青岛版小学数学五年级下册《公因数与最大公因数》练习课教学设计

青岛版小学数学五年级下册《公因数与最大公因数》练习课教学设计

一、课程理念与设计思路

（一）指导思想

本节课以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为指导，立足于发展学生核心素养，聚焦于“数感”、“推理意识”、“模型意识”和“应用意识”的培养。教学设计超越单纯的技能训练，旨在引导学生深度理解公因数与最大公因数的数学本质、内在联系及其广泛的应用价值。通过创设结构化、层次化、生活化与探究性的学习任务，促进学生对概念的理解从“记忆”走向“建构”，从“孤立”走向“关联”，从“接受”走向“发现”，实现数学思维的进阶与迁移。

（二）内容解析

本课是学生在学习了因数、倍数概念，掌握了找一个数的因数的方法，并初步理解了公因数与最大公因数定义及寻找方法（列举法、筛选法）之后的一节专题练习课。其核心价值在于：一是巩固和深化概念理解，厘清因数、公因数、最大公因数之间的层级关系；二是熟练和优化方法，引导学生根据具体情境和数据特点，灵活、简洁地求出两个数的最大公因数；三是拓展应用视野，将抽象概念与解决实际问题、探索数学规律相结合，体会数学的工具性与思想性。本课的重点是灵活运用方法求最大公因数，难点是理解最大公因数在解决实际问题中的模型意义，并能根据实际情况进行合理解释与调整。

（三）学情分析

五年级学生已经具备了较强的自主探究与合作交流能力，逻辑思维正从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡。在知识基础上，学生已经掌握了本节课所需的预备技能，但在认知上可能存在以下误区或薄弱点：一是对“公”的含义理解不深，容易遗漏公因数；二是方法运用僵化，不能根据数字特征选择合适方法；三是解决实际问题时，难以从问题情境中准确抽象出“求最大公因数”的模型，尤其是对“最长”、“最大”、“正好分完”等关键词的敏感性不足；四是对“互质数”、“倍数关系”等特殊情况下最大公因数的特点应用不灵活。因此，本课设计需针对性设置认知冲突和变式练习，引导学生在辨析、比较、应用中实现概念的深度内化和能力的综合提升。

（四）设计思路与创新

1.结构化练习体系：构建“概念辨析—基础巩固—综合应用—思维拓展”四阶练习体系，实现知识技能的螺旋上升。

2.情境任务驱动：摒弃机械题海，以“校园活动策划”、“艺术设计”、“生活优化”等系列真实或模拟情境串联练习，增强学习的目的性与趣味性。

3.思想方法渗透：贯穿“集合思想”（用韦恩图直观表示公因数）、“优化思想”（方法选择）和“模型思想”（实际问题数学化），提升数学思维品质。

4.跨学科视野融合：在应用环节，巧妙关联美术（构图）、体育（分组）、音乐（节奏）等领域的相关元素，展现数学的普遍联系，培养学生跨学科思考的意识。

5.差异化学习支持：设计分层任务和开放性挑战题，满足不同层次学生的发展需求，鼓励个性化表达与创新性解决方案。

二、学习目标

1.知识与技能目标：进一步理解公因数和最大公因数的意义，熟练掌握求两个数最大公因数的基本方法（列举法、筛选法），并能根据数字特点（如倍数关系、互质关系、一般关系）灵活选择简洁方法。能准确判断两个数的公因数及最大公因数。

2.过程与方法目标：经历在具体问题情境中分析、抽象、应用最大公因数概念解决问题的全过程，提升数学建模能力和解决问题能力。通过对比、归纳、概括等思维活动，感受方法的优化，发展推理意识和应用意识。

3.情感、态度与价值观目标：在解决实际问题的过程中，体会数学与生活的紧密联系，感受数学的实用价值和理性美。在小组合作探究中，乐于交流、敢于质疑，培养严谨求实的科学态度和合作共赢的学习精神。

