2025-2026学年北师大版高二数学上学期期末必刷常考题之空间向量与立体几何

2025-2026学年上学期高二数学北师大版期末必刷常考题之空间

向量与立体几何

一.选择题(共6小题)

1.在四棱锥P-4中，AB=(2f3,-1),AC=(-2,31),AP=(3,-1,-2),则该四棱锥

的高为()

2V521

A.——B.-C.-

332

已知％=(遍，则日，心是(

2.1,0),b=(-2,0,0),)

A.30°B.60°C.150°D.120°

3.已知Q=(1,3,—2),b=(m,2,m+1),若Qlb,则，〃的值为()

A.6B.-6C.4D.-4

4.如图，在空间直角坐标系中，有一极长为2的正方体小。的中点£到14的距离为

()

5.在空间直角坐标系中，已知点4(1,0,0),B(1,0,1),C(1,1,1),则点4到直线8c的距离

是()

A.1B.2C.72D.2日

6.如图，空间四边形O4BC中，OA=a,OB=b,儿=2点N在&上，旦ON=NA,点M为4c中

点，贝1］病=()

1

0

1-1tIT

B.-a+-b+-c

c1-,17,1-IT1-*IT

C.-^＞（z+^o+-2，cD.~a+~b--c

222

二.多选题（共3小题）

（多选）7.在校长为1的正方体4?C。-力归Cid中，点尸在底面内运动（含边界；，点£是棱

CG的中点，则（）

A.若尸是棱力。的中点，则E尸〃平面431c

B.若“」平面&"止,则〃是4C上靠近C的四等分点

C.点E到平面B1O1C的距离为?

D.若产在棱48上运动，则点/到直线小石的距离最小值为

（多选）8.如图，在四棱锥〃FBCQ中，底面是边长为2的正方形，刃_L平面ABCD,PA=2,PE=

A.BTE=^1ATP-ATB+^1ATD

B.\BE\=6

V6

C.异面直线与总夹角的余弦值为工

6

D.点E到平面8/C的距离为1

（多选）9.在棱长为1的正方体/18。。-力山|。。|中，点尸在底面川弘7。内运动（含边界）点£是棱CC\

的中点，则下列说法正确的是（）

2

TT1

A.若力F=/L4D,且Eb〃平面ABC，则;I=5

B.^AF=AAD,则存在入6(0,1),使得cos4DiB/=]

C.若ERL平面小。|£^\AF=^AC

D.若兄'=/1几，则直线力。与平面。。户所成角的正弦值的取值范围是[亭，坐]

三.填空题(共4小题)

10.已知之二(-3,2,4),1=(1,5,-1),则I：一不二.

11.如图，若平行六面体力8。。-小81。。|的所有棱长均为2,且n・cZi=-2,贝i|vG,

&[>=，异面直线AB与CCi所成角的大小为.

12.已知正方体/18CO・48QZ)i的棱长为1,且满足6k=x&+yA+zD3i，且用/z=l,则向量法

的模的最小值是.

13.已知上海地处东经120°52'至122°12',北纬30°40'至31。53'之间，地球半径为6371.004痴.则

纬线所在两平面的距离是.(精确到0.0()次/〃)

四.解答题(共2小题)

14.如图，在四棱锥P-44c。中，必_L平面力AC。，AB//CD,AB1AD,PA=AD=CD=2AB.E为棱

尸C上一点，BE上PC,平面ABE与棱P。交于点尸.

(1)求证：尸为尸。的中点；

(2)求证：平面以平面P。；

(3)若48=1,求二面角8-bC-P的余弦值.

3

15.如图，在四棱锥尸中，％_L平面ACJ-AD,AB±BC,NSO=6()°,AP=AC=AD

=2,E为CO的中点，“在上，且A》=2M%.

(1)求证：区必〃平面以。：

(2)求平面以。与平面P8C夹角的余弦值；

(3)求点〃到平面PC。的距离.

4

2025-2026学年上学期高二数学北师大版（2019）期末必刷常考题之空间

向量与立体几何

参考答案与试题解析

一.选择题（共6小题）

题号123456

答案DCCDAC

二.多选题（共3小题）

题号789

答案ABDACDACD

一.选择题（共6小题）

1.在四棱锥P-/18CO中，前=（2,3,-1）,AC=（-2,0,1）,4P=（3,一1,-2）,则该四棱锥

的高为（）

2V521V5

A.――B.-C.-D

332-T

【考点】空间中点到平面的距离：棱锥的结构特征.

