高二上学期期中试卷

嵊州中学2022-2023学年高二上学期数学试题（2）一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.若复数(为虚数单位)，则=（）A.B.C. D.2.若平面内两条平行线：，：间的距离为，则实数（）A. B.或 C. D.或3.已知圆锥的底面半径为，且它的侧面开展图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（）A. B. C. D.4.如图，在四面体中，是棱上靠近的三等分点，分别是的中点，设，，，用，，表示，则（）A. B.C. D.5.已知的外接圆的圆心为O，，，为钝角，M是线段BC的中点，则（）A.3 B.4 C.5 D.66.如图，已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，为圆锥底面圆的直径，是的中点，是母线的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.7.若正数满足，则的最小值为（）A.8 B.9 C.10 D.128.在矩形中，，为的中点，将和沿翻折，使点与点重合于点，若，则三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.二、多项选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A直线恒过定点B.直线在轴上的截距为1C.直线的倾斜角为D.已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为10.函数，则在区间内可能（）A.单调递增B.单调递减C.有最小值，无最大值D有最大值，无最小值11.分别抛掷两枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），设事件“第一枚骰子的点数为奇数”，事件“第二枚骰子的点数为偶数”，则（）A.M与N互斥B.M与N不对立C.M与N相互独立 D.12.如图，若正方体的棱长为1，点是正方体的侧面上的一个动点(含边界)，是棱的中点，则下列结论正确的是（）沿正方体的表面从点A到点的最短路程为 B.若保持，则点在侧面内运动路径的长度为C.三棱锥的体积最大值为 D.若点在上运动，则到直线的距离的最小值为三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.点到直线距离的取值范围为____________．14.已知向量满足，且向量在向量上的投影向量为，则的模为________．15.已知函数．若对，使得成立，则实数的取值范围为____________．16.如图，在四棱台中，，，则的最小值为__________.嵊州中学2022-2023学年高二上学期期中复习答题卷（2）班级姓名学号一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）题号12345678答案二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）题号9101112答案三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分。）13.14.15.16.解答题（本题共6小题，共70分，其中第16题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。）17.的内角A、、的对边分别为、、，设．（1）求；（2）若，是边上一点，且，的面积为，求．18.已知顶点，边上中线所在直线方程是，角平分线所在直线方程是.（1）求顶点坐标；（2）求边所在的直线方程.19.如图，已知三棱锥，平面，，，，.、分别为、的中点.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离.20.某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.（1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者.（i）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定人选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；（ii）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差.21.如图，平行六面体中，，，，（1）求对角线的长度；（2）求二面角的余弦值.22.如图，设直线：，：点A坐标为过点A的直线l的斜率为k，且与，分别交于点M，N的纵坐标均为正数（1）设，求面积的最小值；（2）是否存在实数a，使得的值与k无关若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，说明理由．

第1页/共1页一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.若复数(为虚数单位)，则=（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简得，再求复数的模得解.【详解】由题得，所以.故选：C2.若平面内两条平行线：，：间的距离为，则实数（）A. B.或 C. D.或【答案】C【解析】【分析】根据平行关系得出或，再由距离公式得出满足条件.【详解】∵，∴，解得或当时，当时故选：C3.已知圆锥的底面半径为，且它的侧面开展图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】半径为的半径卷成一圆锥，则圆锥的母线长为，设圆锥的底面半径为，则，即，∴圆锥的高，∴圆锥的体积，所以的选项是正确的．4.