鲁教版（五四制）初中数学八年级下册《线段的垂直平分线》第二课时教案

鲁教版（五四制）初中数学八年级下册《线段的垂直平分线》第二课时教案

一、教学指导思想与理论依据

本节课的教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为指导，深刻践行“三会”核心素养导向。教学立足于发展学生的几何直观、推理能力和模型观念，通过线段的垂直平分线性质定理与判定定理的整合与应用，引导学生经历“观察—猜想—验证—证明—应用”的完整数学探究过程。设计遵循建构主义学习理论，强调学生在已有知识经验（全等三角形、轴对称、垂直平分线性质）基础上的主动建构。同时，融入问题驱动教学法（PBL）和启发式教学，通过精心设计的问题链和真实情境任务，激发学生的高阶思维，促进对数学知识本质的理解和迁移应用能力的发展，实现从“学会”到“会学”的转变。

二、教学内容与学情分析

1.教学内容分析：

本节课是“线段的垂直平分线”这一单元的第二课时，承接第一课时“线段的垂直平分线的性质定理”。本课时的核心内容是线段垂直平分线的判定定理及其与性质定理的综合应用。判定定理是性质定理的逆命题，其证明涉及到构造全等三角形，是培养学生逻辑推理能力的绝佳载体。教学内容还包括利用尺规作图探究三角形三边垂直平分线的性质，为后续学习等腰三角形、轴对称等知识奠定基础。教学重点是判定定理的理解与证明，难点是性质定理与判定定理的辨析与灵活运用，以及在复杂图形中识别或构造垂直平分线模型解决实际问题。

2.学情分析：

授课对象为五四制八年级下学期学生。在知识储备上，学生已经掌握了全等三角形的判定与性质、轴对称的基本概念以及线段垂直平分线的性质定理，具备一定的几何观察、说理和简单证明的能力。在思维特征上，该年龄段学生的抽象逻辑思维正在快速发展，但思维定势依然存在，对于互逆命题的区分、复杂图形中基本图形的剥离以及分析法的证明思路可能感到困难。在动机方面，他们对富有挑战性和探索性的几何问题兴趣浓厚，但需要教师搭建合适的脚手架，引导他们克服畏难情绪，体验数学发现的乐趣和严谨之美。

三、教学目标

1.知识与技能：

1.2.理解并证明线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

2.3.能够准确区分并表述线段垂直平分线的性质定理与判定定理，明确其条件与结论的互逆关系。

3.4.掌握利用尺规作图作出已知线段的垂直平分线、已知三角形的外心的方法，并能说明作图依据。

4.5.能够综合运用性质定理和判定定理解决简单的几何证明和计算问题。

6.过程与方法：

1.7.经历“提出猜想—验证猜想—逻辑证明”的完整探究过程，体会从合情推理到演绎推理的数学思想方法。

2.8.通过对比分析性质定理与判定定理，加深对互逆命题的认识，提升数学辨析能力。

3.9.在解决实际问题和复杂几何图形问题的过程中，学习运用“建模思想”，将实际问题抽象为垂直平分线模型，培养分析问题和解决问题的能力。

10.情感态度与价值观：

1.11.在探究活动中感受数学定理的和谐统一之美（性质与判定的互逆），激发探索数学奥秘的兴趣。

2.12.通过严谨的几何证明，养成言必有据、一丝不苟的科学态度和理性精神。

3.13.在小组合作与交流中，学会倾听、表达与协作，增强学习数学的自信心。

四、教学重点与难点

1.教学重点：线段垂直平分线判定定理的证明及其应用。

2.教学难点：性质定理与判定定理的区分与灵活选用；在复杂情境中构造垂直平分线模型解决问题。

五、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（包含动态几何软件演示，如GeoGebra）、三角板、圆规、导学案、实物投影仪。

2.学生准备：直尺、圆规、三角板、练习本、导学案。

六、教学过程

第一环节：情境再现，温故孕新（预计时间：8分钟）

1.问题回顾：

1.2.教师提问：“上节课我们学习了线段的垂直平分线的一个重要性质，哪位同学可以完整地叙述这个定理？”

2.3.学生回答后，教师用课件精准展示：【性质定理】线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。（几何语言：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB）

3.4.教师追问：“这个定理为我们提供了‘线’到‘点’的关系。如果反过来，我们知道一个点到一条线段两个端点的距离相等，能否确定这个点与这条线段的位置关系呢？”