【专题】转化思想：分析法；空间向量及应用；运算求解.

【答案】D

【分析】求出平面/8CQ的一个法向量，利用点到平面距离的向量求法计算可得结果.

【解答】解：设平面48co的一个法向量为£=（无，y,z）,

所以［“7=(),即［2：+3y二*=0,

Uc-n=0ZA+Z-0

令N=2,可得X=1,y=0；

所以n=(l,0,2),

则点p到平面ABCD的距离为=7===T

故选：D.

5

【点评】此题考查用空间向量法求解点到平面距离，属于简单题.

2.已知展=(遍，1,0),b=(-2,0,0),则区，办是()

A.30°B.60°C.150°D.120°

【考点】空间向量的夹角与距离求解公式.

【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解.

【答案】C

【分析】利用空间向量的夹角公式求出cos〈z'b),结合向量夹角的取值范围可得出〈就a的大小.

【解答】解：因为％=(百，L0),1=(一2,0,0),

T—

由题意可得cos区，b)=二L=-735=一苧，

\a\-\b\乙乙'

因为0。式〈工b)<180°,故区,b)=150°.

故选：C.

【点评】本题主要考查了向量的夹角公式的应用，属于基础邈.

3.已知Q=(1,3/-2),b=(m,2,m+1),若alb,则用的值为()

A.6B.-6C.4D.-4

【考点】空间向量的数量积判断向量的共线与垂直.

【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解.

【答案】C

【分析1直接利用向量的坐标运算和向量垂直的充要条件求出m的值.

【解答】解：已知a=(1,3,-2),b=(m,2,zu+1),若a1b,

故”?+6-2(〃?+1)=0,解得〃?=4.

故选；C.

【点评】本题考查的知识点：向量垂直的充要条件，主要考查学生的运算能力，属于基础题.

4.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为2的正方体力8。。-/1山|。。1，小。的中点E到/出的距离为

()

6

z

A.2B.1C.2V2D.V2

【考点】空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离.

【专题】计算题：转化思想；向量法；空间位置关系与距离；运算求解.

【答案】D

【分析】先根据坐标系求出E和月8的方向向量，再利用点到直线的距离的向量求法即可.

【解答】解：•・,正方体川5CQ-4的棱长为2,

AJi(2,0,2),C(0,2,0),小。的中点£(1,1,1),A(2,0,0),B(2,2,0),

AAfi=(0,2,0),71E=(-1,1,1),

TTAFAR"TTT

：,cos(AE,方”二?,\AE\cos{AE,AB)=l

f

\AE\\AB\6

・・・4C的中点七到相距离为：d=小6|2一(愚.cos(启旃)2=&.

故选：D.

【点评】本题主要考查点到直线距离•的求法，考查运算求解能力，属于基础题.

5.在空间直角坐标系中，已知点4(1,0,0),8(1,0,1),C(1,1,1),则点力到直线8c的距离

是()

A.1B.2C.V2D.2V2

【考点】空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离.

7

【专题】转化思想：综合法；空间位置关系与距离；空间向量及应用；运算求解.

【答案】A

【分析】根据向量法，即可求解.

【解答】解：因为在空间直角坐标系中，A(1,0,0),B(1,0,1),C(1,1,1),

所以几=(0,0,1),BC=(0,1,0),

所以点A到直线BC的距离是|丽2_(丝丹)2=--(/)2=I.

\!\BC\，1

故答案为：A.

【点评】本题考查点到直线的距离的求解，向量法的应用，属基础题.

6.如图，空间四边形。18C中，OA=a,OB=b,鼠=Z点N在扇上，且ON=M4,点M为8c中

点，则NM=()

0

B

ITLIT

A.~a——b+-cB.二Q+二b+二c

222222

i-♦i-*i-♦111-»

C.—7T6Z+5-b+TTcD.—Q+一匕—一c

222222

【考点】空间向最基底表示空间向量.

【专题】数形结合；向量法；空间向量及应用；运算求解.

【答案】C

【分析】根据向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算即可得解*

T1TTTT7T1

【解答】解：根据条件：M4=*OA=*a,AB=OB-OA=b-a,BM=*BTC=^1(OTC-OTB)=^1c-*-

法

TTTT1-♦-»1-»1**

所以NM=NA+AB+BM=ia-hb-a+yc-yb=-ya-hyb+yc.

