核心素养视域下初中数学七年级下册“转化思想在轴对称中的应用”教案

核心素养视域下初中数学七年级下册“转化思想在轴对称中的应用”教案

一、教材与学情分析

（一）教材分析【基础】

本节内容位于北京师范大学出版社义务教育教科书《数学》七年级下册第五章“生活中的轴对称”之后。本章已系统学习了轴对称现象、简单的轴对称图形（线段、角、等腰三角形）以及利用轴对称进行设计。本节课“问题解决策略：转化”并非孤立的知识点，而是一节方法探究课与思想提升课。它承载着将具体的轴对称知识上升为解决几何问题的一般性策略的任务，是连接几何直观与逻辑推理的重要桥梁【重要】。教材通过设置“最短路径”这一经典问题，引导学生经历“理解问题—拟定计划—实施计划—回顾反思”的全过程，旨在让学生感悟到当遇到不便直接解决的图形问题时，可以借助轴对称的性质（对称轴是对应点连线的垂直平分线，对应线段相等），将复杂、陌生的图形位置关系转化为简单、熟悉的问题（如“两点之间，线段最短”），从而实现化繁为简、化未知为已知的目的。本节课的学习，为学生后续学习几何变换、解决更复杂的几何综合题奠定了思想方法的基础【热点】。

（二）学情分析

1.知识储备：学生已经理解了轴对称图形和两个图形成轴对称的概念，掌握了轴对称的基本性质（对应点所连线段被对称轴垂直平分，对应线段相等、对应角相等），并能识别简单的轴对称图形。同时，学生对“两点之间，线段最短”这一基本事实有深刻认识【基础】。

2.能力水平：七年级学生正处于形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段。他们具备一定的观察、操作和归纳能力，但对于隐藏在几何图形背后的数学思想（如转化思想）缺乏自觉意识和系统认知。在面对陌生问题时，往往习惯于直接求解，而缺乏将问题进行等价变换的意识与策略【难点】。

3.认知挑战【非常重要】：本节课的核心挑战在于如何引导学生自主发现新旧问题之间的内在联系，并主动运用轴对称的性质构建“桥梁”，完成问题的转化。学生需要突破思维定势，理解“为什么要作对称”以及“作对称究竟改变了什么，又保留了什么”，这不仅是知识点的应用，更是思维层级的跃升。

二、教学目标【核心素养导向】

1.知识与技能：掌握利用轴对称解决一类“同侧两点到直线上一点距离之和最小”问题的基本方法。理解转化策略的内涵，即通过轴对称变换将同侧问题转化为异侧问题。

2.过程与方法：经历从具体生活情境中抽象出数学问题，并通过观察、类比、操作、论证等数学活动解决问题的过程。体会并掌握“转化”这一重要的数学思想方法，学会分析问题、寻找转化切入点、验证转化合理性的基本路径【非常重要】。

3.情感态度与价值观：在探究活动中，感受数学思维的严谨性与巧妙性，体验成功解决问题的乐趣，增强应用数学的意识。培养学生敢于面对复杂问题，并善于将其转化为简单问题的意识和信心。

三、教学重难点

1.教学重点【重要】：理解并掌握利用轴对称将“同侧和最小”问题转化为“异侧和最小”问题的方法，感悟转化思想在解决问题中的价值。

2.教学难点【难点】【高频考点】：能够针对具体问题，识别转化的必要性，并创造性地运用轴对称性质构造出等价的新问题，即“找对称点”这一关键步骤的生成与理解。

四、教学实施过程

（一）创设情境，激活思维——感知转化

1.情境引入：多媒体展示生活问题：如图，某燃气公司需在一条笔直的河岸边（直线l）修建一个加压站C，向位于河岸同侧的两个居民小区A和B输送燃气。问加压站C建在何处，才能使从A到C再到B的输气管道总长最短？

2.问题抽象：引导学生将实际问题抽象为数学问题：点A、B在直线l的同一侧，在直线l上求作一点C，使得AC+BC最小。

3.认知冲突：教师提问：“这是一个新问题，我们以前遇到过类似求线段和最小的情况吗？”引导学生回顾旧知：“两点之间，线段最短”。在旧知中，条件是A、B两点在直线l的两侧时，连接AB与l的交点即为所求。而现在A、B在l同侧，显然无法直接连接AB得到最短路径。此时，新旧知识之间产生了矛盾与差距，从而引出本节课的核心任务——如何将这个“新问题”变成我们熟悉的“老问题”【重要】。

（二）探究发现，构建模型——理解转化

1.类比联想，寻找突破口：教师引导：“虽然A、B现在在河的同侧，但我们多么希望它们能变成在河的两侧啊！有没有什么办法，在不改变A、B位置的前提下，通过一种‘魔法’，让它们看起来像是在两侧？”此问题旨在激发学生联想轴对称的性质。

