山东省济南第三中学等2025-2026学年第二学期高一年级期中学情检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页山东省济南第三中学等2025-2026学年第二学期高一年级期中学情检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=2−i1−i(i为虚数单位)，则z的虚部为A.12 B.−12 C.12.下列命题正确的是(

)A.三个点可以确定一个平面

B.一条直线和一个点可以确定一个平面

C.两条直线可以确定一个平面

D.长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体3.在▵ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=32，c=3，C=30∘，则A.30∘ B.45∘ C.454.圆锥SO的轴截面是面积为43的等边三角形，则该圆锥的侧面积为(

)A.32π B.16π C.8π D.4π5.已知平面向量a=1,0，b=2,2，则向量a在bA.12b B.14b C.6.在▵ABC中，若a=1，cosA=154，b=2A.0个 B.1个 C.2个 D.不确定7.如图，▵ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则BE=(

)

A.56AB+16AC B.−8.图1为迪拜世博会中国馆，建筑名为“华夏之光”，外观取自中国传统灯笼，寓意希望和光明.它的形状可视为内外两个同轴圆柱.某爱好者制作了一个迪拜世博会中国馆的实心模型(如图2)，已知模型内层底面直径为12cm，外层底面直径为16cm，且内外层圆柱的底面圆周都在同一个球面上.若该模型的表面积为368πcm2，则此模型外接球的体积为

A.400πcm3 B.4000π3cm3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z=a−i3+2ia∈R的实部为−1，则下列说法正确的是A.复数z的虚部为−5 B.z在复平面内对应的点位于第三象限

C.z=26 D.复数10.已知向量a，b满足a=(1,2)，b=(4,−2)，则下列结论正确的是(

)A.a⊥b

B.b=2a

C.存在非零实数λ，使得a+λb//a11.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，已知M，N，P分别是棱C1D1，AA1，A.PQ//平面ADD1A1

B.若Q，M，N，P四点共面，则λ=14

C.若λ=13，点F在侧面BB1C1C内，且A1F//平面APQ，则点F的轨迹长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(3,1),b=(1,1),c=a+kb，若13.如图，▵O′A′B′是水平放置的▵OAB的直观图，则▵OAB的周长为14.如图，在平面四边形ABCD中，AB=5，BC=3，CD=4，∠ABC=∠BCD=120∘，则AC=

，四边形ABCD的面积为

．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知复数z=m(1)若z为纯虚数，求m的值；(2)若z为实数，求m的值；(3)若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围．16.(本小题15分)如图所示，在四棱锥P−ABCD中，BC//平面PAD，BC=12AD，(1)求证：BC//AD；(2)求证：CE//平面PAB；17.(本小题15分)

如图，已知正方形ABCD的边长为2，F为BC的中点，AE=λAB(0≤λ≤1)．(1)若DE⊥AF，求λ的值;(2)求DE⋅FE18.(本小题17分)已知△ABC为锐角三角形，a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且bcos(1)求A;(2)若b+c=5，△ABC的面积为332，求(3)若a=1，求△ABC周长的取值范围．19.(本小题17分)如图1，设半圆的半径为2，点B,C三等分半圆，P，M，N分别是OA，OB，OC的中点，将此半圆以OA为母线卷成一个圆锥(如图2).在图2中完成下列各题．(1)求在圆锥中的线段MN的长；(2)求四面体ACMN的体积；(3)若D是AN的中点，在线段OB上是否存在一点E，使得DE//平面ABC?若存在，求OEEB的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．

参考答案1.A

2.D

3.C

4.C

5.B

6.C

7.B

8.B

9.ABC

10.ABD

11.ACD

12.0

13.10+214.7

；

；

；

；

；；4715.解：(1)因为z=m2−1+解得：m=1；

(2)若z为实数，则m2解得：m=0或m=−1；

(3)z所对应的点在第二象限，则m2−1<0解得：0<m<1．

故m的取值范围为(0,1)．

16.证明：

(1)在四棱锥P−ABCD中，BC//平面PAD，BC⊂平面ABCD，

平面ABCD∩平面PAD=AD，

∴BC//AD．

(2)取PA的中点F，连接EF，BF，

∵E是PD的中点，

则EF为△PAD的中位线，

∴EF//AD，EF=12AD．

又由(1)可得BC//AD，且BC=12AD，

∴BC//EF，BC=EF，

∴四边形BCEF是平行四边形，

∴CE//BF，

∵CE⊄平面PAB，BF⊂平面PAB17.解：(1)如图所示，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，

则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，E(2λ,0)，F(2,1)，

所以DE=(2λ,−2)，AF=(2,1)，

因为DE⊥AF，

则DE⋅AF=4λ−2=0，解得λ=12；

(2)由(1)知，DE=(2λ,−2)，FE=(2λ−2,−1)，

则DE⋅FE=2λ(2λ−2)+2=4λ2−4λ+2=4(λ−18.解：(1)在△ABC中，因为2acosA=ccosB+bcosC，

所以2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC，

即2sinAcosA=sin(C+B)=sin(π−A)=sinA，

因为A∈(0,π)，所以sinA>0，故cosA=12，

则A=π3;

(2)因为△ABC的面积为332，

即12bcsinA=12×b×c×sinπ3=332，所以bc=6，

由余弦定理得

a219.解：(1)在图2中，设圆锥的底面圆半径为r，则2πr=12×2×2π因为在图1中，点B、C三等分半圆，所以在图2中，点B、C为圆锥的底面圆周的三等分点，所以▵ABC为等边三角形，所以BCsin60又因为点M、N分别是OB、OC的中点，所以MN=1(2)S圆锥的高h=所以VO−ABC所以VM−ACN即四面体ACMN的体积为316(3)在线段OB上存在点E，且OEEB=3，使得DE//平面理由如下：如图，取AC的中点F，且D是AN