《电路和电子技术：电子技术基础》-第5章

5.1逻辑关系逻辑代数是英国数学家GeorgeBoole在19世纪中叶创立的，因此也称为布尔代数。直到20世纪30年代，美国人ClaudeE.Shannon在开关电路中才找到了逻辑代数的实际应用，逻辑代数成了分析和设计开关电路的重要数学工具，所以，又将逻辑代数称为开关代数。数字电路是一种开关电路。开关的两种状态“闭合”和“断开”，可以用晶体管的“导通”和“截止”来实现，可以用某端的低、高电位（或称为电平）来表示，通常用二元常量“0”和“1”表示。数字电路研究输出变量与输入变量之间的逻辑关系，这种关系用逻辑函数表示，所以又将数字电路称为逻辑电路。下一页返回5.1逻辑关系5.1.1基本逻辑关系与、或、非是三种最基本的逻辑关系。与、或、非的逻辑关系也称为逻辑运算或逻辑函数，通常可以用逻辑表达式、逻辑真值表和逻辑符号来表示。1.与逻辑运算若决定某一事件的所有条件都满足，这个事件才发生，这种逻辑关系称为与逻辑关系或称与运算。可以用图5.1（a）所示开关电路来说明与逻辑关系。图中开关A和开关B是串联的，灯亮的条件是A和B同时闭合。上一页下一页返回5.1逻辑关系设开关闭合、灯亮用“1”表示；开关断开、灯灭用“0”表示，则灯亮的事件Y与开关A、B的关系可用逻辑表达式表示为Y=A·B（5.1）式（5.1）即表示输出Y与输入A、B之间为与运算，也称逻辑乘，“·”可省略不写。与逻辑运算的符号如图5.1（b）所示。将输入变量的所有取值组合和输出变量的对应取值用表格形式列出，称为真值表，二输入变量与逻辑关系的真值表如表5.1所示。若输入变量为n个时，则对应的真值表有2n行，例如：n=2，真值表有22=4行；n=3，真值表有23=8行；n=4，上一页下一页返回5.1逻辑关系真值表有24=16行。通常将输入变量的取值组合按某种顺序排列，以免遗漏或重复。如：按二进制数所表示的十进制数的大小，从0～（2n−1）的顺序排列。2.或逻辑运算若决定某一事件的各个条件中，只要有一个满足，这个事件就发生，这种逻辑关系称为或逻辑关系，也称或运算。可用图5.2（a）所示开关并联的电路来说明或逻辑关系。当开关A闭合，或开关B闭合，或开关A、B同时闭合，均使灯亮的事件发生。灯亮与开关的关系可用逻辑表达式表示为Y=A+B（5.2）上一页下一页返回5.1逻辑关系式（5.2）表示输出Y与输入A、B之间为或运算，也称逻辑加。或逻辑运算的符号如图5.2（b）所示，其真值表如表5.2所示。上述两种基本运算也可以推广到多输入变量的情况，例如：YABCD，Y=A+B+C等。3.非逻辑运算若某事件的发生，取决于条件的否定，即条件满足时事件不发生，条件不满足时事件发生。这种逻辑关系称为逻辑非。可用图5.3（a）所示开关电路来说明：当开关A闭合时灯灭，而开关A打开时灯亮。其逻辑表达式可写为Y=A（5.3）上一页下一页返回5.1逻辑关系式中A上方的符号“−”表示非运算或对A取反，读作“A非”或“A反”。非逻辑运算的符号如图5.3（b）所示，图中方框右侧的“о”表示取反，其真值表如表5.3所示。各种逻辑关系均可以用与、或、非三种基本逻辑关系的各种组合表示。5.1.2复合逻辑关系任何复杂的逻辑关系都可由与、或、非三种基本逻辑关系组合而成，常用的复合逻辑关系有与非、或非、与或非、异或、同或等。基本逻辑关系及常用的复合逻辑关系都有相应的门电路产品，在表5.4中列出了它们的逻辑表达式和逻辑符号，并给出口诀以方便记忆。上一页返回5.2逻辑函数的表示和化简利用基本的逻辑电路可以组合成复杂的数字电路系统，如数字计算机、数字控制或检测装置等。在数字逻辑电路的分析和设计过程中必须使用逻辑函数对电路的输入、输出关系进行描述，逻辑代数是研究逻辑关系的一种数学工具。本节介绍逻辑代数的基本运算规律、逻辑函数的表示和化简方法。5.2.1逻辑代数的基本定律和运算规则1.基本定律在逻辑代数中，和普通代数一样，也是用英文字母表示变量，称为逻辑变量。逻辑变量取值十分简单，在二值数字逻辑中，只能取“0”或“1”两个值，不是取“0”值就是取“1”值，没有第三种可能。下一页返回5.2逻辑函数的表示和化简这里的“0”和“1”不是具体的数值，也不能比较它们的大小，而是表示两种逻辑状态。如：电平的高低、信号的有无、开关的闭合与打开、晶体管的饱和与截止等。逻辑代数中有三种基本运算，即与、或、非，也称逻辑乘、逻辑加和逻辑非。根据与、或、非三种基本运算规则，可导出逻辑运算的基本定律，如表5.5所示。2.三个基本规则利用代入规则、反演规则和对偶规则，可从表5.5中的基本定律导出更多的运算公式，从而扩充基本定律的使用范围。（1）代入规则对于任意一个含有变量A的等式，若将所有出现A的位置都用一个逻辑函数F代替，则等式仍然成立，这个规则称为代入规则。上一页下一页返回5.2逻辑函数的表示和化简