故选：C.

【点评】本题考查了向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，是基础题.

8

二.多选题（共3小题）

（多选）7.在棱长为1的正方体力5CQ-小小。。1中，点尸在底面内运动（含边界），点£是棱

CG的中点，则（）

A.若产是棱力。的中点，则〃平面481c

B.若EE上平面81D1E,则b是4C上靠近。的四等分点

C.点£到平面的距离为小

D.若“在棱上运动，则点E到直线的距离最小值为

【考点】空间中点到平面的距离；直线与平面平行.

【专题】转化思想；转化法；立体几何；逻辑思维；运算求解.

【答案】ABD

【分析】利用面面平行证明线面平行，判断小

建立空间直角坐标系，利用向量法判断线面垂直判断8；

利用等体积法求得点到直线的距离C；

利用向量法求得点到直线的距离判断D.

【解答】解：对于选项力，如图，取OC的中点M,连接ME、A//，

因为点M、F是CD、的中点，所以必〃〃力C,

因为用平面/41C,/ICu平面/4C，

所以M/〃平面48C，

同理ME〃力Ci，且。。〃力81,所以ME〃力勺，

因为平面力囱。，月8iu平面力8C，

所以A/E〃平面力8C，

且A/Enwr=",ME、WRz平面A/E凡

所以平面河£尸〃平面ABC

因为£7七平面所以七尸〃平面力与。，故选项力正确；

对于选项8,若尸是4C上靠近C的四等分点，

以。为坐标原点，DA、DC、OQi所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,

9

11Q

则，B\(1,1,1),D\(0,0,1),E(0,1,F&,卜0),

乙*1

T111T1T

所以EF=G，-1),B1E=(-1,0,-1),81。1=(-1,-1,0),

因为命•B》1=O,EF-B^E=0,

所以天•_!.B》i，EFLB；E,

即£7LL8iQ],EFYB]E,且占1小06]£=①，BTDI、BTEU平面BIDIE,

所以EHL平面囱GE,且过点E只有1条直线和平面BiOiE垂直，

则点尸是唯一的，点尸是4c上靠近C的四等分点，故选项8正确；

对于选项C,因为E是棱CQ的中点，

所以点E到平面BTDIC的距离为。点到平面BMC的距离的：，

由题意可得△历。。是等边三角形，且

设a点到平面BiDiC的距离为d,

由匕：1-831。=匕7-831C1'

所以鼻d=xCC],

SA8[0]CX-5ABJDICI

17T1

所以一xy/2XyflXsin—xd=-xlxlxl,

232

解得d=苧，

所以点E到平面Bi。。的距离为w，故选项C不正确；

6

对于选项。，若点尸在棱48上运动，设尸(1,y,0),OWyWl,

8iE=(-L0,-1),尸治=(0,1-y,1),

则点尸到此的距离由=眄—(MTy=Ja-丫)?+1T=J⑶―4+

10

当y=I时，d的最小值为《一，故选项D正确.

故选：ABD.

【点评】本题考查立体几何综合问题，以及向量法的应用，属于中档题.

(多选)8.如图，在四棱锥P-Z8c。中，底面48CQ是边长为2的正方形，刃_L平面/BCD,PA=2,PE=

B.\BE\=6

V6

C.异面直线8E与加夹角的余弦值为工

6

D.点E到平面比IC的距离为1

【考点】空间中点到平面的距离；异面直线及其所成的角；空间向量的数乘及线性运算.

【专•题】转化思想；向量法；空间位置关系与距离；运算求辞；空间想象.

【答案】ACD

【分析】根据空间向量的线性运算可判断选项小以4为原点建立空间直角坐标系，利用向量法可求空

间两点间距离以及异面直线所成角，从而判断选项8和C；根据点到平面距离的定义可判断选项。.

