北京市房山区2025-2026学年高二年级下学期期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市房山区2025-2026学年高二年级下学期期中数学试题一、选择题：本大题共10小题，共50分。1.已知等比数列an的通项公式为an=−3×2n−1，则数列aA.−3 B.−2 C.2 D.32.已知数列an是等差数列，若a2=7，a3+aA.13 B.14 C.15 D.163.已知数列an的前n项和Sn=n2+2n−1A.an=2n−1 B.an=2n

C.4.下列求导运算错误的是(

)A.x+lnx′=1+1x B.e5.已知函数fx的定义域为R，它的导函数f′x的图象如图所示.则下列结论中正确的是(

)

A.函数fx在−∞,1上单调递减

B.0是函数fx的极小值点

C.2是函数fx的极大值点

D.函数fx在6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人第四天走的路程为(

)A.12里 B.24里 C.36里 D.48里7.已知函数fx=x3−3x−a在−∞,+∞上有3个不同的零点，则实数A.−2,2 B.−∞,−2 C.2,+∞ D.2,+∞8.已知等差数列{an}的首项为a1，公差d≠0.则“a1A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.已知定义在R上的函数fx满足fx+f′x>1，f0A.−∞,0 B.0,+∞ C.R D.⌀10.谢尔宾斯基垫片(Sierpinski Gasket)是一种分形图形，其构造过程如下：①从一个边长为1的等边三角形开始；②将三角形分成4个全等的等边三角形，去掉中间的三角形，完成一次操作；③对剩下的3个三角形重复步骤②；设第n次操作后，剩下的所有小三角形的周长之和为Pn，面积之和为S下列结论错误的是(

)

A.经过n次操作，可以使得Sn<12025 B.经过n次操作，可以使得Pn>2025

C.经过n次操作，可以使得S二、填空题：本大题共5小题，共25分。11.若函数f(x)=x+sinx，则f′(x)=

．12.已知函数fx=x3−x+1，则lim13.已知等差数列an的前n项和为Sn，首项与公差分别为a1，d，则满足a3=S5的一组a1，d的取值是a114.若函数f(x)=13x3−ax215.某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1千克莲藕，成本增加1元.种植x万千克莲藕的销售额(单位：万元)是f(x)=−1植莲藕

万千克．三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.对于数列an，令Tn①若an=n，则②若Tn=n，则③存在各项均为整数的数列an，使得Tn>④若对任意的n∈N∗，都有Tn其中正确结论的序号是

．17.已知函数fx=(1)若f0=2，求曲线y=fx(2)在(1)的条件下，求函数fx的单调递减区间．18.已知等差数列an满足a1+a(1)求数列an(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得数列bn为等比数列，并求此时数列bn的前n项和条件①：bn条件②：bn条件③：b1=a注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分．19.已知数列an满足a1=1，an+1(1)当a2=2时，求λ及(2)当λ=2时，求数列an的通项公式．20.已知函数f(x)=x−1+aex．

(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；

(2)求f(x)的极值；

(3)当a=1时，曲线y=f(x)与直线y=kx−1没有公共点，求k的取值范围．21.在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“Z拓展”.如数列1，2，第1次“Z拓展”后得到数列1，3，2，第2次“Z拓展”后得到数列1，4，3，5，2.设数列a，b，c经过第n次“Z拓展”后所得数列的项数记为Pn，所有项的和记为Sn(1)求P1，S(2)若Pn≥2026，求(3)是否存在实数a，b，c，使得数列Sn为等比数列？若存在，求a，b，c满足的关系式；若不存在，说明理由．

参考答案1.A

2.C

3.D

4.D

5.D

6.B

7.A

8.C

9.B

10.C

11.1+cosx

12.11

13.−2

；

；；1/答案不唯一，只需满足a1=−2d14.[−1,1]

15.5

16.①②④

17.解：(1)因为f0=2，所以f(0)=a=2，因此函数为所以f′(x)=3x2−3，f′(1)=3−3=0，f(1)=1−3+2=0所以切线方程为y−0=0x−1，即(2)由(1)知a=2，f(x)=x3−3x+2，函数的定义域为R当−1<x<1时，f′x所以函数f(x)的单调递减区间为(−1,1)．

18.解：(1)设等差数列{an}的公差为d由等差数列性质得：a10−a又a1+a因此通项公式为：an=3+n−1(2)选条件②：bn=an2选条件①：bn=2an，代入a因此{bn}是首项b由等比数列前n项和公式：Sn选条件③：b1=a2,综上所述，选条件①：Sn=2n+3−8选条件③：不能判断数列bn

19.解：(1)a2=1+λ(2)当λ=2时，an+1=n+2当n≥2时，an所以ana1=n+1经检验a1=1符合，所以

20.解：(1)f(x)=x−1+aex.求导，f′(x)=1+aex．

由f′(1)=0，1+ae=0，解得：a=−1e，

∴a的值−1e；

(2)当a≥0，f′(x)>0恒成立，则f(x)在R上是增函数，无极值；

当a<0时，令f′(x)=0，则ex=−1a，x=ln(−1a)，

x<ln(−1a)，f′(x)>0；当x>ln(−1a)，f′(x)<0，

∴f(x)在(−∞,ln(−1a))上单调递增，在(ln(−1a),+∞)单调递减，

f(x)在x=ln(−1a)处取极大值，且极大值f(ln(−1a))=−ln(−a)−2，无极小值；

(3)当a=1时，21.解：(1)第1次“Z拓展”后得到数列为a，a+b，b，b+c，c，所以P1第2次“Z拓展”后得到数列为a，2a+b，a+b，a+2b，b，2b+c，b+c，b+2c，c，所以S=5a+9b+5c；(2)根据题意，每次“Z拓展”都是在现有数列的相邻两项之间插入一项，所以Pn+1=2P所以数列Pn−1为以P1所以Pn−1=4⋅2n−1=2解得n≥log22025−1所以10<log22025<11，9<lo所以Pn