三、教学重难点

1.教学重点：灵活、准确地求出两个数的公因数和最大公因数，并能运用其解决简单的实际问题。

2.教学难点：从现实问题中抽象出求最大公因数的数学模型，理解“最大公因数”在具体情境中的实际意义，并能对结果的合理性进行解释。

四、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（含互动练习、情境动画、思维导图）；实物投影仪；学习任务单（分基础版与挑战版）；小组活动卡片（含不同难度的实际问题）。

2.学生准备：复习公因数与最大公因数的概念及求法；直尺、彩笔；分组（4-6人一组，异质分组）。

五、教学过程实施

（一）课前诊断，激活旧知（预计时间：5分钟）

活动一：概念快问快答

教师通过课件快速呈现以下判断与填空，学生独立思考后，通过手势（如“√”、“×”手势）或简短口答集体反馈。

1.判断：因为12÷4=3，所以12是倍数，4是因数。（旨在辨析“因数倍数”描述的相对性）

2.判断：两个数的公因数一定比这两个数都小。（制造认知冲突，引出互质数、倍数关系等特例）

3.填空：16的因数有（），24的因数有（）。16和24的公因数有（），最大公因数是（）。（回顾列举法基本步骤）

4.快速说出下面每组数的最大公因数：（7，13）、（18，54）、（1，25）。（聚焦特殊情况的快速判断：互质数、倍数关系、与1的最大公因数）

教师根据学生反馈，即时点评，重点澄清误区：因数倍数的相互依存关系；公因数可以等于其中一个数（当两个数是倍数关系时）或等于1（互质时）；强调“公”即“共有”。

活动二：方法梳理回顾

教师提问：“我们学习过哪些求两个数最大公因数的方法？你通常在什么情况下选择哪种方法？”

引导学生简要回顾：

1.列举法：适合数较小、因数容易找全的情况。步骤清晰，不易遗漏。

2.筛选法（先找较小数的所有因数，再从大到小试除检验）：是列举法的优化，效率更高。

3.直接判断法：对于具有特殊关系的数（如互质关系、倍数关系），可直接根据规律得出。

教师小结：方法是工具，关键在于根据“数据特征”灵活选用。由此自然引入本节课的练习主题——在变化的情境和数字中，灵活运用这些工具。

（二）分层练习，巩固方法（预计时间：18分钟）

本环节设计三层练习，由易到难，由封闭到开放，旨在巩固技能，优化方法选择策略。

第一层：基础巩固，辨析概念

1.填空题：

（1）15和20的公因数有（），最大公因数是（）。

（2）已知A=2×3×5，B=2×5×7，则A和B的最大公因数是（）。（引入质因数分解视角，为后续拓展埋下伏笔，不要求全体掌握分解法，但供学有余力者感知）

（3）如果a和b是互质数，那么它们的最大公因数是（）。如果a是b的倍数（a、b为非零自然数），那么它们的最大公因数是（）。

2.选择题：

（1）下列各组数中，最大公因数是1的是（）。

A.12和15B.21和28C.17和34D.8和9

（2）一张长方形纸，长30厘米，宽24厘米。要把它剪成若干个同样大小的正方形而没有剩余，剪出的正方形的边长最大是（）厘米。

A.2B.4C.6D.8

（此题是基础应用模型，引导学生识别“同样大小”、“无剩余”、“最大边长”即求长和宽的最大公因数）

学生独立完成，教师巡视，关注基础薄弱学生的掌握情况。完成后，选取典型答案投影展示，重点讲解第1（2）题（若有涉及）的思路，以及第2（2）题如何将生活语言转化为数学问题。

第二层：灵活运用，优化方法

1.求出下列每组数的最大公因数。比一比，谁的方法更巧妙？

（1）36和48（2）51和34（3）11和121（4）26和39

（5）60和72（6）1和任意自然数n

要求：学生独立完成后，小组内交流各自使用的方法，并讨论“为什么这组数适合用这种方法？”

