直角三角形（题型专练）解析版-2024北师大版八年级数学下册

1.3直角三角形

题型一直角三角形的两个锐角互余

题型二锐角互余的三角形是直角三角形

Y题型三写出命题的逆命题

r题型四判断是否为互逆命题

4题型五定理与证明

1题型六互逆定理

题型一角平分线与直角三角形问题

题型二平行线与直角三角形问题

题型三特殊直角三角形问题

—题型一百角三角形的综合应用

题型一直角三角形的两个锐角互余

1.（25-26八年级上•广东广州•期口）在RtZXABC中,NC=90。，若NA=26。，则NB的度数是（

A.26°B.44°C.54°D.64°

【答案】D

【分析】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余.

根据直角三角形两锐角互余即可求解.

【详解】解：•.•在RtZLABC中，ZC=90°,ZA=26°,

.­.ZB=90o-ZA=90°-26o=64°,

故选:D.

2.（25-26八年级上•全国•单元测试）如图，在VABC中，ZACff=90°,C。是高，ZA=30°,若BD=4,

则A8的长度为（）

A.2B.4C.8D.16

【答案】D

【分析】本题考萱了含30度直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握相关性质是解题关键；由

题意得NBCD=30。,则8c=280=8,再可得A6=23C,即可求解.

【详解】解：•.•ZAC5=90。，ZA=30°,

.­.ZB=90°-ZA=60°,

•••CD是RlZ\A8C的高，

/.Z£?CD=90°-ZB=30°,

：.BC=2BD=8,

vZAC^=90°,Z4=30°,

：.AB=2BC=16,

故选：D.

3.（25・26八年级上•吉林白山•月考）在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的4倍多15。，则两

个锐角分别为.

【答案】15。和75。

【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，几何问题（一元一次方程的应用），解题关键是掌握上述

知识点并能运用来求解.

通过设未知数，列方程求解两个锐角的度数.

【详解】解：设较小的锐角为工。，

则较大的锐角为（4x+15）。.

根据直角三角形两锐角互余，得/+（4x+15）=90.

解得：x=15,

则4^+15=75.

故两个锐角分别为15。和75。，

故答案为：15。和75。.

4.：25-26八年级上•江苏盐城•期中)如图，在VA8C中，AB=AC,ZA=40°,CDtAB于点、D,则NDC8

【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等、直角

三角形两锐角互余是解题的关键.

先根据等腰三角形性质求出底角的度数，再结合直角三角形两锐角互余求出NDCB.

【详解】解：A3=AC,NA=40。,

•••CD!AB,

・•.ZBDC=90°,

NDCB=90°?-NB=0-90?

故答案为：20.

5.(25-26八年级上•山西朔州•月考)如图，在V48C中，4。为边8c上的高，NB4C=9O。，ZC4D=35°.

(1)求-ABC的度数.

(2)若斜边3C在直线E/上，请直接写出4CF的度数.

【答案】(1)35。

⑵125。或55。

【分析】本题主要考查了三角形的高，直角三角形两锐角互余，解题的关键是熟练掌握直角三角形的性质.

(1)根据三角形高的定义得出NAD8=NA3C=90。，根据NC4D=35。得出/4。8=90。一/67)=55。，根

据/84C=90。，求出结果即可：

(2)分两种情况：当点尸在点C的右侧时，当点尸在点C的左侧时，分别求出结果即可.

【详解】（1）解：•••A。为边BC上的高，

.­.Z4DB=ZAPC=90°,

vZC4£>=35°,

ZACB=90°-ACAD=55°,

•.Z^AC=90°,

:.ZABC=90。-ZACH=35°；

（2）解：当点尸在点。的右侧时，

43=180。-ZAC8=180°-55。=125。；

当点尸在点C的左侧时，ZACF=ZACB=55°.

题型二锐角互余的三角形是直角三角形

1.（2025八年级上•全国•专题练习）在VA3C中，==则丫八80是（）

A.等边二角形B.直角二角形C.钝角二角形D.等腰二角形

【答案】B

【分析】本题考查直角三角形的判定.

由三角形的内角和定理，结合已知可得NC,即可求解.

【详解】解：・••在VA8C中，ZA=g/B=g/C,

:ZB=24ZC=3ZA,

.•.Z4+2Z4+3Z4=18（）°,

.-.Z4=30°,

AZ£?=30OX2=60°,ZC=30°X3=90°,

.•.△ABC是直角三角形.

故选：B.