如图，在四面体中，是棱上靠近的三等分点，分别是的中点，设，，，用，，表示，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据空间向量加法、减法和数乘的运算性质进行求解即可.【详解】,故选：D5.已知的外接圆的圆心为O，，，为钝角，M是线段BC的中点，则（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】将表示出来，代入运算即可，的夹角用半径表示出来即可．【详解】∵M为BC的中点，∴，设外接圆的半径为R，∠C与∠BAO互余，故cos∠BAO=sin∠C，.【点睛】此题考查基本向量运算，关键的在与半径形成的两向量的夹角余弦值用半径和边长表示出来即可，属于较易题目．6.如图，已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，为圆锥底面圆的直径，是的中点，是母线的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】延长至点，使，连接，，，得到为异面直线与所成的角（或补角），再解即得解.【详解】延长至点，使，连接，，．因为是母线的中点，所以，所以为异面直线与所成的角（或补角）．由题意知，，又是的中点，所以，所以在中，．因为，所以，所以．在中，，则由余弦定理得，故选：A．【点睛】方法点睛：异面直线所成的角的求法：方法一：（几何法）找作（平移法、补形法）证（定义）指求（解三角形）；方法二：（向量法），其中是异面直线所成的角，分别是直线的方向向量.7.若正数满足，则的最小值为（）A.8 B.9 C.10 D.12【答案】B【解析】【分析】根据题意确定的正负，利用基本不等式求得答案.【详解】由题意可得正数满足，当时，则，当且仅当时取等号，当时，，不合题意；故的最小值为9，故选：B8.在矩形中，，为的中点，将和沿翻折，使点与点重合于点，若，则三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先证明出MP⊥平面PAD，设△ADP的外接圆的半径为r，三棱锥M-PAD的外接球的半径为R，由，求出R，进而求出外接球的表面积.【详解】由题意可知，.又平面PAD，平面PAD，所以MP⊥平面PAD.设△ADP的外接圆的半径为r，则由正弦定理可得，即，所以r=2.设三棱锥M-PAD的外接球的半径为R，则，所以外接球的表面积为.故选：B二、多项选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.直线恒过定点B.直线在轴上的截距为1C.直线的倾斜角为D.已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为【答案】AC【解析】【分析】求出直线过得定点，判断A;求得直线在轴上的截距，判断B;求得直线的倾斜角，判断C;讨论直线在轴上截距是否为0，求出直线方程，判断D.【详解】直线即直，当时，，即直线恒过定点，A正确；直线，即在轴上的截距为，B错误；直线的斜率为，则倾斜角为，C正确；因直线过点，且在轴上截距相等，当截距都为0时，直线方程为，当截距不为0时，可设直线方程为，则，则直线方程为，故D错误，故选:AC10.函数，则在区间内可能（）A.单调递增B.单调递减C.有最小值，无最大值D.有最大值，无最小值【答案】BC【解析】【分析】通过正弦曲线的单调区间和最值点，利用整体代换法将代替为即可判断出各选项的正误.【详解】利用整体代换法将代替为，通过的单调区间与最值点可以判断出，单调增区间为，单调减区间为，，故选项A错误，选项B正确；最小值点为，最大值点为，，所以只有可能在区间内，故选项C正确，选项D错误.故选：BC.11.分别抛掷两枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），设事件“第一枚骰子的点数为奇数”，事件“第二枚骰子的点数为偶数”，则（）A.M与N互斥 B.M与N不对立C.M与N相互独立 D.【答案】BCD【解析】【分析】相互独立事件，互斥事件，对立事件，利用定义即可以逐一判断四个选项正误.【详解】对于选项A：事件与是可能同时发生的，故与不互斥，选项A不正确；对于选项：事件与不互斥，不是对立事件，选项正确；对于选项：事件发生与否对事件发生的概率没有影响，与相互独立.对于选项：事件发生概率为，事件发生的概率，，选项正确.故选：【点睛】本题主要考查了相互独立事件，互斥事件，对立事件，以及随机事件的概率，属于基础题.12.如图，若正方体的棱长为1，点是正方体的侧面上的一个动点(含边界)，是棱的中点，则下列结论正确的是（）A.沿正方体的表面从点A到点的最短路程为 B.若保持，则点在侧面内运动路径的长度为C.三棱锥的体积最大值为 D.若点在上运动，则到直线的距离的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】对于A，分析点M沿正方体的表面从点A到点的各种情况即可判断；对于B，取DD1中点E，连EM并求出EM=1即可计算判断；对于C，利用等体积法转化为求三棱锥的体积即可判断；对于D，建立空间直角坐标系，借助空间向量建立函数关系求其最值即可判断作答.【详解】对于A，点M沿正方体的表面从点A到点的最短路程，则点M应在点A与点P所在的两个相邻平面内从点A到点，由对称性知，点M从点A越过棱DD1与越过棱BB1到点的最短路程相等，点M从点A越过棱DC与越过棱BC到点的最短路程相等，把正方形ABB1A1与正方形BCC1B1放在同一平面内，如图，连接AP，AP长是点M从点A越过棱BB1到点的最短路程，，把正方形ABCD与正方形BCC1B1放在同一平面内，如图，连接AP，AP长是点M从点A越过棱BC到点的最短路程，，而，于是得点M沿正方体的表面从点A到点最短路程为，A正确；对于B，取DD1中点E，连EM，PE，如图，因是正方体的棱中点，则PE//CD，而CD⊥平面ADD1A1，则有PE⊥平面ADD1A1，平面ADD1A1，于是得PE⊥EM，由，PE=1得，EM=1，因此，点在侧面内运动路径是以E为圆心，1为半径的圆在正方形内的圆弧，如图，圆弧所对圆心角为，圆弧长为，B正确；对于C，因，而面积是定值，要三棱锥的体积最大，当且仅当点M到平面C1BD距离最大，如图，点A1是正方形ADD1A1内到平面C1BD距离最大的点，，C不正确；对于D，建立如图所示的空间直角坐标系，则，令，则，又，直线PD1与直线PM夹角为，，令，则，当且仅当，即，时，取最大值，而，此时，取得最小值，又，点到直线的距离，于是得，所以到直线的距离的最小值为，D正确.