设计意图：

（1）36和48：因数较多，适合用筛选法。

（2）51和34：数字不大，但无显著特殊关系，列举法或筛选法均可，鼓励用筛选法（找34的因数试除）。

（3）11和121：明显倍数关系，直接判断。

（4）26和39：可通过观察发现39-26=13，尝试13是否为公因数（渗透更高级算法的感性认识，不要求掌握），或直接用筛选法。

（5）60和72：数字较大，因数多，凸显筛选法或观察共同质因数（如都有因数2、3）的优势。

（6）1和n：巩固特例，任何自然数与1的最大公因数是1。

小组汇报时，教师引导学生总结方法选择策略：看关系（互质、倍数）→看大小（数小可列举）→看特征（有无公质因数可观察）。

1.集合作图练习（跨学科融合：数学与逻辑可视化）：

请用两个相交的椭圆（韦恩图），分别表示出12的因数和18的因数，并将它们的公因数填写在重叠区域。这个重叠区域表示什么？图中哪部分表示了12和18各自独有的因数？

学生动手绘制。此活动将抽象的“公有”、“独有”概念可视化，深化集合思想的理解，直观展示公因数的意义。

第三层：综合判断，深化理解

1.判断下列说法是否正确，并说明理由。

（1）两个不同的合数，它们的最大公因数不可能是1。（错，如8和9）

（2）两个不同的质数，它们的最大公因数一定是1。（对）

（3）所有偶数的最大公因数是2。（错，如4和6的最大公因数是2，但2和4的最大公因数是2，此说法以偏概全，强调“所有”）

（4）两个数的最大公因数一定能整除这两个数的差。（对，可作为性质稍作拓展，引导学生用具体例子验证感知，如（12，18）=6，18-12=6，6能被6整除）

此部分旨在打破思维定势，培养学生严谨的批判性思维和说理能力。

（三）情境应用，解决问题（预计时间：12分钟）

本环节设计一组贴近学生生活的实际问题，以“校园活动策划”为主线，让学生在真实情境中建模和应用。

情境一：体育委员的烦恼

五年级一班有男生24人，女生18人。体育老师要求按男、女生分别分组进行接力赛训练，要使每组人数相同，且每组的男生人数相等，女生人数也相等。

1.男生最多可以分成几组？每组几人？

2.女生最多可以分成几组？每组几人？

3.要想使男、女生每组的总人数也一样多，且组数尽可能少，全班可以共同分成多少组？这时每组有男生、女生各几人？

引导分析：

问题1、2是单一群体分组的“最大公因数”模型（24人分组，组数×每组人数=24，组数尽可能多对应每组人数尽可能少？这里“每组人数相同”且无剩余，求“最多分几组”实质是求总人数的最大公因数吗？仔细辨析：对于24人分组，要分组数最多，即每组人数要最少，但必须能整除24，所以每组人数最少是1人（质因数分解中指数最低的质因数？），此处逻辑需理清。实际上，“每组人数相同”且无剩余，分组方案由每组人数决定。当每组人数是24的因数时，都能正好分完。问“最多可以分成几组”，等价于问“每组最少几人”，因为组数=总人数÷每组人数。要使组数最多，就是使每组人数最少。24的最小因数是1，所以男生最多可分24组，每组1人。但通常这类问题隐含“每组人数大于1”的常理。所以题目表述需明确或引导学生讨论合理性。原题意图可能是求“每组人数相同且大于1，最多分几组”，即求大于1的最小因数对应的组数，24大于1的最小因数是2，所以最多分12组。为了更符合典型模型，可将问题改为：“要使每组人数相同且没有剩余，每组人数可能是多少？最多可以分成几组？（组数大于1）”这更清晰。我们按修正后的理解：对于24，因数有1,2,3,4,6,8,12,24。组数大于1，则每组人数不能是24（对应1组）。要使组数最多，取每组人数最少（且能整除）即2人，可分成12组。所以“最多分几组”其实是找大于1的最小因数。但这不是最大公因数模型。经典模型是：“把24人分组，每组人数相等且多于1人，可以有哪些分法？”或“把24人平均分组，有哪些分法？”这题容易混淆。为了聚焦最大公因数模型，应设计涉及两个量的题目。

