第2课时勾股定理及其逆定理的综合应用课件2025-2026学年人教版八年级数学下册

第二十章勾股定理20.2勾股定理的逆定理及其应用第2课时勾股定理及其逆定理的综合应用目录1.学习目标3.知识点1 利用勾股定理及其逆定理解决边角面积问题5.课堂小结6.当堂小练CONTENTS7.对接中考8.拓展与延伸2.知识回顾4.知识点2 利用勾股定理及其逆定理解决实际问题能综合运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题，发展应用意识.学习目标知识回顾

ACBabc勾股定理逆定理：勾股定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形.新课讲解知识点1利用勾股定理及其逆定理解决边角面积问题1.如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6.求BC

的长.例

新课讲解例2.如图，社区有一块面积为500m2的正方形空地ACDE，空地的B处有一个凉亭，BC，AB为两条小路，现在△ABC内种植月季花，其余地方种植郁金香(小路的宽度不计)，测得AB＝10m，BC＝20m．(1)求正方形空地的边CD的长；(2)求∠ABC的度数；(3)求郁金香的种植面积．(2)∵AB＝10m，BC＝20m，∴AB2＝100，BC2＝400，∵AC2＝CD2＝500，∴AB2＋BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°.新课讲解练一练1.如图，学校在校园围墙边缘开垦了一块四边形菜地ABCD，测得AB＝9m，BC＝12m，CD＝8m，AD＝17m，且∠ABC＝90°，则这块菜地的面积是(

)A．48m2B．114m2C．122m2D．158m2B新课讲解练一练2.在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是________．新课讲解练一练90°新课讲解知识点2利用勾股定理及其逆定理解决实际问题例3.如图，港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile.它们离开港口1.5h后分别位于点Q，R处，且相距30nmile.如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？分析：在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果能求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了.12NEP

QR解：根据题意，PQ=16×1.5=24，PR=12×1.5=18，QR=30.因为24²+18²=30²，即PQ²+PR²=QR²，所以∠QPR=90°.由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1=45°.因此∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.新课讲解例4.如图，南北方向的领海线PQ以东为我国领海区域，以西为公海．某日22点30分，我边防反偷渡巡逻号艇A发现其正西方向有一可疑船只C正向我国的领海靠近，便立即通知正处于PQ上的巡逻艇B注意其动向.经观测，发现A艇与可疑船只C之间的距离为10nmile，A，B两艇之间的距离为6nmile，B艇与可疑船只C之间的距离为8nmile．若该可疑船只的航行速度为12.8nmile/h，则它最早在何时进入我国的领海区域？

新课讲解练一练1．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于A，B处，且相距20海里，已知甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船的航行方向是(

)A．北偏东50° B．北偏东45°C．南偏东50° D．南偏东60°A新课讲解练一练2.如图，某港口C在南北方向的海岸线上，甲、乙两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向匀速航行，已知甲、乙两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点A，B处，且相距26海里，如果知道甲船沿北偏西50°方向航行，那么乙船航行的方向为(

)A．南偏西40° B．北偏西40°C．南偏西50° D．北偏西50°A课堂小结勾股定理及其逆定理的综合应用应用解决实际问题认真审题，画出符合题意的图形，熟练运用勾股定理及其逆定理来解决问题.结合勾股定理解决面积、线段长、角度等问题.方法当堂小练1.如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，AB＝AD＝6，BC＝8，CD＝10，则∠ABC的度数为(

)A．105°B．120°C．135°D．150°D当堂小练不垂直2.一根电线杆高12m，为了安全起见，在电线杆顶部及与电线杆底部水平距离5m处之间加一根拉线．拉线工人发现所用线长为13．2m(不计捆缚部分)，则电线杆与地面________(填“垂直”或“不垂直”)．当堂小练3．如图是3×2的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，顶点称为格点.线段AB，CD的端点均在格点上，且交于点O，则∠BOD的度数为(

)A．30°B．45°C．50°D．60°解：如图，取格点E，连接AE，BE，易知AE∥CD，∴∠BAE＝∠BOD.由勾股定理得AB2＝12＋22＝5，EB2＝12＋22＝5，AE2＝12＋32＝10，∴AB2＋BE2＝AE2，AB＝BE.∴△ABE是等腰直角三角形．∴∠BAE＝45°.∴∠BOD＝45°.B当堂小练4.某探险队的A组从驻地O点出发，以12km/h的速度前进，同时B组也从驻地O点出发，以9km/h的速度向另一方向前进.2h后同时停下来，如图所示，这时A，B两组相距30km.此时，A，B两组行进的方向成直角吗？请说明理由.

