【浙教数学】解二元一次方程组（巩固篇）

专题2.3解二元一次方程组（1）（巩固篇）（专项练习）

一、单选题

x+3y=n

i.已知方程组,',,若工，》的值相等，则〃=（）

2x+y=〃+1

A.-IB.-4C.2D.-2

2.已知关于x,歹的方程组=则下列结论中正确的有（）个

①当。=5时，方程组的解是｛

y=20

②当X，y的值互为相反数时，1=20

③不存在一个实数a使得x=V；

④若22a知=2,,则4=2.

A.1B.2C.3D.4

，一厂7*使得代入后,

3.用代入法解方程组J化简比较容易的变形是（)

3x-4y=3②

由①得工=手

A.B.由①得y=2x-7

由②得工=233x-3

c.D.由②得y=

4

4.二元一次方程V=x-3与3x+2y=4的公共解是（）

x=3x=4x=0x=2

A.B.C.D.

y=()y=iy=2y=-}

5.如果2X3,*与2n是同类项，那么m、I】的值分别为（)

A.m=-2,n=3B.m=2»n=3C.m=-3»n=2D.m=3>n=2

6.图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示.相传，大禹时，洛阳西洛宁县

洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹.大禹依此治水成功，遂划天下为九州.又依此定

九章大法，治埋社会，流传下来收入《尚书》中，名《洪范》.《易•系辞上》说：“河出图，

洛出书，圣人则之”.洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入3x3的方格中，使每

一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等.图3是一个不完整的幻方，根据

幻方的规则，由已知数求出x的值应为（）.

图1图2图3

A.-4B.-3C.3D.4

7.若m-〃=l,/w+"=3,则〃?+2〃的值()

A.4B.2

C.-4D.-2

8.已知关于X、7的二元一次方程组的解为]=则4+6的值为（）

[x-y=3[y=b

A.14B.10C.9D.8

x—ni=5

9.由方程组，,可得到x与N的关系式是（）

y+3=nt

A.x-y=-2B.x-y=2C.x-y=8D.x-y=-S

2x-y=3

10.一等腰三角形的两边长x、y满2x-y=3足方程组,。则此等腰三角形的周长

3x+2y=8

为（）

A.5B.4C.3D.5或4

x=2

11.关于xJ的方程31-2r，=初-〃有一个解为《~,且〃[比〃的一半大1,则，〃.”的

[N=T

值为（）

A.〃?=0,n=-2B.ni=0,n=-■-C.m=2,n=2D.m=-1,n=-4

2

7'丁=：%有以下步骤:

12.用代入消元法解方程组1

x-2y=-12,②

7-3

（1）由①，得y=上r尸③;

7r-3

（2）将③代入①，得7x-2x-y-=3：

（3）整理,得3=3；

（4）所以x可取一切实数，原方程组有无数组解.

以上解法，造成错误的一步是（）

A.（1）B.（2）C.（3）D.(4)

13.已知关于x,y的方程给出下列结论:

①存在实数。，使得x,y的值互为相反数；

②当a=2时，方程组的解也是方程3x+y=4+o的解；

③x,y都为自然数的解有3对.

其中正确的是（）

A.①@B.②③C.①③D.©©③

二、填空题

ax+y=bfx=1/、,、,,

14.若方程组《；的解是＜…则a+»a-力-/+/=

-x+hy=a（y=2

15.若关于x,V的方程4x*"-5pE-=6是二元一次方程，则〃?〃=.

16.对于实数x7我们定义一种新运算厂（xM=〃?x+犯（其中加，〃均为非零常数），等

式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，例如加=3,〃=1的，

F（2,4）=3x24-1x4=10.若尸。，-3）=6,尸（2,5）=）,则尸（3,-2）=.

17.如果有理数x、y满足|"八5|+（厂4）2=0,那么h=.

18.在数轴上，点A（表示整数a）在原点O的左侧，点B（表示整数b）在原点O的右侧,

若|a-b|=2020,且AO=3BO,贝1Ja+b=.

19.已知关于x/的方程组+-"，给出以下结论：①f=5是方程组的一个解:

x-y=3aU'=

②当。=-2时，的值互为相反数；③当时，方程组的解也是方程的解;

④占y之间的数量关系是工-2y=3,其中正确的是（填序号）.