2.（25-26八年级上•浙江绍兴•期口）由下列条件不熊判断VA8C是直角三角形的是（）

A.NA+N4=NCB.一个外角等于和它相邻的一个内角

C.ZA:Zfi:ZC=3:4:5D.AB2=BC2+AC2

【答案】C

【分析】根据判断三边能否构成直角三角形，三角形内角和定理的应用，锐角互余的三角形是直角三角形,

三角形的外角的定义及性质等知识，对各选项逐一验证，是否满足直角三角形条件，再作出判断.

【详解】解：•••三角形内角和为180。，

•.Z+N8=NC,

则ZA+N8+NC=2ZC=180°,

.•.ZC=90°,能判断为直角三角形，

故A不符合；

一个外角等于相邻内角，设外角为/。，相邻内角为/A,

则ZD=ZA,

乂ZD=180°-ZA,

--.180°-ZA=Z4,

即244=180。，

.•.ZA=90°,能判断为直角三角形，

故B不符合；

vZA:ZZ?:ZC-3:4:5,

.•.设ZA=3A,NB=4k,NC=5k,

则3&+4&+54=124=18()。，

"=15。,

.••44=45。，NB=60。,ZC=75°,无90。角，

•••不能判断为直角三角形，

故C符合；

AB2=BC2+AC2,由勾股定理逆定理，ZC=90°,

•••能判断为直角三角形，

故D不符合，

故选：C.

【点睛】本题考查了判断三边能否构成直角三角形，三角形内角和定理的应用，锐角互余的三角形是直角

三角形，三角形的外角的定义及性质等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解.

3.(2025八年级上•全国•专题练习)一个三角形中，如果两个角的和为90。，那么第三个角是。

这个三角形是三角形.

【答案】90直角

【分析】本题考查直角三角形的判定.

由三角形的内角和定理，结合已知可得第三个角的度数，即可判断三角形的类型.

【详解】解：•.•一个三角形中，两个角的和为90。,

二第三个角是180°-90°=90°,

•••这个三角形是直角三角形.

故答案为：90,直角.

4.（2025八年级上•全国•专题练习）在VAAC中，Z4=40°,NC=50。，则N3=。，丫/历。是_

三角形.

【答案】

90

直角

【分析】本题考查直角三角形的判定.由三角形的内角和定理，结合已知可得NB，即可判断三角形的类型.

【详解】解：•••在VABC中，NA=40°,ZC=50°,

N3-180。-40。-50。一90。，

.•.△ABC是直角三角形.

故答案为：90,直角.

5.（2025八年级上•全国•专题练习）若三角形的一个内角等于与它相邻的外角的且这个内角与另一一个内

角互余，则这个三角形是三角形.

【答案】直角

【分析】本题考查了两个锐角互余的三角形是直角三角形.本题通过外角与内角的关系及互余条件联立方

程，求出各内角度数，进而判断三角形类型.

【详解】解：设这个内角为x,则相邻外角为2x,而内角与外角的和为180。，

.,-x+Zv=180°,

解得：x=60°.

设另一个内角为）'，根据互余条佗：60。+），=90。，

），二30。，

此时第三个内角为：180°-60。-30。=90。，

•••这个三角形是直角三角形；

故答案为：直角.

6.（2025八年级上•全国•专题练习）若VA4c中，/人=!/8=30。，则NC二。，VA4C是________三

角形.

【答案】90直角

【分析】本题考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定.

利用三角形内角和定理求出ZC的度数，再根据角度关系判断三角形的类型.

【详解】解：在△ABC中，ZA+ZB+ZC=180°.

ZA=-ZB=3O0

2

/.ZA=30°,4=60。，

贝I」ZC=180°-30°-60°=90°.

「.△ABC是直角三角形.

故答案为：90,直角.

7.（25-26八年级上•吉林白城•期天）如图，ABA.CD,垂足为8,七是线段A。上一点，CE交人4于尸,

4=NC.求证：△CEO是直角三角形.

【答案】见解析

【分析】本题考查了三角形内角和以及直角三角形的判定，用三角形的内角和求得NAEF=NC8Q=9伊即

可.

【详解】证明：•••ABA.CD,

ZCBF=90°,

•.­ZA+ZAEF+Z4FE=180°,ZC+ZCFB+ZCBF=180°,

ZAEF=180°-ZA-ZAFE,NCBF=180°-ZC-NCFB,

vZ4=ZC,ZAFE=4CFB,

:.ZAEF=ZCBF=90°,

「.△CEO是直角三角形.

题型三写出命题的逆命题

I.（25-26八年级上•安徽合肥・月考）命题“直角三角形两锐知互余'’的逆命题可表述为.

【答案】两个锐角互余的三角形是直角三角形

【分析】本题考查了逆命题的定义，掌握互逆命题的定义是解题的关键.找出原命题的题设和结论，交换

后即可得逆命题.