故选：ABD【点睛】关键点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键.三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.点到直线的距离的取值范围为____________．【答案】【解析】【分析】由题可知表示过点的不包含直线的所有直线，进而得线过点时，距离最小，为，最大值无限接近，进而得答案.【详解】解：将直线方程变形为，所以直线过与的交点，联立方程解得，所以，直线过定点，所以，根据直线系方程的意义，直线表示过点的不包含直线的所有直线，所以，当直线过点时，距离最小，为；当直线与垂直时，距离取得最大值，，因为直线与垂直时，其方程为，直线系方程不含，所以，其距离的最大值取不到.所以，点到直线距离的取值范围.故答案为：14.已知向量满足，且向量在向量上的投影向量为，则的模为____________．【答案】【解析】【分析】根据投影向量的概念直接求解即可.【详解】解：因为向量在向量上的投影向量为，所以，即，解得故答案为：15.已知函数．若对，使得成立，则实数的取值范围为____________．【答案】【解析】【分析】判断的单调性，求得函数的最小值，由题意可得不等式，即可求得答案.【详解】因为为上的单调减函数，故；由为上的单调增函数，故，由，使得成立，可得，即，故答案为：16.如图，在四棱台中，，，则的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】根据空间向量数量积的定义和运算性质，结合配方法进行求解即可.详解】设，因为，,所以有：令，于有：当且时，即时，有最小值，故答案为：【点睛】关键点睛：利用配方法是解题的关键.四、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.的内角A、、的对边分别为、、，设．（1）求；（2）若，是边上一点，且，的面积为，求．【答案】（1）；（2）2【解析】【分析】（1）根据正弦定理将角化为边，在利用余弦定理求得，从而求得C.（2）由求得，，根据正弦定理求得，又，然后利用三角形面积公式，求得AC的长.【详解】（1）由正弦定理知，，则由余弦定理知，，在中，，故（2）由，知，，由正弦定理知，，又，则，，则【点睛】关键点点睛：在解三角形过程中，利用正弦定理及余弦定理进行边角互化，从而根据条件解得未知量.18.已知顶点，边上中线所在直线方程是，角平分线所在直线方程是.（1）求顶点坐标；（2）求边所在的直线方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）可设点，求出线段的中点坐标，代入直线的方程，求出的值，即可得出点的坐标；（2）求出点关于直线的对称点的坐标，求出直线的方程，即为直线的方程.【小问1详解】解：由题意可设，则边的中点，代入有，解得，所以顶点坐标是.【小问2详解】解：由题意知，点关于直线的对称点在直线上，可设得：解得：，，得直线的斜率，所以边所在的直线方程是，即.19.如图，已知三棱锥，平面，，，，.、分别为、的中点.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）过点在平面内作，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离.【小问1详解】证明：因为、分别为、的中点，则，平面，平面，因此，平面.【小问2详解】解：过点在平面内作，因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、，设平面的法向量为，，，则，取，可得，，所以，点到平面的距离为.20.某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.（1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数；（2）现从以上各组中用分层随机抽样方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者.（i）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定人选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；（ii）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差.【答案】（1）32.25岁；37.5；（2）（i）；（ii）10.【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图，利用组中值乘以相应的频率，即可的这人的平均年龄；设第80百分位数为，计算从左到右频率和为或计算从右到左频率和为，即可求出；(2)（i）由题意可得，第四组应抽取4人，记为，，，甲，第五组抽取2人，记为，乙，根据古典概型计算方法求解即可；（ii）根据方差的计算原理计算合并后方差即可.【详解】解：（1）设这人的平均年龄为，则（岁）.设第80百分位数为，方法一：由，解得.方法二：由，解得.（2）（i）由题意得，第四组应抽取4人，记为，，，甲，第五组抽取2人，记为，乙，对应的样本空间为：，共15个样本点.设事件“甲、乙两人至少一人被选上”，则，共有9个样本点.所以，.（ii）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，则，，，，设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为.则，，因此，第四组和第五组所有宣传使