OBA

当堂小练当堂小练证明：(1)连接BE，∵D是AB边的中点，DE⊥AB，∴DE垂直平分AB，∴AE＝BE.又∵AE2－CE2＝BC2，∴BE2－CE2＝BC2，即BE2＝BC2＋CE2，∴△BCE是直角三角形，且∠C＝90°.6.如图，在△ABC中，D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2－CE2＝BC2．(1)求证：∠C＝90°；(2)若DE＝6，BD＝8，求CE的长．当堂小练7.如图，汉江是长江最大的支流，它流经美丽的荆门，汉江一侧有一村庄C，江边原有两个观景台A，B，其中AB＝AC，现建设美丽乡村，决定在汉江边新建一个观景台H(点A，H，B

在同一条直线上)，并新修一条路CH，测得BC＝6km，CH＝4.8km，BH＝3.6km．(1)CH是不是从村庄C到江边的最短路线？请通过计算加以说明；(2)求原来的路线AC的长．解：(1)CH是从村庄C到江边的最短路线．理由如下：在△CHB中，BC＝6km，CH＝4.8km，BH＝3.6km，∴CH2＋BH2＝4.82＋3.62＝36，BC2＝36.∴CH2＋BH2＝BC2.因此CH⊥AB，即CH是从村庄C到河边的最短路线．(2)设AC＝AB＝xkm，则AH＝(x－3.6)km.在Rt△ACH中，由勾股定理得AC2＝AH2＋CH2，∴x2＝(x－3.6)2＋4.82，解得x＝5.因此原来的路线AC的长为5km.当堂小练8.“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级(1)班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．(1)求风筝的垂直高度CE；

(2)如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？15251.6?解：(1)在Rt△CDB中，由勾股定理得，CD2=BC2-BD2=252-152=400，∴CD=20（负值舍去），∴CE=CD+DE=20+1.6=21.6（米），答：风筝的高度CE为21.6米.

M对接中考A对接中考2.如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝60°，点P为△ABC内一点，将CP绕点C顺时针旋转60°得到CD，连接AD．若PA＝10，PB＝6，PC＝8时，则∠BPC=

度．解：连接DP，由旋转得∠DCP＝60°＝∠ACB，CD＝CP，∴∠ACB－∠ACP＝∠DCP－∠ACP，即∠ACD＝∠BCP.又∵AC＝BC，∴△ACD≌△BCP，∴∠BPC＝∠ADC，AD＝PB＝6.∵∠DCP＝60°，CD＝CP，∴△DCP是等边三角形，∴∠CDP＝60°，DP＝CP＝8.∵AP＝10，∴AD2＋DP2＝AP2，∴△ADP是直角三角形，且∠ADP＝90°，∴∠ADC＝∠ADP＋∠CDP＝150°，∴∠BPC的度数为150°.150拓展与延伸1.某市夏季经常会出现台风天气，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，与A，B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，且AB＝500km．根据实测数据，在台风中心半径260km范围内的地区会受到台风影响．(1)海港C受台风影响吗？为什么？(2)若台风中心的移动速度不变，该海港受台风影响持续8h，求台风中心的移动速度．拓展与延伸2．随着中国科技、经济的不断发展，5G信号的覆盖的广泛性和稳定性都有更好的表现．如图，有一辆汽车沿直线AB方向，由点A向点B行驶，已知点C为某个5G信号源，且点C到点A和点B的距离分别为60m和80m，且AB＝100m，信号源中心周围50m及以内可以接收到5G信号．(1)汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到5G信号吗？为什么？解：汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到5G信号．理由如下：过点