【解答】解：因为R1_L平面45CQ,/IB,/Qu平面川儿'。，

所以刃_1_48,PA1AD,

乂四边形N4CO为正方形，所以4力D,

故AD,4P两两互相垂直，

以4为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则4(0,0,0),B(2,0,0),P(0,0,2),E(0,I,1),

11

选项4BE=BA+AE=-AB+^AD+^AP=^AP-/IF4-1AD,故选项力正确；

选项8,BE=(-2,1,1),\BE\=V44-1+1=V6,故选项B错误；

选项C,因为尾=(-2,1,1),AP=(O,0,2),

TT

所以直线始与必夹角的余弦值为乎.”=-^―=日，故选项。正确：

\BE\-\AP\76x26

选项。，因为"平面"CZ),

所以点P到平面BAC的距离为PA=2,

又E是尸。的中点，

所以点E到平面反4C的距离为4=1，故选项。正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握空间向量的线性运算，利用向量法求异面直线所成角,

以及点到平面距离的定义是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

(多选)9.在棱长为1的正方体48COF向。9中，点厂在底面A8co内运动(含边界)点£是棱CCi

的中点，则下列说法正确的是()

A.若赤=%赤，且"1〃平面48iC,Ml=1

B.^AF=2AD,则存在入£(0,I),使得cos/5阳产

C.若七凡L平面8Q1E,则

D.若赤=Z4k则直线力。与平面。。尸所成角的正弦值的取值范围是［苧，学］

【考点】空间向量法求解直线与平面所成的角；平面的法向量.

【专题】转化思想：向量法；立体几何：运算求解.

【答案】ACD

12

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法逐项计算.

【解答】解：以。为原点，分别以D4、DC、。。所在直线分别为x、)，、z轴建立空间直角坐标系,

/上一______/

'/B

则/(I,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A](1,0,1),B\(1,I,1),C\(0,

1,1),Di(0,0,1),

所以E(0,L；),

对于力：由耳1=/lG,

得而=DA+AAD=(1,0,0)+A(-1,0,0)=(1-入，0,0),

所以歹(1-入，0,0),6=(1一九一1,-1),

ABX=(0,1,1),4C=(-1,1,0),

因为£/〃平面力8C,

所以前，屈1，成共面,

所以存在x,y£R,EF=xAB{+yAC,

/1

-

/X一

1Ay一-

—

一=-2

JX+y11

-得

解

可-

-<y---

—2故力正确;

11

X=--

K2A-

I-2

对于8：由力，=-1,0),-1,-1),

B]Dy-B]F_A+l_5

所以cosz_D]8iF=

瓜2+46

解得入=5或入=4,故4错误:

TI1

对于C：=-1,0),&E=(-L0,-2),

设平面8］。化的法向量£=。，y,z),

13

号K=1,则y=-1,z=-2,

所以％二(L-1,-2)是平面415E的一个法向量,

设F(a,b,0),则ETF=(a,b-L-11),

因为E/LL平面BiDiE,

所以印6R,EF=un.

1

-

4

1

所

得

以

解-

4

3

-

4

所以网［，I，0),

所以I，0),又几?二(-1,L0),所以於=*前，故C正确:

对于。：因为49=/14&点尸在底面48CQ内运动(含边界)，所以。〈入W1,

且OF=DA+AAB=(1,0,0)+入(0,I,0)=(1,入，0),所以b(I,入，0),

设平面。1。尸的法向量(勺，力，zD，DF=(1,X,0),001=(0,0,1),

m-DF=0....Xi4-).y=0

所以1

m-DDi=071=0

令刘=入，则yi=-l,zi=0,

所以血=(九一1,0)是平面9。尸的一个法向量,

14

设直线ACi与平面D\DF所成角为3

匹皿一鬲而一闻而‘

令，=1+入,则入=，・1,re[l,2],

11

所以si刀。=

百-1)2+173-卜介贲凤2(2)2+；

因为函数”2(；-疗+揄=1时取得最大值I,在f=2时取得最小值最

所以sin。的最小值为WR最大值为——"F="

753V3xji3

即所求取值范围是［坐，坐］,故。正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查向量法在立体几何中的应用，属于中档题.

三.填空题(共4小题)

10,已知2=(—3,2,4),b=(l,5,-1),贝1|区一&=_5立_.

【考点】空间向量线性运算的坐标表示.

【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解.

【答案】5V2.

【分析】利用空间向量线性运算的坐标表示及模长的坐标表示求解.

【解答】解：向量3=(1,5,-1),a=(-3,2,4),

则a—b=(-3,2,4)—(1,5,-1)=(-4,-3,5)>

所以日—b\=7(-4)2+(-3)2+52=5V2.

故答案为：5V2.

