第1课时勾股定理的逆定理课件2025-2026学年人教版八年级数学下册

第二十章勾股定理20.2勾股定理的逆定理及其应用第1课时勾股定理的逆定理目录1.学习目标4.知识点1 勾股定理的逆定理6.课堂小结3.新课导入7.当堂小练CONTENTS8.对接中考9.拓展与延伸2.知识回顾5.知识点2 勾股数1.能从勾股定理出发，构建直角三角形，探究勾股定理的逆定理，感悟构建图形证明定理的新方法，增强几何直观，提升推理能力.2.掌握勾股定理的逆定理，会用其判断一个三角形是不是直角三角形.3.了解勾股数，会判断三个数是不是勾股数，并能用勾股数进行简单的计算和证明，发展运算能力.学习目标知识回顾

ACBabc条件：直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c.

勾股定理：新课导入思考同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗?据说，古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.新课讲解知识点1勾股定理的逆定理上述方法意味着：如果围成三角形的三边长分别为3，4，5，它们满足关系“32+42=52

”，那么围成的三角形是直角三角形.一般地，满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方的三角形是不是直角三角形呢？新课讲解观察画一画，如果三角形的三边长分别为2.5cm，6cm，6.5cm，它们满足关系“2.5²+6²=6.5²”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边长分别为4cm，7.5cm，8.5cm，再试一试.新课讲解由上面的尝试，我们猜想：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形.这个猜想就是勾股定理的逆命题.怎么证明这个猜想呢？如图1，已知△ABC的三边长分别为a，b，c，满足a²+b²=c².求证△ABC是直角三角形.分析：直接证明△ABC是直角三角形比较困难.回顾已经学过的知识，可以作一个两条直角边长分别为a，b的直角三角形，如果能证明△ABC与所作的直角三角形全等，那么就能证明△ABC是直角三角形.ABCcab图1新课讲解如图1，已知△ABC的三边长分别为a，b，c，满足a²+b²=c².求证△ABC是直角三角形.证明：如图2，作一个Rt△A'B'C'，使B'C'=a，A'C'=b，∠C'=90°.根据勾股定理，A'B'²=B'C'²+A'C'²=a²+b².因为a²+b²=c²，所以A'B'=c.在△ABC

和△A'B'C'中，BC=a=B'C'，AC=b=A'C'，AB=c=A'B'，∴△ABC

≌△A'B'C'(SSS).∴∠C=∠C'=90°，即△ABC

是直角三角形.ABCcab图1C′B′A′abc图2新课讲解勾股定理逆定理：这样，我们证明了勾股定理的逆命题是正确的，它也是一个定理.这个定理叫作勾股定理的逆定理.它是判定直角三角形的一个依据.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形.

注意新课讲解例1.判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：(1)a=8，b=15，c=17；(2)a=14，b=13，c=15.分析：根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要判断两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.解：(1)因为8²+15²=64+225=289，17²=289，所以8²+15²=17².根据勾股定理的逆定理，由线段

a，b，c

组成的三角形是直角三角形.(2)因为14²+13²=196+169=365，15²=225，所以14²+13²≠15².根据勾股定理，由线段

a，b，c组成的三角形不是直角三角形.新课讲解利用边的关系判定直角三角形的步骤1.找：找出三角形三边中的最长边；2.算：计算其他两边的平方和与最长边的平方；2.判：若两者相等，则这个三角形是直角三角形，否则不是.新课讲解例

已知比例式，设参数，表示边长

已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形.归纳新课讲解拓展直角三角形的判定方法1.用角判定：①(定义法)有一个角为90°的三角形是直角三角形；②(判定定理)有两个角互余的三角形是直角三角形；2.用边判定：勾股定理的逆定理.归纳设三角形的三边长分别为a，b，c(c为最长边的长).1.如果a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形；2.如果a2＋b2＜c2，那么这个三角形是钝角三角形；3.如果a2＋b2＞c2，那么这个三角形是锐角三角形.新课讲解练一练1.判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形.如果是，请指出哪个角是直角.(1)在△ABC