2.小组合作，探索策略：学生以4人小组为单位展开探究。教师巡视，适时点拨：“轴对称能改变图形的什么？它能改变一个点的位置吗？如果能，在改变的同时，什么重要的东西保持不变？”【非常重要】

3.核心步骤生成：

1.4.假设与尝试：部分小组可能会提出，将其中一个点（比如B）“变”到河的另一侧去。

2.5.确定方法：基于轴对称的性质，过点B作直线l的垂线，并延长至B‘，使得B’到l的距离等于B到l的距离，即作出点B关于直线l的对称点B‘。

3.6.论证等价性：教师引导全班分析：为什么要作对称？根据轴对称的性质，对于直线l上的任意一点C，连接BC和B’C，总有BC=B‘C（对称轴上的点与两个对称点的距离相等）。因此，AC+BC=AC+B’C。这样，我们就把求A、B同侧到l上一点C的距离和最小的问题，完美地、等价地转化成了求A、B‘（B’位于l另一侧）到l上一点C的距离和最小的问题【重要】。

7.模型确立：当C点位于AB‘连线与l的交点处时，根据“两点之间，线段最短”，AC+B’C=AB‘最短，从而AC+BC=AB’也最短。至此，问题得以解决。教师板书完整的解题步骤，并强调转化的关键环节。

（三）变式拓展，深化理解——应用转化

1.变式一：图形背景下的转化【热点】：

1.2.题目：如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上的中点，点P是对角线BD上一动点。当点P在何处时，PE+PC的值最小？请画出图形并简要说明理由。

2.3.探究过程：首先引导学生分析问题情境。正方形是轴对称图形，对角线BD是一条对称轴。点C关于BD的对称点是谁？（点A）。因此，PC的长度可以转化为PA的长度。求PE+PC的最小值即转化为求PE+PA的最小值。连接AE，与BD的交点即为所求的点P。此题进一步巩固了转化策略，并将对称点隐藏在图形本身，提升了思维的灵活性【高频考点】。

4.变式二：造桥选址问题【难点】：

1.5.题目：如图，河流l1和l2平行，A、B两地在河的两岸（A在l1外侧，B在l2外侧）。现要在河上分别建一座垂直于河岸的桥（即桥必须与河岸垂直），使从A地经桥到B地的路径最短。问两座桥应分别建在何处？

2.6.策略提升：这是一个经典的“平移+轴对称”的综合转化问题。教师引导学生分析，路径由三段组成：A到桥头C（垂直于l1）、桥CD（固定长度）、桥头D到B。由于桥的长度是固定的，问题关键在于如何让A到C与D到B这两条折线之和最短。通过将点A沿垂直于河岸的方向平移一个桥长的距离至A‘，或者将B平移至B’，将固定长度的桥“虚拟”掉，从而转化为在一条直线上找点的问题。此环节旨在展示转化策略的多样性，不仅限于轴对称，平移也是重要的转化工具【重要】。

（四）回顾反思，提炼升华——内化转化

1.总结步骤：引导学生共同总结利用轴对称解决“最短路径”问题的基本步骤：

1.2.定目标：明确要求的是哪几条线段的和最小。

2.3.寻对称：分析动点在哪条直线上运动，定点中谁可以通过关于这条直线作对称来实现转化。通常，将位于动点所在直线同侧的两个点中的一个，作关于该直线的对称点【非常重要】。

3.4.化同侧：利用轴对称性质，将同侧线段和转化为另一侧线段和。

4.5.构共线：连接转化后的点与另一个定点，所得线段与动点所在直线的交点，即为所求点。

6.提炼思想：教师强调，以上步骤的核心就是“转化”思想。我们面对的是一个陌生的、复杂的问题，但通过联想已有知识（两点之间线段最短），利用轴对称这个工具，将问题转化为我们熟悉的模型。这种“化陌生为熟悉”、“化复杂为简单”、“化未知为已知”的思想，就是转化思想。它不仅适用于数学，也适用于我们解决生活中的各种难题【基础】。

五、板书设计

第五章图形的轴对称——问题解决策略：转化

一、问题模型：二、核心策略：转化三、解题步骤：

求直线l同侧目标：化“同侧”为“异侧”1.定目标

两定点A、B到工具：轴对称的性质2.寻对称

l上动点C的距（对称点连线被对称轴垂直平分；3.化同侧

离和AC+BC最小对称轴上点到两点距离相等）4.构共线

四、数学思想：

转化思想、数形结合

六、作业设计

1.基础巩固：完成课本课后练习题，叙述利用轴对称求最短路径的作图过程及依据。

2.拓展探究：如图，∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，且OP=10。试在OA、OB上分别找两点M、N，使得△PMN的周长最小，并求出这个最小周长。【提示：分别作点P关于OA、OB的对称点，连接两对称点与OA、OB的交点即为M、N。将PM+PN+MN转化为一条线段的长】【非常重要】【高频考点】。

七、教学反思（预设）

本节课的成功之处在于通过生活情境引发认知冲突，激发学生主动寻求转化策略的内在需求。在探究过程中，通过层