【点评】本题主要考查向量模公式，属于基础题.

15

II.如图，若平行六面体48C。-mBCiQi的所有棱长均为2,且48・CCi=-2,则05,CQ>=

，异面直线48与C。所成角的大小为.

【考点】空间向量的数量积运算；异面直线及其所成的角.

【专题】转化思想：综合法；空间角；运算求解.

■2兀7T

【答案】刀；--

JO

【分析】利用向量数量积计算公式计算可得〈6,61),由异面直线所成角定义可得异面直线44与CG

所成角的大小.

【解答】解：因平行六面体456-4出6。1的所有棱长均为2,且6・笈1=-2,

故cos〈n,后〉="叱=彘=~4.

ZXZ

\AB\-\CCX\乙

TTTT2

因为0W〈4B,CCOWTT,所以〈AB,CCD=竽7r，

又异面直线所成角的范围为(0,f],

故异面直线AB与C©所成角的大小为"一冬=*

故答案为：：*

【点评】本题考杳空间向量的夹角公式及异面直线所成角的定义，属基础题.

12.已知正方休49CQ-4AC1G的棱长为1,且满足法=jvQ1+y应?+zo2)i，且x+尸■nmI,则向量法

的模的最小值是_竽_.

•3

【考点】空间向量的数乘及线性运算；空间中点到平面的距离.

【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解.

…八28

【答案】—.

【分析】结介空间向量的线性运算进行转化，结合共面定理可得，的最小值为点。到平面。的

16

距离，结合空间距离的求解即可求.

【解答】解：方体48。。-小56。1的棱长为1,且满足法=》31+历^+2而1，旦用/2=1,

：.DE-DDj=x(DA-DD^4-y(DC-0。。，即D；E=xO1+yO；C,

由共面向量定理得，D\,E,A,。四点共面,即点E在平面上，则|DE|的最小值为点D到平面

的距离,

以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则。(0,0,0),A(2,(),0),C(0,2,0),D\(0,

0,2),

：.AC=(-2,2,0),AD1=(-2,0,2),£M=(2,0,0),

丝•计。，即—2x+2y=0,

设平面OMC的法向量为〃=(x,y,z),则

力。1•九=0,-2x+2z=0,

令x=],则n=(j,i,i),则点。到平面。MC的距离4=冲锻二专=孥

故答案为：

【点评】本题主要考查了空间向量在空间距离求解中的应用，属于中档题.

13.已知上海地处东经120°52'至122°12,，北纬30°40'至31°53'之间，地球半径为6371.004灿?.则

纬线所在两平面的距离是.135.283&加.(精确到0.()01心〃)

【考点】空间中两平行平面间的距离及平行于平面的直线到平面的距离.

【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维.

【答案】135.283g.

17

【分析】先求出纬度差，两纬线所在两平面的距离为以地球为半径的圆，角度为纬度差所对应的弧氏，

由弧长公式能求出结果.

【解答】解：•・•上海地处东经120°52'至122°12',北纬30°40z至31°53'之间，

纬度差为31。53'-30°40'=1013',

两纬线所在两平面的距离为以地球为半径的圆，

角度为1°13'所对应的弧长，

•・•地球半径为6371.004左m,

・・・纬线所在两平面的距离为：

1°13'x备x6371.004《135.283痴.

故答案为：135.283A7W.

【点评】本题考查弧长公式、空间中面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

四.解答题（共2小题）

14.如图，在四棱锥夕-/4C。中，朋_1_平面力3C。，AB//CD,AB±AD,PA=AD=CD=2AB.E为棱

PC上一点，BELPC,平面4切与棱交于点巴

（1）求证：尸为PQ的中点；

（2）求证：平面内Q_L平面PCD；

（3）若48=1,求二面角8-EC■尸的余弦值.

【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角；平面与平面垂直.

【专题】对应思想；综合法；立体几何；运算求解.