【详解】解：原命题的题设：三角形是直角三角形，结论：两个锐角互余，

交换题设和结论后，逆命题为：两个锐角互余的三角形是直角三角形.

故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形.

2.（24-25八年级下•湖北黄冈.期口）”等腰三角形的两个底角相等”这个命题的逆命题是.

【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形

【分析】本题考查逆命题，将原命题的题设和结论互换，写出逆命题即可.

【详解】解：“等腰三角形的两个底角相等''的逆命题是有两个角相等的三角形是等腰三角形；

故答案为：有两个角相等的三角形是等腰三角形.

3.（25-26八年级上•浙江温州•期口）命题“若岁=0,贝"一0或）-0.”的逆命题为.

【答案】若x=o或y=o,则邛=。

【分析】本题考查了命题和逆命题，将原命题的条件和结论互换即可求解，找出原命题的条件和结论是解

题的关键.

【详解】解：命题“若D=o,则f=o或y=o."的逆命题为“若x=0或y=o,则个=。”，

故答案为：若x=o或y=o,则丐=0.

4.（25-26八年级上•安徽马鞍山•期中）写出“如果那么/>〃，，的逆命题..

【答案】如果那么

【分析】本题考查写出逆命题，根据逆命题的定义，将原命题的题设和结论互换即可.

【详解】解：原命题的题设是“〃力“，结论是“/互换后得到逆命题“如果a2>b2,那么a>b\

故答案为:如果a2>b2,那么a>b.

5.（25-26八年级上•浙江台州・期口）写出命题“两直线平行，对顶角相等”的逆命题________.

【答案】如果对顶角相等，那么两直线平行

【分析】本题考查了写逆命题.

逆命题是通过交换原命题的条件和结论而得到的新命题.原命题“两直线平行，对顶角相等“是一个条件命题,

可以表述为“如果两直线平行，那么对顶角相等

【详解】解：原命题的条件是“两直线平行”，结论是“对顶角相等”，

交换条件和结论，得到逆命题“如果对顶角相等，那么两直线平行

故答案为：如果对顶角相等，那么两直线平行.

6.（2025八年级上•全国・专题练习）命题“正多边形的各边相等”的逆命题是：.

【答案】各边相等的多边形是正多边形

【分析】本题考查了互逆命题，逆命题是将原定理的条件和结论互换，原命题的条件是“正多边形”，结论是

“各边相等“，因此逆命题是“各边相等的多边形是正多边形

【详解】解：命题“正多边形的各边相等''的逆命题是“如果多边形的各边相等，那么它是正多边形”，

故答案为：各边相等的多边形是正多边形.

7.（25-26八年级上•贵州黔东南♦期中）命题“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题___.（填

写“成立”或“不成立”）

【答案】不成立

【分析】本题主要考查了逆命题、判断命题真假等知识点，灵活运用举反例判定命题是假命题是解题的关

键.

先写成逆命题，再通过反例判断逆命题的真假即可解答.

【详解】解：原命题的逆命题是“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等举反例，如W=IT=I,

但1工-1,所以逆命题不成立.

故答案为：不成立.

8.（2025八年级上•北京•专题练习）写出命题“两直线平行，同位角相等''的逆命题，并判断逆命题的真假.

【答案】逆命题：同位角相等，两直线平行；真命题

【分析】本题主要考查的是写出一个命题的逆命题的方法的知识点，简单概括为条件和结论互相交换位置

就是互逆命题的联系，此命题和逆命题都是常见的平行线的判定和性质，都是真命题.

【详解】解：•••原命题的题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等“，

••・交换题设和结论得到逆命题：“同位角相等，两直线平行”，

这个逆命题是真命题，是平行线的判定定理.

故答案为：逆命题：同位角相等，两直线平行；真命题.

9.（25-26八年级上•陕西西安・月考）（1）证明：等腰三角形两底角的角平分线相等；

（2）写出这个命题的逆命题：,它是一个命题（填“真''或"假”）.

【答案】（1）见详解

（2）如果一个三角形的两个底角的角平分线相等，那么这个三箱形是等腰三角形，真

【分析】（1）利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定定理证明两条角平分线相等;

（2）写出原命题的逆命题并判断其真假即可.

【详解】（1）证明：设等腰三角形ABC中，AB=AC,为的角平分线，CE为NC的角平分线，如

下图，

••.ZABC=ZACB

•••8。平分/ABC,CE平分/ACB

AABD=NDBC=-/ABCZACE=NECB=-NACB,

22

:ZABD=ZACE

在△/WO和ZXACE中

ZA=ZA

<AB=AC,

ZABD=ZACE

二△AS-CE（ASA）,

：.BD=CE；

（2）逆命题：如果一个三角形的两个底角的角平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形

它是一个真命题.