20.2017年复兴号的成功研制生产，标志着我国高速动车组走在了世界先进前列.2019年

全世界最长的高速动车组复兴号CR40(M-8正式运营，全长约440米，如图，将笔直轨道

看成1个单位长度为1米的数轴，以400力-4停站时首尾对应的数分别为a,b,向右行驶

一段距离后，首尾对应的数分别为c,d,若c・4=2(|0・血)，则力的值为

b^dc

21.如图，在一条数轴上有若干个点，任意两个相邻点间的距离都为2个单位长度，期中A,

B,C三点所对应的数分别是a,b»c.若3a+c=4,则b的值为.

ABC

-ab**c*

x=24x—9y=a+b

22.若《।是方程组，A的解，则帅=

三、解答题

23.用代入消元法解下列方程组：

x-3y=2(.r+y=5[4x+3y=5tn——=2

(1)(2)i,0<3)i'(4)2

[y=x[2x+j，=8"2户442〃，+3〃=12

24.已知关于a,的单项式与单项式一d八+i是同类项.

(1)求〃?，〃的值；

(2)求整式3(〃/-2〃〃7+〃2)-4〃/一2(呆+〃皿一9)的值.

2x+y=4

25.已知关于'J的二元一次方程组的解满足x+y=2,求实数x,J,m

4x+3y=2m+2

的值.

ii22

26.观察下列两个等式：2-1=2xl+l,5-j=5x1+l,给出定义如下：我们称使等式

〃-6=岫+1成立的一对有理数为“共生有理数对”,记为e力），如：数对（2,；）（5彳

都是“共生有理数对”.

（1）判断数对（-21），是“共生有理数对"，并说明理由.

（2）若（也〃）是“共生有理数对“，且时〃=4,求（-4户的值.

（3）若（也用是“共生有理数对“，则（-2〃,-2〃?）是“共生有理数对“吗？请说明理由.

r=1ax-bv=-1

26.已知‘，是关于修卜的方程组（.的一个解，求代数式3（〃-h-的值.

y=2[bx-ay=-4

x+2v=4k

28.已知：关于X,V的方程组，2:2"且一1

（1）求4的取值范围;

x+2y=4k

（2）若左为正整数，求方程组《2"；=2八I的解.

参考答案

1.B

【分析】

先根据方程组中x、y相等用），表示出x把原方程组化为关于六〃的二元一次方程组，再用

〃表示出y的值，代入方程组中另一方程求出〃的值即可.

【详解】

解：•・•方程组：+"=〃।中的x,y相等，

2x+y=n-1

4y=w0

・•・原方程组可化为：工，

由①得，y=~>

4

代入②得，当=〃+1,解得〃=4

4

故选择：B.

【点拨】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的代入消元法是解答此题

的关键.

2.B

【分析】

①把。=5代入方程组求出解，即可作出判断；

②由题意得.巾=0,变形后代入方程组求出。的值，即可作出判断；

③若x=y,代入方程组，变形得关于。的方程，即可作出判断；

④根据题中等式得2。-3>=7,代入方程组求出。的值，即可作出判断.

【详解】

解：①把”=5代入方程组得：

3x-5y=10⑴

x-2y=0⑵

由（2）得x=2y,

将x=2y代入（1）得：y=\0,

将y=10代入x=2y得：x=20,

v=20

解得：y二"故①错误;

②当X，y的值互为相反数时，x+y=O,

BP：y=-x

3x+5x=2a

代入方程组得：

x+2x=a-5'

8x=2a(3)

整理，得

3x=a—5(4)'

由（3）得…卜

将“＞代入⑷'律%="一5

解得：a=20,故②正确;

③若x=y,则有

可得：a=a-5,矛盾,

・••不存在一个实数。使得故③正确:

3x-5y=2a(5)

x-2y=a-5(6)

(5)-(6)x3,得：y=\5-a,

将N=15代入(6),得：x=25—a»

x=25-a

・••原方程组的解为

y=\5-a

*/22=2，，

：,2a-3y=7,

把y=15-a代入得:

2a-45+3a=7,

52

解得：a=y,故④错误:

・♦・正确的选项有②③两个.

故选：B.

【点拨】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未

知数的值.本题属于基础题型，难度不大.

3.B

【分析】

根据代入消元法解二元一次方程组，尽量选择两个方程中系数的绝对值是1的未知数，然后

用另一个未知数表示出这个未知数.

【详解】

解：观察可知，由①得y=2x-7代入后化简比较容易.

故选：B.

【点拨】本题考查了解二元一次方程组，主要是对代入消元法转化方程的考查，需熟记.

4.D

【分析】

直接解二元一次方程组即可.

