《函数的表示法》课件

第三章

函数的概念与性质3.1

函数的概念及其表示3.1.2

函数的表示法丨必备知识解读知识点1

函数的表示法

（2）用列表法表示此函数；【解析】列表如下.1234519710068.35344.267891038.73532.530.829.6111213141528.828.328.12828.1161718192028.328.528.929.329.8注：表中的部分数据是近似值．

图3.1.2-2（本题中函数的定义域是不连续的，因此作图时应注意函数图象是一些点，而不是曲线）知识点2

分段函数

函数图象如图3.1.2-3所示.图3.1.2-3

知识点3

函数的图象变换图3.1.2-4

AA.

B.

C.

D.

方法帮丨关键能力构建题型1

求函数的解析式

【学会了吗|变式题】

【学会了吗|变式题】

C

图3.1.2-5

月份水费/元1992151932233

题型2

分段函数

B

【学会了吗|变式题】

C

A

图3.1.2-6

题型3

函数图象的相关问题

CA.

B.

C.

D.

【学会了吗|变式题】

BA.

B.

C.

D.

例15

作出下列函数的图象：

图3.1.2-7

图3.1.2-8【学会了吗|变式题】

图3.1.2-9

图D

3.1.2-1

根据函数解析式作出函数图象，如图3.1.2-10所示.图3.1.2-10

B

图3.1.2-11

图3.1.2-12BA.

B.

C.

D.

图3.1.2-13

AA.

B.

C.

D.

图3.1.2-14DA.

B.

C.

D.

【解析】由题图可得，注水量与水深之间成正比例关系，因此随着水的深度变高，注水量也是均匀升高，故水瓶的形状是圆柱.【学会了吗|变式题】

CA.

B.

C.

D.

ACD

图3.1.2-15选项思维过程结论A成立B不成立C成立D成立高考帮丨核心素养聚焦考向

分段函数

图3.1.2-16

高考新题型专练

1234523423BCDA.2

B.3

C.4

D.5

BC

练习帮·习题课A

基础练

知识测评

CA.

B.

C.

D.

【解析】选项A中的值域不满足条件；选项B中的定义域不满足条件；选项D不是函数图象．故选C．

B图3.1.2-1123230A.3

B.2

C.1

D.0

D

A

ABC图3.1.2-2

ACDA.

B.

C.

D.

图D

3.1.2-2

图3.1.2-3【答案】图象如图D

3.1.2-3所示，图D

3.1.2-3B

综合练

高考模拟

123DA.0

B.1

C.2

D.3

D

A

图D

3.1.2-4

C

培优练

能力提升

图D

3.1.2-5

图D

3.1.2-6探究一列表法表示函数例1已知函数f(x),g(x)分别由下表给出:x123f(x)211x123g(x)321则f(g(1))=

;当g(f(x))=2时,x=

.

分析这是用列表法表示的函数求值问题,在解答时,找准变量对应的值即可.答案

1

1解析

由g(x)的对应表,知g(1)=3,∴f(g(1))=f(3).由f(x)的对应表,知f(3)=1,∴f(g(1))=f(3)=1.由g(x)的对应表,知当x=2时,g(2)=2.又g(f(x))=2,∴f(x)=2.又由f(x)的对应表,知当x=1时,f(1)=2.∴x=1.要点笔记

列表法表示函数的关注点列表法是表示函数的重要方法,这如同我们在画函数图象时所列的表,它的明显优点是自变量对应的函数值在表中可直接找到,不需要计算.延伸探究

在本例已知条件下,g(f(1))=

;当f(g(x))=2时,x=

.

答案

2

3解析

∵f(1)=2,∴g(f(1))=g(2)=2.∵f(g(x))=2,∴g(x)=1,∴x=3.探究二求函数的解析式例2(1)已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x);(2)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式;(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,求f(x).解

(1)(方法1)令x+1=t,则x=t-1.将x=t-1代入f(x+1)=x2-3x+2,得f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6,∴f(x)=x2-5x+6.(方法2)∵f(x+1)=x2-3x+2=x2+2x+1-5x-5+6=(x+1)2-5(x+1)+6,∴f(x)=x2-5x+6.(2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).∵f(0)=1,∴c=1,则f(x)=ax2+bx+1.∵f(x+1)-f(x)=2x对任意的x∈R都成立,∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,(3)∵对于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,∴将x替换为-x,得f(-x)+2f(x)=-3x-2,联立方程组消去f(-x),可得f(x)=-3x-.反思感悟

求函数解析式的四种常用方法(1)直接法(代入法):已知f(x)的解析式,求f(g(x))的解析式,直接将g(x)代入即可.(2)待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法求解,即由函数类型设出函数解析式,再根据条件列方程(或方程组),通过解方程(组)求出待定系数,进而求出函数解析式.(3)换元法(有时可用“配凑法”):已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”),即令g(x)=t,反解出x,然后代入f(g(x))中求出f(t),从而求出f(x).(4)解方程组法或消元法:在已知式子中,含有关于两个不同变量的函数,而这两个变量有着某种关系,这时就要依据两个变量的关系,建立一个新的关于两个变量的式子,由两个式子建立方程组,通过解方程组消去一个变量,得到目标变量的解析式,这种方法叫做解方程组法或消元法.探究三函数的图象及应用例3作出下列函数的图象,并求其值域:(1)y=1-x(x∈Z);(2)y=2x2-4x-3(0≤x<3).解

(1)因为x∈Z,所以函数图象为一条直线上的孤立点(如图1),由图象知,y∈Z.(2)因为x∈[0,3),所以函数图象是抛物线的一段(如图2),由图象知,y∈[-5,3).反思感悟

函数图象的作法及注意点(1)作函数图象最基本的方法是描点法:主要有三个步骤——列表、描点、连线.作图象时一般先确定函数的定义域,再在定义域内化简函数解析式,最后列表画出图象.(2)函数的图象可能是平滑的曲线,也可能是一群孤立的点,画图时要注意特殊点.如图象与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等,还要分清这些特殊点是实心点还是空心圈.如本题(1)中图象是由一些散点构成的,这里不能将其用平滑曲线连起来;(2)中描出两个端点及顶点,依据二次函数的图象特征作出函数图象,注意3不在定义域内,从而点(3,3)处用空心圈.变式训练2作出下列函数的图象,并写出其值域.(1)y=2x+1,x∈[0,2];(2)y=,x∈[2,+∞).解

(1)当x=0时,y=1;当x=1时,y=3;当x=2时,y=5.函数图象过点(0,1),(1,3),(2,5).图象如图所示.由图可知,函数的值域为[1,5].

素养形成平面几何中的函数问题典例

如图,在矩形ABCD中