因此，调整情境：将男生24人，女生18人混合编组进行拓展活动，要求每个小组的男生人数一样多，女生人数也一样多，最多可以编成多少个小组？每个小组有男生、女生各多少人？

这才是典型的求两个数的最大公因数问题（24和18的最大公因数是6，所以最多编6组，每组男生24÷6=4人，女生18÷6=3人）。

我们采用调整后的典型情境。

情境二：艺术节的创意

学校举办艺术节，需要将两条彩带裁成同样长度的小段来装饰展板，第一条彩带长45分米，第二条彩带长30分米。为了不浪费，且每小段尽可能长（长度均为整分米数），两条彩带每小段分别长多少分米？一共能裁出多少段？

引导分析：

“同样长度”、“整分米数”、“尽可能长”是关键词。问题转化为求45和30的最大公因数。最大公因数是15，所以每小段最长15分米。第一条能裁45÷15=3段，第二条能裁30÷15=2段，一共5段。

追问：如果希望裁出的小段数量是整数，且每段长度统一，但不必是最长的，那么还有哪些可能的裁剪方案？（每段长度可以是45和30的公因数：1分米，3分米，5分米，15分米）这体现了公因数的全体性，而最大公因数是其中最优（最长）的选择。

情境三：音乐中的数学

一段鼓点节奏，每4拍循环一次；另一段铃铛节奏，每6拍循环一次。如果它们同时开始敲击，至少经过多少拍后，鼓点和铃铛会再次同时响起？（引导学生想象或模拟）

引导分析：

“同时开始”、“再次同时响起”意味着经过的拍数既是4的倍数，也是6的倍数，求“至少”多少拍，即求4和6的最小公倍数。但本节课是公因数练习，此问题可作为前瞻性思考或拓展点，引出公因数与公倍数的对比。若严格限定于本课，可调整为：有两段节奏，一段要求每4人一组演奏，另一段要求每6人一组演奏。现有若干学生，要想让两种分组方式都能正好分完而无剩余，参加活动的总人数可能是多少？最少是多少？（总人数是4和6的公倍数，最少是12，即最小公倍数）这仍是倍数关系。为了紧扣公因数，可改为：老师准备了24个鼓和18个铃铛，要平均分给若干个小组，每个小组分到的鼓一样多，铃铛也一样多，且全部分完。最多可以分给几个小组？这又回到了情境一的模型。因此，音乐情境设计需更巧妙。例如：一首曲子的小节数既是12的因数，又是18的因数，这首曲子可能有多少小节？（求公因数）最长可能有多少小节？（最大公因数）这样更贴合。

我们将情境三修正为：一首合唱曲的编排中，主旋律部分每12个小节重复一个和声模式，伴唱部分每18个小节重复一个动作模式。导演希望两个模式能在某个小节同时重新开始（即同步），这首曲子至少应该设计为多少个小节，才能保证在曲子结束时两者刚好同步？（求最小公倍数，仍是公倍数）这依然不对。坚持公因数主题，可设计为：导演有12名主唱和18名伴唱，要他们排成若干列进行队形表演，每列人数相等，且主唱队伍和伴唱队伍各自的列数都是整数。每列最多可以站多少人？（求12和18的最大公因数6，此时主唱排12÷6=2列，伴唱排18÷6=3列）这样可行。

学生以小组为单位，选择1-2个情境进行深入分析、列式解答，并准备汇报。汇报时要求讲清“将什么问题转化成了求什么数的什么因数”以及“为什么”。教师巡视指导，重点关注学生建模过程的准确性。通过不同情境的对比，引导学生抽象出共同模型：当遇到“分割”、“分配”、“分组”等问题，且要求“相等”、“无剩余”、“最大”、“最多”等条件时，常常需要用到最大公因数的知识。