【详解】

y=x-3x=2

解：由题意得：3x+2…廨得

故答案为D.

【点拨】本题主要考查了公共解及解二元一次方程组，由公共解列出二元一次方程组成为解

答本题的关键.

5.B

【分析】

根据同类项的定义可得关于机、〃的方程组，解方程组因可求出答案.

【详解】

3〃=9ffi=2

解.：由题意得：/c，解得：，.

故选：B.

【点拨】本题考查了同类项的定义和二元一次方程组的解法，属于基本题型，熟练掌握基本

知识是解题的关键.

6.A

【分析】

a+b-\=2+6+c0

如图所示，其中a、b、c、d表示此方格中表示的数，贝阿得上+"。=。+"-您由此即可

2+b+c=a+x+cl®

得到〃=c+3④，d=〃+3⑤，然后把④⑤代入③中即可求解.

【详解】

解：如图所示，其中小从c、d表示此方格中表示的数，

a+b-1=2+b+dJ)

由题意得：，2+b+c=c+d-②，

2+6+c=a+x+d@

由①得a=c+3④，

由②得d=〃+3⑤，

把④和⑤代入③中得2+6+c=c+3+x+8+3,

，x=-4,

【点拨】本题主要考查了解方程组，解题得关键在于能够利用整体代入的思想进行求解.

7.A

【分析】

将两等式相加求出m,再将m代入从而求出n,然后代入求值即可.

【详解】

*/tn-n=\,m+n=3»

m-n+ni+〃=4,KP2w=4,

将m=2代入〃，一〃=1得，2—n=1>

/.n=1

••./〃+2〃=2+2x1=4.

故选：A.

【点拨】本题考查了代数式求值、合并同类项及解一元一次方程，观察两个等式特征找到求

m的方法是解题的关键.

8.A

【分析】

把方程组的解代入方程组却得关于4、8的方程组，解方程组即可求出4、力的值，进一步即

可求出结果.

【详解】

解：•・•[二是方程组七十:”的解，

y=b[x-y=3

10+b=aQ=12

解得：Lc

‘5-6=30=2

a+h=12+2=14.

故选：A.

【点拨】本题考查了二元一次方程组的解的定义、二元一次方程组的解法和代数式求值，属

于常考题型，正确理解题意、准确计算是关键.

9.C

【分析】

先解方程组求得x=，〃+5.3,再将其相减即可得解.

【详解】

解:叱+3=利②

由①得，x=〃?+5

由②得，y=ni-3

,x-y=(机+5)一(-3)=〃？+5-〃1+3=8.

故选：C

【点拨】本题考查了解含参数的二元•次方程组、以及代数求值的知识点，熟练掌握相关知

识点是解决本题的关键.

10.A

【分析】

先解二元一次方程组，然后讨论腰长的大小，再根据三角形三边关系即可得出答案.

【详解】

解:解方程组2x/-2y尸=38,叱x田=2

所以等腰三角形的两边长为2,1.

若腰长为I，底边长为2,由1+1=2知，这样的三角形不存在.

若腰长为2,底边长为1,则三角形的周长为5.

所以，这个等腰三角形的周长为5.

故选：A.

【点拨】本题考查了等腰三角形的性质及解二元一次方程组，难度一般，关键是掌握分类讨

论的思想解题.

11.A

【分析】

X=2n

将《代入—=加一〃可得6+2〃=/〃一〃，根据加比”的一半大1可得=1+1,然

y=-l2

后解关于m,n的方程组即可.

【详解】

6+2〃=m-n

m-3〃=6

解：由题意得：〃.

〃？=—+12rn-n=2

2

m=0

n=-2

故选：A.

【点拨】本题考查了二元一次方程的解及解二元一次方程租，熟知方程的解即为能使方程左

右两边相等的未知数的值是解题关键.

12.B

【解析】

【分析】

解二元一次方程组有两种方法：（1）加减消元法；（2）代入法.本题要求的是代入法，根据

①或②得出的x关于y（或y关于x）的式子要代入另一个方程中来求解.

【详解】

解：造成错误的一步是（2）,因为③是由①得到，所以应该将③代入②而不是①.

故选B.

【点拨】本题考查的是二元•次方程的解法，题目中的错误（代入的式子为原式）往往是学

生常犯得错误.