中，AB=15，BC=20，AC=25；(2)在△ABC

中，AB=14，BC=2，AC=15；(3)在△ABC

中，a=m²-n²，b=2mn，c=m²+n²(m>n>0).解：(1)∵AB²+BC²=15²+20²=625，AC²=25²=625，∴AB²+BC²=AC²，∴这个三角形是直角三角形，∠B

是直角.(2)∵AB²+BC²=14²+2²=200，AC²=15²=225，∴AB²+BC²≠AC²，∴这个三角形不是直角三角形.(3)在△ABC

中，∵a²+b²=(m²-n²)²+(2mn)²=

m4+2m²n²+n4，c²=(m²+n²)²=m4+2m²n²+n4，∴a²+b²=c²，∴这个三角形是直角三角形，∠C

是直角.新课讲解练一练2.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，那么下面不能判定△ABC是直角三角形的是()A.∠B＝∠C－∠AB.a2＝(b＋c)(b－c)C.∠A∶∠B∶∠C

＝5∶4∶3D.a∶b∶c＝5∶4∶3C新课讲解练一练

3.将直角三角形的三条边同时扩大3倍，得到的三角形是（）.A.锐角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.钝角三角形C将直角三角形的三边长扩大同样的倍数，则得到的三角形仍然是直角三角形.

归纳新课讲解

勾股定理与其逆定理的关系勾股定理勾股定理的逆定理条件在Rt△ABC

中，∠A，∠B，∠C

的对边长分别为a，b，c，∠C＝90.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2结论区别勾股定理以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到数量关系“”，即由“形”到“数”.勾股定理的逆定理以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”到“形”.联系新课讲解知识点2勾股数勾股数的概念：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即在a²+b²=c²中，当a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数.是一组勾股数9，40，4192+402=1

681412=1

68192+402=412两个较小数的平方和等于最大数的平方.新课讲解例3.给出下列数组：①5，13，12；②2，3，4；③2.5，6，6.5；④3²，4²，5².其中勾股数的组数是()A.4

B.3

C.2

D.1解：①∵5²+12²=13²，且5，12，13均是正整数，∴5，12，13是一组勾股数.

②∵2²+3²≠4²，∴2，3，4不是一组勾股数.③∵2.5，6，6.5不都是正整数，∴2.5，6，6.5不是一组勾股数.④∵3²=9，4²=16，5²=25，9²+16²≠25²，∴3²，4²，5²不是一组勾股数.D判断一组数是否为勾股数的步骤1.看：看是不是三个正整数；2.找：找最大数；3.算：计算最大数的平方与两个较小的数的平方和；4.判：若两者相等，则这三个数是一组勾股数，否则，不是一组勾股数.总结新课讲解归纳勾股数的特征1.常见的勾股数有：①3，4，5；②5，12，13；③6，8，10；④7，24，25；⑥8，15，17；⑦9，12，15；

⑧9，40，41；⑨10，24，26.2.勾股数有无数组.3.一般地，如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck(k为正整数)也是一组勾股数，如3，4，5是勾股数，则6，8，10和9，12，15也是勾股数.1.毕达哥拉斯发现的勾股数组：2n＋1，2n2＋2n，2n2＋2n＋1(n为正整数).当n＝2时，可以得到一组勾股数5，12，13.2.柏拉图发现的勾股数组：2m，m2－1，m2＋1(m>1且m是正整数).当m＝4时，可以得到一组勾股数8，15，17.拓展新课讲解练一练判断下列各组数是不是勾股数.(1)

8，12，16；(2)12，16，20；(3)0.9，1.2，1.5

(3)不是正整数，所以不是一组勾股数.课堂小结勾股定理的逆定理作用从三边数量关系判定一个三角形是否是直角三角形内容如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形勾股数能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即在

a²+b²=c²中，当a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数当堂小练

C当堂小练

2.已知一个三角形的三边长分别为15，20，25，则这个三角形的面积是多少？确定直角边！当堂小练

B当堂小练

对接中考1.已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B

为