高三数学一轮复习课时作业第六章第四节推理与证明

课时作业A组——基础对点练1．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．答案：A2．(2018·重庆检测)演绎推理“因为对数函数y＝logax(a>0且a≠1)是增函数，而函数是对数函数，所以是增函数”所得结论错误的原因是()A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误 D．大前提和小前提都错误解析：因为当a>1时，y＝logax在定义域内单调递增，当0<a<1时，y＝logax在定义域内单调递减，所以大前提错误．故选A.答案：A3．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于()A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)解析：由所给等式知，偶函数的导数是奇函数．∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，从而g(x)是奇函数．∴g(－x)＝－g(x)．答案：D4．(2018·丹东联考)已知“整数对”按如下规律排列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第70个“整数对”为()A．(3,9) B．(4,8)C．(3,10) D．(4,9)解析：因为1＋2＋…＋11＝66，所以第67个“整数对”是(1,12)，第68个“整数对”是(2,11)，第69个“整数对”是(3,10)，第70个“整数对”是(4,9)．故选D.答案：D5．(2018·山西质量监测)对累乘运算∏有如下定义：eq\i\pr(k＝1,n,a)k＝a1×a2×…×an，则下列命题中的真命题是()A.eq\i\pr(k＝1,1007,2)k不能被10100整除B.eq\f(\i\pr(k＝1,2015,)4k－2,\i\pr(k＝1,2014,)2k－1)＝22015C.eq\i\pr(k＝1,1008,)(2k－1)不能被5100整除D.eq\i\pr(k＝1,1008,)(2k－1)eq\i\pr(k＝1,1007,2)k＝eq\i\pr(k＝1,2015,k)解析：因为eq\i\pr(k＝1,1008,)(2k－1)eq\i\pr(k＝1,1007,2)k＝(1×3×5×…×2015)×(2×4×6×…×2014)＝1×2×3×…×2014×2015＝eq\i\pr(k＝1,2015,k)，故选D.答案：D6．已知13＋23＝(eq\f(6,2))2,13＋23＋33＝(eq\f(12,2))2,13＋23＋33＋43＝(eq\f(20,2))2，…，若13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3025，则n＝()A．8 B．9C．10 D．11解析：13＋23＝(eq\f(6,2))2＝(eq\f(2×3,2))2，13＋23＋33＝(eq\f(12,2))2＝(eq\f(3×4,2))2，13＋23＋33＋43＝(eq\f(20,2))2＝(eq\f(4×5,2))2，……由此归纳可得13＋23＋33＋43＋…＋n3＝[eq\f(nn＋1,2)]2，因为13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3025，所以[eq\f(nn＋1,2)]2＝3025，所以n2(n＋1)2＝(2×55)2，所以n＝10，故选C.答案：C7．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a”索的因应是()A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0解析：由a>b>c，且a＋b＋c＝0得b＝－a－c，a>0，c<0.要证eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a，只要证(－a－c)2－ac<3a2，即证a2－ac＋a2－c2>0，即证a(a－c)＋(a＋c)(a－c)>0，即证a(a－c)－b(a－c)>0，即证(a－c)(a－b)>0.故求证“eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a”索的因应是(a－c)(a－b)>0.故选C.答案：C8．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是()①y＝cosx(x∈R)是三角函数；②三角函数是周期函数；③y＝cosx(x∈R)是周期函数．A．①②③ B．②①③C．②③① D．③②①解析：根据“三段论”：“大前提”→“小前提”⇒“结论”可知：①y＝cosx(x∈R)是三角函数是“小前提”；②三角函数是周期函数是“大前提”；③y＝cosx(x∈R)是周期函数是“结论”．故“三段论”模式排列顺序为②①③.故选B.答案：B9．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，则△ABC的内切圆半径为r＝eq\f(2S,a＋b＋c).将此结论类比到空间四面体：设四面体SABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，体积为V，则四面体的内切球半径为r＝()A.eq\f(V,S1＋S2＋S3＋S4) B．eq\f(2V,S1＋S2＋S3＋S4)C.eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4) D．eq\f(4V,S1＋S2＋S3＋S4)解析：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为：V＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)r，所以r＝eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4).答案：C10．袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则()A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多解析：若袋中有两个球，则红球、黑球各一个，若红球放在甲盒，则黑球放在乙盒，丙盒中没有球，此时乙盒中黑球多于丙盒中黑球，乙盒中黑球比丙盒中红球多，故可排除A、D；若袋中有四个球，则红球、黑球各两个，若取出两个红球，则红球一个放在甲盒，余下一个放在乙盒，再取出余下的两个黑球，一个放在甲盒，则余下一个放在丙盒，所以甲盒中一红一黑，乙盒中一个红球，丙盒中一个黑球，此时乙盒中红球比丙盒中红球多，排除C；故选B.答案：B11．在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和．那么这四名同学按阅读量从大到小排序依次为__________．解析：因为甲、丙阅读量之和等于乙、丁阅读量之和，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，所以乙的阅读量大于丙的阅读量，甲的阅读量大于丁的阅读量，因为丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和，所以这四名同学按阅读量从大到小排序依次为甲、丁、乙、丙．答案：甲、丁、乙、丙B组——能力提升练1．观察下列算式：21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32,26＝64,27＝128,28＝256，…，用你所发现的规律得出22018的末位数字是()A．2 B．4C．6 D．8解析：通过观察可知，末位数字的周期为4,2018÷4＝504……2，故22018的末位数字为4.故选B.答案：B2．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28 B．76C．123 D．199解析：记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.答案：C3．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.学生序号12345678910立定跳远(单位：米)1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳绳(单位：次)63a7560637270a－1b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则()A．2号学生进入30秒跳绳决赛B．5号学生进入30秒跳绳决赛C．8号学生进入30秒跳绳决赛D．9号学生进入30秒跳绳决赛解析：由数据可知，进入立定跳远决赛的8人为1～8号，所以进入30秒跳绳决赛的6人从1～8号里产生．数据排序后可知3号，6号，7号必定进入30秒跳绳决赛，则得分为63，a,60,63，a－1的5人中有3人进入30秒跳绳决赛．若1号，5号学生未进入30秒跳绳决赛，则4号学生就会进入决赛，与事实矛盾，所以1号，5号学生必进入30秒跳绳决赛．故选B.答案：B4．(2018·武昌区调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是________．解析：由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．答案：乙5．“求方程(eq\f(3,5))x＋(eq\f(4,5))x＝1的解”有如下解题思路：设f(x)＝(eq\f(3,5))x＋(eq\f(4,5))x，则f(x)在R上单调递减，且f(2)＝1，所以原方程有唯一解x＝2.类比上述解题思路，方程x6＋x2＝(x＋2)3＋(x＋2)的解集为________．解析：令f(x)＝x3＋x，则f(x)是奇函数，且为增函数，由方程x6＋x2＝(x＋2)3＋x＋2得f(x2)＝f(x＋2)，故x2＝x＋2，解得x＝－1,2，所以方程的解集为{－1,2}．答案：{－1,2}6．观察下列等式：1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(1,2)n(n＋1)；1＋3＋6＋…＋eq\f(1,2)n(n＋1)＝eq\f(1,6)n(n＋1)(n＋2)；1＋4＋10＋…＋eq\f(1,6)n(n＋1)(n＋2)＝eq\f(1,24)n(n＋1)(n＋2)·(n＋3)；……可以推测，1＋5＋15＋…＋eq\f(1,24)n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＝________.解析：根据式子中的规律可知，等式右侧为eq\f(1,5×4×3×2×1)n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)＝eq\f(1,120)n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)．答案：eq\f(1,120)n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)7．已知数列{bn}满足3(n＋1)bn＝nbn＋1，且b1＝3.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)已知eq\f(an,bn)＝eq\f(n＋1,2n＋3)，求证：eq\f(5,6)≤eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an)<1.解析：(1)因为3(n＋1)bn＝nbn＋1，所以eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(3n＋1,n).因此，eq\f(b2,b1)＝3×eq\f(2,1)，eq\f(b3,b2)＝3×eq\f(3,2)，eq\f(b4,b3)＝3×eq\f(4,3)，…，eq\f(bn,bn－1)＝3×eq\f(n,n－1)，上面式子累乘可得eq\f(bn,b1)＝3n－1×n，因为b1＝3，所以bn＝n·3n.(2)证明：因为eq\f(an,bn)＝eq\f(n＋1,2n＋3)，所以an＝eq\f(nn＋1,2n＋3)·3n.因为eq\f(1,an)＝eq\f(2n＋3,nn＋1)·eq\f(1,3n)＝eq\f(3n＋1－n,nn＋1)·eq\f(1,3n)＝(eq\f(3,n)－eq\f(1,n＋1))eq\f(1,3n)＝eq\f(1,n)·eq\f(1,3n－1)－eq\f(1,n＋1)·eq\f(1,3n)，所以eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an)＝(1·eq\f(1,30)－eq