5.提出猜想：

1.6.教师利用GeoGebra动态演示：已知线段AB，平面内一动点P满足PA=PB。拖动点P，让学生观察点P的轨迹。

2.7.学生直观感知：满足PA=PB的点P，似乎在一条垂直于AB且经过AB中点的直线上运动。

3.8.教师引导学生用数学语言描述猜想：“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。”并板书猜想。

9.明确目标：

1.10.教师指出：“这只是一个通过观察得到的猜想，其真实性必须经过严格的逻辑证明。这就是我们本节课要探究的核心内容——线段垂直平分线的判定定理。”

【设计意图】从回顾旧知自然引出逆命题猜想，利用动态几何软件增强几何直观，激发学生的探究欲望，明确本课学习目标，实现知识的衔接与过渡。

第二环节：合作探究，严谨论证（预计时间：15分钟）

1.分析命题，厘清条件与结论：

1.2.师生共同将猜想转化为标准命题形式。

2.3.已知：如图，PA=PB。

3.4.求证：点P在线段AB的垂直平分线上。

4.5.教师引导学生思考：“要证明一个点在线段的垂直平分线上，需要证明什么？”（需要证明两点：①该点在线段的中垂线上；②该直线垂直于线段且平分线段。通常转化为证明该点与线段两端点所连线段被另一条直线垂直平分，或直接连接该点与中点证明垂直）。

6.小组讨论，探索证明思路：

1.7.学生以4人小组为单位，讨论证明方法。教师巡视指导，关注学生是否考虑连接点P与AB的中点，或过点P作AB的垂线等思路。

2.8.教师提示：“目前我们只知道PA=PB，可以构造什么图形来建立联系？”（引导学生联想到构造三角形，利用全等来证明垂直或中点）。

9.展示交流，形成证明：

1.10.小组代表分享证明思路。可能出现两种主流方法：

1.2.11.思路一：取AB中点M，连接PM。证明△PAM≌△PBM（SSS），从而∠PMA=∠PMB=90°，即PM⊥AB。故PM是AB的垂直平分线，点P在上。

2.3.12.思路二：过点P作PC⊥AB于点C。先利用HL证明Rt△PAC≌Rt△PBC，得到AC=BC，即PC垂直平分AB。

4.13.师生共同评价、优化证明过程，用课件展示一种规范、完整的证明书写（以思路一为例）。

14.归纳定理，对比辨析：

1.15.教师引导学生总结出【判定定理】：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。（几何语言：∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上）

2.16.深度对比活动：教师出示表格，引导学生从文字语言、图形语言、符号语言、逻辑关系（条件与结论）等多个维度，对比性质定理与判定定理。

维度

性质定理

判定定理

文字语言

线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等。

到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。

图形语言

（图示：直线l垂直平分AB，P在l上，有PA=PB）

（图示：PA=PB，则P在AB的垂直平分线l上）

符号语言

∵点P在线段AB的垂直平分线上，

∴PA=PB。

∵PA=PB，

∴点P在线段AB的垂直平分线上。

作用

由“点在线上面”推出“线段等”。（知“线”推“点距”）

由“线段等”推出“点在线上面”。（知“点距”推“线”）

关系

互逆命题

互逆命题

1.17.教师强调：“性质定理是‘垂直平分线’所具有的属性，用于得到线段相等；判定定理是判断一条直线是否是垂直平分线的依据，条件是线段相等。使用时切勿混淆。”

【设计意图】本环节是本节课的核心。让学生经历完整的数学探究与证明过程，培养逻辑推理能力。通过小组合作突破证明难点，通过深度对比表格帮助学生清晰建构两个定理的认知结构，突破易混点。

第三环节：操作验证，深化理解（预计时间：10分钟）

1.尺规作图再认识：

1.2.教师提问：“我们早在之前就学过用尺规作一条线段的垂直平分线，其作图原理是什么？请以小组为单位，重新操作一遍，并尝试用今天所学的定理解释每一步的合理性。”

2.3.学生动手操作：分别以点A、B为圆心，大于AB/2的长为半径画弧，两弧交于C、D两点，作直线CD。

3.4.学生解释：根据作图，CA=CB，DA=DB（同圆半径相等）。由判定定理，点C、点D都在AB的垂直平分线上。两点确定一条直线，所以直线CD就是AB的垂直平分线。

4.5.教师总结：“这个经典的尺规作图，正是判定定理的一个完美应用实例。”

6.探究三角形三边垂直平分线的性质：

1.7.任务驱动：“请同学们在练习本上任意画一个锐角三角形，利用尺规分别作出三条边的垂直平分线。观察这三条直线有什么位置关系？”