（2）反演规则根据摩根定理，求一个逻辑函数Y的反函数时，只需将Y中所有的“与”换成“或”（+）；“或”（+）换“与”，再将原变量换成反变量，反变量换成原变量；常量“0”换成“1”，“1”换成“0”，则得到的函数式就是。利用这一规则可方便地求得任一逻辑函数的反函数。运用反演规则时，不是一个变量上的反号应保持不变。上一页下一页返回5.2逻辑函数的表示和化简

（3）对偶规则对偶式：对任一逻辑函数Y，如果将Y中的“与”换成“或”，“或”换成“与”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，变量不变，得到一个逻辑函数式Y′，Y′称为Y的对偶式。对偶规则：若两个逻辑函数相等，如Y=F，则它们的对偶式也相等，即Y′=F′。上一页下一页返回5.2逻辑函数的表示和化简

5.2.2逻辑函数的表示方法一个实际的逻辑问题，往往有多个输入变量，以及一个或多个输出变量，逻辑函数就是用来描述这些输出变量和输入变量之间的逻辑关系的。逻辑函数一般可以用5种方法来表示：逻辑表达式、真值表、逻辑图、卡诺图和波形图。上一页下一页返回5.2逻辑函数的表示和化简

5.2.3逻辑函数的化简一个逻辑函数可以有多种不同形式的表达式，如与或表达式、或与表达式、与非表达式、或非表达式、与或非表达式等。仍以同或逻辑关系作为例子表示如下：上一页下一页返回5.2逻辑函数的表示和化简

其中与或表达式和与非表达式是比较常见的，而与或表达式是最常用的。由于与或表达式比较容易同其他表达式形式相互转换，所以化简逻辑函数时通常化为最简的与或表达式形式。最简与或表达式的标准是：①与项的项数最少；②各与项中变量个数也最少。逻辑函数的化简方法，常用的有公式化简法和卡诺图化简法。公式化简法的具体方法有合并项法、配项法、吸收法和添加项法等。1.公式化简法（1）合并项法利用逻辑代数的基本运算规则0−1律、互补律等，合并两项，可消去一个变量。上一页下一页返回5.2逻辑函数的表示和化简

（2）配项法将某一项乘以后展开成为两项，再与其他项合并，达到化简目的。（3）吸收法利用表5.5中原变量吸收律A+AB=A，反变量吸收律及混合变量吸收律消去多余项。（4）添加项法利用重叠律A+A=A，在表达式中加入相同的项，然后分别合并化简。上一页下一页返回5.2逻辑函数的表示和化简

（1）最小项上一页下一页返回5.2逻辑函数的表示和化简

（2）用最小项表示逻辑函数最小项的个数与真值表的行数相同，因此可以将真值表内输出变量与输入变量的对应关系用卡诺图表示。二、三变量的卡诺图如图5.7和图5.8所示。表格的上方和左方标明输入变量取值组合的情况，方格内填入输出变量的取值（“0”或“1”）。四变量的卡诺图如图5.9所示，图中只标出了最小项编号。上一页下一页返回5.2逻辑函数的表示和化简

卡诺图的构造规则为：①n变量卡诺图有2n个小方格，图中每一个小方格对应一个输入变量的最小项。②任意相邻的两个小方格，其输入变量的取值只能有一位不同，且这一位不同是互相取“反”的，这一点称为逻辑相邻性，由此可以将卡诺图看成是一个球面的展开图。例如，图5.8中的最小项m0和m1、m0和m4，分别为左右、上下的关系，称为几何相邻；而图5.9中的最小项m0和m2位于一行的两端，m0和m8位于一列的两端，称为对称相邻。几何相邻和对称相邻统称为逻辑相邻。上一页下一页返回5.2逻辑函数的表示和化简

图5.8方格上方和图5.9方格上方和左边输入变量的取值组合依次为：00，01，11，10，它们不是按照相应的二进制数大小的顺序排列，而是依据卡诺图逻辑相邻性的构成规则，以保证其化简的结果。（3）用卡诺图表示逻辑函数先将逻辑函数Y表示成最小项之和，再根据最小项编号找到相应的小方格，填入对应的输出值。另一种方法是列出逻辑函数的真值表，再用同样方法填入卡诺图。卡诺图的左边和上边为输入变量的取值，内部为输出变量Y与2n个最小项相对应的取值。对某一逻辑函数来说，由于用最小项表示的标准与或表达式是唯一的，所以卡诺图也是唯一的。上一页下一页返回5.2逻辑函数的表示和化简

（4）卡诺图化简法利用逻辑代数中的互补律，将卡诺图中逻辑相邻的两个输出为“1”的方格合并，即可消去一个变量。这种利用卡诺图对逻辑函数进行化简的方法称为卡诺图化简法。上一页下一页返回5.2逻辑函数的表示和化简

①化简步骤：上一页下一页返回5.2逻辑函数的表示和化简

（5）利用约束项进行化简由于外界条件的限制，某些输入变量取值的组合不可能出现，它们对应的最小项称为约束项或任意项。约束项用φ表示（或