归周，解得|尸用+|尸马二4百②，

△用"的周长为归国+|尸玛|+忸周=4石+40,C错误.

①+②可得|P"|=2jJ+2,B正确.

故选：ABD

三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若曲线>=以+/在点(0,1)处的切线方程为J，=2x+b,则〃+b=.

【答案】2

【解析】

a+e()=2

【分析】根据题意，由函数的解析式计算可得导数/=〃+，，结合题意可得<।心，解得。，6的

值，相加即可得答案.

【详解】解：根据题意，曲线丁="+产的导数为

若曲线y=G+e'在点(0,1)处的切线方程为y=2x+〃，PM有卜十，：？，

1=b

解得〃=1,b=\,则〃+6=2.

故答案为2.

本题考查利用函数的导数计算切线方程，考查了函数导数的几何意义，屈于基础题.

13.已知直线/的方向向是为1二(2,-1,1),平面。的一个法向量为5=(-1,2,1),则直线/与平面。所成

的角是.

【答案】

6

【解析】

【分析】根据空间向量法计算线面角即可.

【详解】设直线/与平面。所成的角为0,

/-\小B1-2-2+111

则sin*cos(a,b)=——=^—=-广'=彳

'/\a\\h\Vj6xV62

故。二7.

6

故答案为：—.

6

14.已知直线y=%(x+4)与曲线＞有两个不同的交点，则％的取值范围是.

【备案】0,—

./

【解析】

【分析】直线歹=左卜+4)过定点P(-4,0),曲线？=，4一/表示圆心为原点,半径为2的圆的上半部

分.画出图形，结合图形可得所求的范围.

【详解】由题意得，直线y=k(x+4)过定点尸(-4,0),曲线y=，4一一表示圆心为原点,半径为2的圆

的上半部分(包括与X轴的交点).画出图形如下图所示.

结合图形可得当直线与圆有两个不同的交点时，则有立,

3

解决曲线交点个数、方程根的个数等关于“个数”的问题时，一般要结合图形（或函数的图象）求解，即

利用数形结合的方法求解，考查数形结合思想的运用和转化能力，属于中档题.

四、解答题：本题共5小题，共77分.

15.求下列函数的导函数.

（1）y=x-Jx；

⑵y=y/x^；

2

（3）y=log2x-log2x；

（4）y=-2si吟l-2cos2

【答案】（1）y=-y/x；（2）/=—（3）/=—（4）y=cosx.

25Vx2xln2

【解析】

【分析】（1）（2）中先写成幕函数的形式，利用塞函数的求导法则，即可求解；（3）（4）先化简，利用导

数的减法运算和基本初等函数求导法则，即可求解

【详解】（1）y'-j=X，=gx，।.

(3、

⑵y二(旬r5

555疗

2

(3)*.*y=log2x-log2x=log2x,

1

.\/=(log2x/=

xln2

(4)V)^=-2sin—l-2cos2-=2sin—I2cos2--1=2sin—cos—=sinx,

2142144)2222

/=(sinx)=cosx-

16.如图，在三棱柱48C—481G中，侧面4CC/,8CG4均垂直于底面48C,CN=2,C3=4,

4B=2#,BB、=屈,M为AB的中点、.

(1)证明：/CJ/平面片CM；

(2)求二面角C1-CW-用的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵士

9

【解析】

【分析】(1)连接8G与4C交于点N,连接MV,结合三角形中位线的性质和线面平行的判定定理证明

即可:

(2)建立如图所示空间直角坐标系，求出平面CM0和平面CA/4的法向量，代入空间二面角公式，再由

同角的三角函数求解可得:

【小问1详解】

Zi

%

如图，连接4G与片。交于点N.连接A/N,

因为四边形8CG4为平行四边形，所以N为8G中点,

又M为43的中点，则在△48C中，MN//AC、,

又MVu平面片CM,4G(Z平面4CM,

所以jG〃平面用。〃

【小问2详解】

由.482=。2+)2可得C/JLC4,又侧面/CG4，BCC4均垂直于底面48C,可得CJL面

ABC,

所以C4CB,CG两两垂直，以c为原点，建立如图所示空间直角坐标系,

山已知可得0(0,0,0),，4(2,0,0)上(0,4,0),6(0,0,而),用(0,4,而),河(1,2,0),

CM=(1,2,0),cq=(0,0,V13),

设平面OKC1的法向量为而二(x,y,z),

mCM=x+2y=0/、

则＜___l,,可取应=(2,-1,0),

mCC}=V13z=0

CB1设平面CA/g的法向量为"=(a,〃,c),

^-CA7=^+2/)=0

卜疯-g4),

则＜一「,可取万二

nCB.=4/?+V13c=0

忻•司—屈V65

|cos玩，万|5

\nj\\n\6xJ5xl3+16

2

4

所以二面角的正弦值为

9

17.在数列｛〃“｝中,q二%_|(〃22).

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)设"二|%-9|,求数列也｝的前〃项和7；.

【答案】(1)an=n

-n2+\7n

——，〃<9,

⑵Tn=\

H2-17/7+144

,/?>9.

2

【解析】

【分析】(1)将递推关系式变形，构造常数列｛%｝,从而求得通项公式；

n

(2)根据绝对值表达式进行分类讨论，借助等差数列求和公式分别计算不同区间的前"项和，最终整合

成分段函数形式.

【小问1详解】

由(〃-1)%可得%二冬十(〃22),

nn-\

又4=1,.•.」■二上■

iin—\1

%=〃，

即数列｛%｝的通项公式为对=〃.

【小问2详解】

由⑴知=|%一9卜»-9|,

设。=%-9=〃-9,｛%｝的前〃项和为S”，其中C[二一8,

M>〃(-8+〃-9)n2-17/7

敌3“二------------=---------,

"22

当〃W9时，4二9一〃，当〃>9时，，=〃-9,

・•・当〃49时，7；=_*二一―：I7”；

当〃>9时，7；=4+3+…+a+'+…+a

=-亿+c?+…+。9）+际+•••+%）

=-S9+（S-9）=S“-2s9

“2-17〃c92-17X9

=---------2x---------

22

_//2-17/?+144

—,

2

-n2+17/7

--------,/?<9

综上，数列也｝的前〃项和4=,2

-17/7+144八

------------,??>9

2

18.已知椭圆：£+£=1（。〉力>0）过点（0,0），离心率为孝.

（I）求椭圆E的方程；

（2）过点/（JI』）的直线/与椭圆交于48两点；

（i）若点〃为线段48的中点，求直线/的方程；

（i：）若原点。总在以为直径的圆外，求宜线/斜率的取值范围.

【答案】（1）1+?=1

63

（2）（i）工+向-2亚=0；（ii）

【解析】

【分析】（1）根据题目所给信息以及d“c之间的关系，列出等式求解即可；

（2）（i）设出直线/的方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求出斜率的值，进而可解:

（i：）结合（i）中信息以及向量的坐标运算求解即可.

【小问1详解】

因为椭圆E过点倒,、Q）,离心率为当，

£V|

所以=

a2

a2=b2+c2

解得a*=6,b2=3

22

则椭圆石的方程为斗+!=1;

63

【小问2详解】

（i）易知直线/的斜率存在,

设直线/的方程为》-1=%卜一五）

y=4卜―血）+1

联立,消去y并整理得

63

(2/+1)44%(1一瓜卜+2(瓜一if

—6=0>

由韦达定理得x+工_妹（叵-1xx-3(V2A:-1)2-6

,厂2k2UAB~2k2+1

若点"为线段的中点，此时竺6竺