13.D

【分析】

①当x和y互为相反数时解的｛：：：,则可以得出结论

②将a=2代入方程组得到；,再将x和y的值代入到原方程，即可解答

③将y的方程/2y=3-。等式两边同时乘以2,然后整理得出3x+j，=6,即可解答

【详解】

①若x与》互为相反数，则有匕，解得仁:，即存在实数使得x，y的谊互

为相反数，①正确

②当4=2时，方程组有｛二，解得；，将X,y代入3x+y=4+a得，3X，-|=

6=4+2,②正确

一;=2"，叶2y=3”等式两边同时乘以2,得

=6,当x=0时，»=6：当x=l时，y=3；当x=2时，y=0,.共有3组自然数解.③正

确

故选。.

【点拨】此题考查二元一次方程组的解，解题关键主要在于把已知的数代入到方程组里面解

答

14.34

【分析】

把x与y的值代入方程组求出。与人的值，代入原式计算即可求出值.

【详解】

X=1a+2=b①

解：将，代入原方程组得：

[y=2-l+2b=a②

将①代入②得：

a=-3.

将。=-3代入①得：

b=-1.

原式=(-3-+-(一3丫+(-1)，

=-4x(-2)-(-27)-l

=8+27-1

=34.

故答案为：34.

【点拨】此题考查了二元一次方程组的解及求代数式的值，方程组的解即为能使方程组中两

方程都相等的未知数的值.

15.0

【分析】

根据二元一次方程的定义，建立方程组计算即可.

【详解】

;关于％，N的方程4广”-5/^=6是二元一次方程，

m-〃=1

m+〃=1

m=1

解得

n=0

〃”尸0,

故答案为：0.

【点拨】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程组的解法，根据方程的定义构造方

程组是解题的关键.

16.11

【分析】

已知两等式利用题中的新定义化简，计算求出加与〃的值，代入/(x,y),再把x=3,尸-2

代入计算即可求出值.

【详解】

解：,:F(1,-3)=6,F(2,5)=1,

••・根据题中的新定义化简得：

m-3/1=6

2m+5〃=1

m=3

解得：।，

n=-1

HPF(x,y)=3x~yf

则尸(3,-2)=9+2=11.

故答案为：11.

【点拨】此题考杏了解二元一次方程组，以及实数的新定义运算，弄清题中的新定义是•解本

题的关键.

17.-36

【分析】

根据非负性，x+y+5=y-4=0,先解出y,再代入求x.

【详解】

解：|x+^+5|+(^-4)2=0

根据非负性，产I/

[_y-4=0

所以，k=-36.

故答案为-36.

【点拨】这道题考查的是非负性的概念.掌握非负性知识点是解题的关键.

18.-101()

【分析】

根据已知可得aVOVb,再根据绝对值性质、两点间的距离定义可求得b-a=2020,-a=3b,

进而求得a、b值，即可求得a+b的值.

【详解】

解：由题意知：a<O<b,

V|a-b|=2020,且AO=3BO,

/.b-a=2020,且-a=3b,

解得：b=505,

a+b=-2b=-1010.

故答案为：-1010.

【点拨】本题考查了代数式求值、数轴、绝对值、两点间的距离、解二元一次方程组，根据

已知条件得出a、b的关系式是解答的关键.

19.

【分析】

①将x=5,y=-1代入检验即可做出判断：②将a=-2代入方程如求出方程组的解即可做出判

断；③将a=l代入方程组求出方程组的解，代入方程中检验即可；④消去a得到关于x与y

的方程，即可做出判断.

【详解】

5-3=4

解：①将x=5,产-1代入方程组得:

5-(-l)=3a

解得：a=2,

'x=5

所以,,是方程组的一个解，本选项正确;

),=一1

x+3y=6

②将a=-2代入方程组得：

x-y=-6

得：4y=12,即y=3,

将y=3代入得：x=-3.

则x与y互为相反数，本选项正确:

x+3y=3

③将a=l代入方程组得：

x-y=3

x=3

解得：

y二()

将x=3,丫=0代入方程工+)，=4—。=3的左边得：3+0=3,

所以当。=1时，方程组的解也是方程x+y=4-a的解，本选项正确;

由第一个方程得：a=4-x-3y,

代入第二个方程得：x-y=3（4-x-3y）,

整理得：x+2y=3,本选项错误，

故答案是：①②③.

【点拨】此题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组

中两方程成立的未知数的值.

20.-110

【分析】

由题:散得出〃-方=2（|。|-|〃|）=440,①当〃、力都为负数时，②当生0、〃V0时，③当“

>0,此0时，分别计算即可得出结果.