（四）思维拓展，挑战自我（预计时间：8分钟）

1.探究与发现：

（1）观察下面几组数的最大公因数，你有什么发现？

（3，6）=3（6，12）=6（12，24）=12（3，12）=3

（5，10）=5（10，20）=10（20，40）=20（5，20）=5

引导学生发现：当两个数成倍数关系时，最大公因数是较小的那个数。

（2）已知两个数的最大公因数是6，这两个数可能是多少？请写出三组不同的答案。

此题答案开放，如（6，12）、（6，18）、（12，18）等。引导学生理解最大公因数是6意味着这两个数都是6的倍数，且除以6后得到的两个数是互质关系。渗透“最大公因数”与“互质”关系的逆运用。

2.实际应用深化（跨学科：统筹优化）：

厨房里有一块长56厘米、宽40厘米、高32厘米的长方体奶酪。现在想把它切成同样大小的正方体小块（边长整厘米数），且没有剩余。正方体小块的棱长最大是多少厘米？这时可以切出多少块？

引导分析：这是求三个数（56，40，32）的最大公因数问题。需要引导学生迁移方法，可以先求其中两个数的最大公因数，再用这个结果与第三个数求最大公因数。例如：先求56和40的最大公因数是8，再求8和32的最大公因数是8。所以棱长最大是8厘米。块数计算：（56÷8）×（40÷8）×（32÷8）=7×5×4=140块。

此题为学有余力的学生提供挑战，涉及从“二维”到“三维”的迁移，以及三个数最大公因数的求法（列举公因数或两两求解），体现了知识的综合性和思维的深度。

（五）总结反思，梳理提升（预计时间：5分钟）

1.知识网络构建：

教师引导学生共同梳理本节课的核心内容，形成思维导图（板书或课件动态生成）。

中心主题：公因数与最大公因数。

主要分支：

（1）意义：公有的因数；公因数中最大的一个。

（2）表示方法：如（12，18）=6。

（3）求法：列举法、筛选法、直接判断法（互质、倍数）、观察法。

（4）特殊关系：互质关系（最大公因数为1）；倍数关系（最大公因数为较小数）。

（5）应用模型：平均分、裁剪、分组等问题中，求“最大”、“最多”等，常归结为求最大公因数。

（6）思想方法：集合思想、模型思想、优化思想。

2.学习反思与分享：

教师提问：“通过本节课的练习，你觉得自己对公因数和最大公因数的理解最大的加深是什么？在方法选择或解决问题上，你有哪些新的心得或还存在什么困惑？”

邀请2-3名学生分享学习体会。教师进行总结性评价，强调数学学习要抓住概念本质，掌握方法原理，并能灵活应用于丰富多彩的现实世界。

六、板书设计

（左侧主板书区）

公因数与最大公因数（练习课）

一、意义

几个数公有的因数，叫做它们的公因数。

其中最大的一个，叫做它们的最大公因数。

例：12的因数：1，2，3，4，6，12

18的因数：1，2，3，6，9，18

12和18的公因数：1，2，3，6最大公因数：（12，18）=6

二、求法

1.列举法

2.筛选法（先找小数的因数，再筛选）

3.直接判断：

-互质关系→最大公因数是1

-倍数关系→最大公因数是较小数

三、应用（模型）

关键词：同样长、同样多、正好分完、没有剩余、最大、最多…

实际问题→转化为求几个数的最大公因数

（右侧副板书区）

【课堂生成区】

-学生典型方法展示

-易错点辨析（如：判断题目正误的分析）

-拓展问题思路（如：长方体切块问题）

七、分层作业设计

（一）基础巩固作业（必做）

1.求出下列每组数的最大公因数。

（15，25）（28，42）（8，9）（54，72）（13，39）

2.判断。

（1）1是所有非零自然数的公因数。（）

（2）如果两个数都是质数，那么它们一定是互质数。（）

（3）两个数的公因数一定小于这两个数。（）

3.解决问题：有两根木料，一根长28米，另一根长42米。现在要把它们截成同样长的小段，每段最长是几米？一共可以截成多少段？

（二）综合应用作业（选做A组）

1.学校合唱团有男生36人，女生48人。为参加表演，老师准备将他们混合编排成若干个小