【答案】（1）由于以L面彳8CO,并且48,4Du面力BCD,

则可以得到刃_L48,且必_L4O,

设AB=1,则在RtAP/lB中，根据勾股定理可得P8=yjAB2+AP2=遥,

由于44〃力。，并且/18_L4O,AD=CD=2AB=2,

则8C=J(2-1)2+22=遥,所以P8=8C,

18

由于8E_LPC,则可知£为，。的中点，

由于力8〃CO,ABC面PCD,并且CQu面PC。，

故可以得到力4〃面夕CQ，

由于面力面尸。。=七"，则力4〃EG

故CO〃七凡则可以证明尸为。。的中点；

（2）因为以=力。，/为PQ的中点，WOAFLPD,

由（1）易得E尸〃CD,EF=gcD,又因为44〃CQ,AB=^CD,

所以可得石/〃44,EF=AB,

则可知四边形ABEF是平行四边形，

则BE//AF,

又因为BELPC,所以力hLPC,

由于"C门产。=产，PC,HJU可产C。，

则可以得到力尺L面PCD,

由于"u面PAD,

则面以力J_1EPCQ；

5

（3）-

【分析】（1）利用直线与平面的平行的判定定理和性质定理证得力9〃£K再结合三角形的中位线即得

F为PD的中点;

（2）利用直线与平面垂直求证出片/_L平面尸CZ）,再结合平面与平面的垂直判定定理求证即可；

（3）根据题目条件，建立空间直角坐标系，利用待定系数法求得平面的法向量和平面PCO的法

向量结合二面角B-FC-P的平面角是锐角从而求出二面角B-FC-P的余弦值.

【解答】证明：⑴由于以J•面/3CQ,并且48,4Du面.4BCD,

则可以得到以且%L4。，

设48=1,则在跳八小8中，根据勾股定理可得PB=，4炉+4P2=6

由于48〃力。，并且力8_1_4。，AD=CD=2AB=2,

则8C=J（2-1尸+22=后,所以PB=BC,

由于6£J_PC,则可知£为。。的中点，

由于力3〃CO,4BC面PCD,并且CQu面PCO,

故可以得到力〃〃面PCD,

19

由于面力8EEA面PCD=ER则

故CO〃上凡则可以证明少为夕。的中点；

(2)因为以=力。，”为「。的中点，则力凡LPQ,

由(1)易得EF〃CD,EF=^CD,又因为彳8〃。。，AB=^CD,

所以可得Eb〃/8,EF=AB,

则可知四边形/16E厂是平行四边形，

则BE//AF,

又因为8EJ_PC,所以力凡LPC,

由于pcnpo=p,PC,PDu面PCD,

则可以得到“凡L面PCD，

由于力"=面PAD,

则而以。_1面FCD；

解：(3)建立如下图所示的空间直角坐标系：

则4(0,0,0),B(0,1,0),C(2,2,0),P(0,0,2),D(2,0,0),F(1,0,I),

故或=(2,1,0),丽=(1,-1,1),诵=(1,0,1),

设平面8C/7的,个法向量为m=(x,y,z),

则卜.二°,可以得到俨+y=°7

皿BF=0,[x-y+z=0.

令x=-1,则y=2,z=3,

所以可得蔡=(一1，2,3),

20

由（2）已证4歹_1面。。,

故而=（1,0,1）为平面PCD的一个法向量,

TT

乙7Im-AF..-1+3,v/

所以IcosVm，=|一一|=||=尸,

|利|仍J2X44/

由图知二面角4-尸C-P的平面角为锐角，

V7

所以二面角B-FC-P的余弦值为三.

【点评】本题主要考查面面垂直的判定以及二面角的平面角，属于中档题.

15.如图，在四棱锥尸-力4c。中，m1J_平面/8C。，ACLAD,ABLBC,/3。=60°,AP=AC=AD

=2,七为。。的中点，M在池上，且力）=2僦.

（1）求证：区”〃平面R4O；

（2）求平面以。与平面P4C夹角的余弦值；

（3）求点M到平面尸CD的距离.

【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角；空间中点到平面的距离；直线与平面平行.

【专题】转化思想：向量法；空间位置关系与距离；空间角；运算求解；空间想象.

【答案】（I）证明过程请见解答；（2）第；（3）一.

【分析】（I）以力为原点建系，易得平面以。的法向量蓝，再证明京•薪=0即可；

（2）利用空间向量法求解面面角即可；

（3）利用空间向量法求解点面距离即可.

【解答】（1）证明：由题意知，AD,AC,力。两两垂直,

故以/为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

21

P,

则4(0,0,0),0(2,0,0),C(0,2,0),B(一导,|,0),E(l,1,0),P(0,0,2),

由八=2麻，得M(一等，1,0),

所以R=(-*一1,0,0),

易知平面口。的一个法向量为蔡二(0,1,0),

所以扇•鹿(一亭-1)X0+0XI+0X0=0,即俞J.蔡，

又EA拉平面PAD,

所以EM〃平面21Q.