2.8.学生操作、观察，发现三条垂直平分线交于一点。

3.9.教师利用GeoGebra动态演示，改变三角形的形状（锐角、直角、钝角），该交点始终存在。

4.10.引发思考：“这个交点到三角形三个顶点的距离有什么关系？为什么？”

5.11.学生推理：设交点为O。∵O在BC的中垂线上，∴OB=OC。∵O在AC的中垂线上，∴OA=OC。∴OA=OB=OC。

6.12.教师引入概念：三角形三条边的垂直平分线交于一点，这一点称为三角形的外心。外心到三角形三个顶点的距离相等，这个距离就是外接圆半径。

【设计意图】将判定定理与尺规作图相结合，使学生理解数学操作的原理，实现“知其然更知其所以然”。探究三角形外心的活动，将知识从单一线段扩展到复杂图形，初步渗透“交轨法”思想，为圆的学习埋下伏笔，深化对判定定理应用的理解。

第四环节：迁移应用，巩固提升（预计时间：12分钟）

本环节设计分层例题与练习，由浅入深，循序渐进。

【例1】基础辨析与应用

如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC。

求证：直线AO垂直平分线段BC。

1.师生分析：要证AO垂直平分BC，即证A、O均在BC的垂直平分线上。

1.2.证点A在线段BC的垂直平分线上：∵AB=AC，∴由判定定理，点A在BC的中垂线上。

2.3.证点O在线段BC的垂直平分线上：∵OB=OC，∴由判定定理，点O在BC的中垂线上。

3.4.故直线AO是BC的垂直平分线。

5.教师点拨：此题是判定定理的直接应用，明确证明“垂直平分”可以转化为证明“两点都在中垂线上”。

【例2】综合应用与模型识别

如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F。

求证：AD垂直平分EF。

1.小组讨论：分析已知条件（角平分线+双垂直）可推出什么？（DE=DF，△AED≌△AFD，AE=AF）

2.学生板演：证明思路：由DE=DF，得点D在线段EF的中垂线上；由AE=AF，得点A在线段EF的中垂线上。所以AD是EF的垂直平分线。

3.教师升华：本题将角平分线性质与线段垂直平分线判定定理结合。关键在于从复杂图形中识别出满足“到线段两端点距离相等”的两个点（A和D）。

【变式练习】

在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线ED交BC于点D，BD=6cm。

求：(1)∠DAC的度数；(2)CD的长度。

1.学生独立完成，教师巡视。重点指导学生利用性质定理（得AD=BD）得到等边△ABD，进而求解。

2.小结反思：本题是性质与判定的综合。由ED是AB的中垂线（已知），利用性质定理得到AD=BD；由AD=BD和∠B=30°，可判定△ABD是等腰三角形并计算角度，进而求解。体现了定理的灵活选用。

【设计意图】通过阶梯式例题，巩固判定定理的直接应用，训练学生在综合图形中识别基本模型的能力。例2侧重“如何证垂直平分线”，变式练习侧重“用垂直平分线性质解决问题后再结合其他知识”，培养学生综合分析与解决问题的能力。

第五环节：课堂小结，体系建构（预计时间：5分钟）

1.知识树梳理：教师引导学生共同构建本节课的知识脉络图（思维导图）。

线段的垂直平分线

├──性质定理：线上点→距离等

├──判定定理：距离等→线上点

├──关系：互逆

├──应用：

│├──尺规作图（原理）

│├──证明点/线关系

│└──三角形外心（三边中垂线交点）

└──数学思想：互逆、转化、建模

2.思想方法提炼：师生共同总结本节课用到的数学思想方法：互逆思想、转化思想（证明垂直平分转化为证明两点在线上）、模型思想（识别垂直平分线基本结构）。

3.困惑交流：鼓励学生提出本节课仍存在的疑问。

七、作业设计（分层）

1.基础巩固题（必做）：

1.2.教科书对应章节的练习题。

2.3.写出线段垂直平分线性质定理和判定定理的逆命题，并判断其真假。

3.4.已知：如图，点C、D在线段AB的同侧，且CA=CB，DA=DB。求证：直线CD垂直平分线段AB。

5.能力提升题（选做）：

1.6.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD。求证：AC垂直平分BD。

2.7.实际问题：某镇计划在三个新建的居民小区A、B、C之间修建一个综合性购物中心O，要求O到三个小区的距离相等。请你帮助规划人员确定购物中心O的位置（尺规作图，保留作图痕迹，写出结论），并说明理由。

八、板书设计

§1.4.2线段的垂直平分线（二）

一、判定定理

文字：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线