【详解】

解：由题意得：c-d=〃-6=440,

•・Z・d=2（H-|b|）,

:・a・b=2（同・向）=440,

a-b-440

①当a、8都为负数时,

2（-。+方）=440

方程组无解;

a-b=440

②当生0、6V0时,

2（tz+/＞）=440

a=330

解得：

b=-\10

a-b=440

③当4>0,但0时,

2（（7-Z,）=440

方程组无解；

综上所述，力的值为-110,

故答案为：-110.

【点拨】本题考查了数轴、绝对值、二元一次方程组的解等知识；熟练掌握绝对值的性质,

进行分类讨论是解题的关健.

【分析】

观察图形可知lc=a+10,代入3a+c=4,解方程可求a的值，进一步求出b的值.

【详解】

解：观察图形可知c=a+10,

代入3a+c=4得3a+a+IO=4,解得a=-g,

则b=a+4=-|.

故答案为：.

【点拨】考查了两点间的距离，数轴，关键是根据题意列出方程求出a的值.

22.-6.

【分析】

把x与y的值代入方程组计算求出。与人的值，即可求出所求.

【详解】

x=2[a+b=-\

解：把"弋入方程组得：A《，

[y=1[a-b=5

a=2

解得：Lr

P=-3

则ab=-6,

故答案为：-6

【点拨】此题考查了二元一次方程组的解,方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未

知数的值.

x=-lfx=3(x=2\m=3

23.(1),⑵〈c(3).(4)-

y=—i[y=21y=-1[n=2

【分析】

方程组利用代入消元法求出解即可.

【详解】

x-3y=2®

解：(1)

y=x©

把②代人①得：

x-3x=2,

解得：Ll,

把尸-1代入②得：

产-1,

X=-1

则原方程组的解为：

U=T

上+y=5①

一12x+y=8②'

由①得：尸5--1^

把③代入②中得：

2x+5-x=8,

解得：尸3,

把尸3代入③中得：

y=5-3=2,

x=3

则原方程组的解为：

y=2

4x+3u=5①

(3)—②

由②得：-4+2四，

将③代入①得：

4K(4+2y)+3尸5,

解得:尸-1,

将尸-1代入③中得:

尸4+2乂(-1)=2,

\x=2

则原方程组的解为：

ni--=2©

(4)2

2”?+3〃=12②

由①得：小=>2③,

将③代入②得:

n

2x(-+2)+3〃=12,

解得：〃=2,

将〃=2代入③中得:

w=-+2=3,

2

m=3

则原方程组的解为：

n=2

【点拨】此题考杏了解二元一次方程组，利用了消亓的思想，消元的方法有：代人消亓法与

加减消无法.

m=I

24.(1)〃=5；⑵NO

【分析】

m+〃=6

（1）根据同类项的定义即可得到W'解方程即可;

（2）先根据整式的加减计算法则进行化简，然后代值计算即可.

【详解】

7

解.：（1）•・•关于a,〃的单项式］。*厅与单项式--汇向是同类项,

m+〃=6

/〃+1=2

m=1

解得

n=5

4〃/-2(']32YI

(2)3(w2-2mn+n2)-

+mn---2n)\

=3/zr-6mn+3〃,-[4w2-m'-2mn+3n2]

=3〃5-6mn+3/-4w2+nr+Imn-3〃

=-4mn，

当〃?=l,〃=5时，原式=-4x1x5=-20.

【点拨】本题主要考查了同类项的定义，解二元一次方程组，整式的化简求值，解题的关键

在于能够熟练掌握同类项的定义.

25.x=2,y=0,=

【分析】

根据二元一次方程组的解为概念将工+)，=2变形为x=2-y,利用代入消元法分别求得》=2,

N=。，再将其代入方程②即可求出用的值.

【详解】

你J2x+y=4①

-+3y=2rn+2②’

2x\y=4

•・•关于xj的二元一次方程组〈的解满足x+y=2,

4x+3y=2m+2

工x=2-y③，

将③代入①,得2(2-y)+y=4,

解得：y=。，

x=2.

将x=2,y=()彳弋入②，得8=2〃?+2,

m=3.

【点拨】本题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的

解的概念及代入消元法和加减消元法求二元一次方程组解的方法是解题的关键.

26.(1)(-2,1)不是“共生有理数对“，(3,£)是快生有理数对“，理由见解析：(2)-64：(3)

不是，理由见解析

【分析】

(1)根据“共生有理数对”的概念计算可得答案；

(2)由新定义及阳-〃=4得出《，，据此知阳〃=