TT1

(2)解：由(1)得PC=(0,2,—2),BC=(号，?0),

.fn-PC=2y-2z=0

设平面P5c的法向量为〃=(%,y,z),则t叵1

In-RC=^-x+yy=0

令x=-1,得y=g,z=V3,所以〃二(一1,V3,V3),

而平面以。的一个法向量为7=(0,1,0),

所|、|Jt、nmV3v21

所以cosOi,m>=———=-r=—=f-,

|n|-|m|/xl7

V21

故平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为〒.

(3)解：由题意知，而=(0,2,—2),访=(2,0,—2),扇=(一坐一1,0,0),

(TT

设平面PCQ的法向量为5=(即b,c),则［7=2匕-2c=0,

(p•PD=2a-2c=0

令e=l,得b=l,4=1,所以方二(1,1,1),

\EMn\

所以点M到平面PCD的距离为一2=l-T-111+V3

iPl

22

【点评】本题考查立体几何的淙合应用，熟练掌握利用向量法证明线面平行，求面面角与点到平面的距

离是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

23

考点卡片

1.棱锥的结构特征

【知识点的认识】

1.棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥.用

顶点和底面各顶点的字母表示，例：s-ABCD.

2.认识棱锥

棱锥的侧面：棱锥中除底面外的各个面都叫做棱锥的侧面.

棱港的侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.

棱链的顶点；棱锥中各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.

棱锥的高：棱锥的顶点到底面的距离叫做棱锥的高.

棱锥的对角面；棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面.

3.棱锥的结构特征

棱锥卜底面是多边形

(2.侧面是三角形

根据棱锥的结构特征，可知棱锥具有以下性质:

平行于底面的截面和底面相似，且它们的面积比等于截得的棱锤的高与原棱锥的高的比.

4.棱锥的分类

棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形…我们把这样的棱链分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…

正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的楂锥叫做正棱锥.正棱锥的各个

侧面都是全等的等腰三角形.

5.棱锥的体积公式

设棱锥的底面积为S,高为九

2.异面直线及其所成的角

24

【知识点的认识】

1、异面直线所成的角：

直线。，6是异面直线，经过空间任意一点。，作直线。,，b',并使///a.h'//h.我们把直线加

和/所成的锐角（或直角）叫做异面直线。和力所成的角.异面直线所成的角的范围：ee10,j.当e

=90"时，称两条异面直线互相垂直.

2、求异面直线所成的角的方法：

求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线.

3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：

1.余弦定理：在△ABC中，有

a2-b1-i-c2-2Z;ccosA，

b2=a2-pc2-2accosB，

c2=a2+〃—labcosC・

刀2_22

2.余弦定理的推论：cosA=，

2bc

a2^c2-b2

cosB=----------------------，

lac

2122

a+b-c

COSC=----------------------.

2ab

3.直线与平面平行

【知识点的认识】

1、直线与平面平行的判定定理：

如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.用符号表示为：若

bua,a//h,贝I」a//a.

2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条宜

线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行.即由线线平行得到线面平行.

1、直线和平面平行的性质定理：

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.

用符号表示为：若4〃a,4U0,anp=/）,则a〃力.

25

2、直线和平面平行的性质定理的实质是：

已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行.即由线面平行=线线平

行.

由线面平行=线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行.

正施的结论是：a〃a,若bua,则人与。的关系是：异面或平行.即平面a内的直线分成两大类，一类与

。平行有无数条，另一类与。异面，也有无数条.

4.平面与平面垂直

【知识点的认识】

平面与平面垂直的判定：

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.

平面与平面垂直的性质：

性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.

性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.

性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面.

性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直.

5.空间向量的数乘及线性运算

【知识点的认识】

I.空间向量的数乘运算

实数人与空间向量；的乘积/1之仍是一个向量，称为向量的数乘运算.

①当人＞0时，行与之的方向相同；

②当人〈0时，应与；的方向相反；

③当人=0时，Aa=0.

（4）|Za|=|A|*|a|

元的长度是展的长度的囚倍.

2.运算律

空间向量的数乘满足分配律及结合律.

2