故答案为：如果一个三角形的两个底角的角平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形，真.

题型四判断是否为互逆命题

I.（22-23八年级上•福建泉州•期天）••直角都相等”与“相等的角是立角”是（）

A.互为逆命题B.互逆定理C.公理D.假命题

【答案】A

【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可.

【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两人角相等“

“相等的角是直角’’的条件是“两个角相等“，结论是“这两个角是直角”

条件和结论互换，所以是互为逆命题.

定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题，

所以“直角都相等”与“相等的角是直角''不是互逆定理.

故选：A.

【点睛】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键.

2.（18-19八年级•全国・单元测试）下列命题的逆命题正确的是（）

A.对顶角相等B.直角三角形两锐角互余

C.全等三角形的对应角相等D.全等三角形的面积相等

【答案】B

【分析】先分别写出第个选项的逆命题，再判断其是否正确.

【详解】解：A的逆命题是：相等的角是对顶角，假命题：

B的逆命题是：两锐角互余的二角形足直角二角形，真命题；

C的逆命题是：对应角相等的三角形是全等三角形，假命题；

D的逆命题是：面积相等的三角形是全等三角形，假命题；

故选：B.

【点睛】本题主要考查了学生对逆命题以及真假命题的定义的理解，要求学生对常用的基础知识牢固掌握，

比较简单.

3.（22-23八年级上•全国•课后作业）两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的,而第一

个命题的结论是第二个命题的，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，

那么另一个命题叫做它的.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的

【答案】结论条件逆命题逆定理

【分析】根据互逆命题的定义：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题

的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一

个命题叫做它的逆命题.以及定理的逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫

它是原定理的逆定理，进行作答艮］可.

【详解】解：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命

题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆

命题.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的逆定理.

故答案为：结论，条件，逆命题，逆定理.

【点睛】本题考查互逆命题，以及定理的逆定理.熟练掌握相关知识点，是解题的关键.

4.（20-21八年级下•湖北孝感•期二）命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为“，b,斜边长为J

那么"+从=°2.命题2：如果一个三角形的三条边长分别为“，〃，c,且/+/=°2,那么这个三角形

是直角三角形.则命题I与命题2是命题.

【答案】互逆

【分析】根据互逆命题的定义直接得出的答案，在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题

的题干和结论，则称它们为互逆命题.

【详解】根据互逆命题的定义可知命题1与命题2是互逆命题，

故答案为：互逆

【点睛】本题考查了互逆命题的定义，理解定义是解题的关键.

5.（23-24八年级下•全国•课后作业）写出下列命题“若p,则"'的形式，写出它的逆命题并判断它们的真假.

（1）全等二角形的对应边相等；

（2）互为相反数的两个数的和为零.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】本题考查命题书写及判断真假：

（1）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案；

（2）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案；

【详解】（1）解：由题意可得，

“若P，则的形式：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应边相等，

•••三角形全等对应边相等，

该命题是真命题，

逆命题：若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等，是真命题；

（2）解：由题意可得，

“若P，则夕”的形式：若两个数互为相反数，则它们的和为零，

•••两个互为相反的数和为0,

二是真命题，

逆命题：若两个数的和为零，则它们互为相反数，是真命题.

题型五定理与证明

1.（25-26八年级上.全国•期中）下面关于公理和定理的说法正确的是（）

A.公理是真命题，但定理不是B.公理就是定理，定理也是公理

C.公理可作为证明其他定理的依据D.公理和定理都应经过证明后才能使用

【答案】C

【分析】本题考查公理和定理的定义，解题的关键是明确公理与定理的核心区别（是否需要证明）及相互

关系.

根据公理和定理的定义，逐一分析各选项的正确性.

【详解】公理是公认的真命题，无需证明，可作为证明其他定理的依据；定理是经过公理或已有定理证明

的真命题.

A：公理和定理都是真命题，此说法错误；

B：公理与定理定义不同，并非等价概念，此说法错误；

C：公理可作为证明其他定理的依据，此说法正确；

D：公理无需证明即可使用，此说法错误.

故选：C.

2.（25-26八年级上•全国•课后作业）”等角的余角相等”是（）

A.定义B.不确定C.定理D.假命题

【答案】C

【分析】本题考查几何命题的分类、余角的定义，根据余角的定义进行判断即可.

【详解】解：设=则N4的余角为：90°-Z4,的余角为90°-N8，

•••Z4=N4,

.­.90o-ZA=90°-Zfi,

即等角的余角相等，

”等角的余角相等''是一个真命题，且是经过证明的，故为定理，

故选：C.

3.（25-26八年级上•云南昭通•月考）下列关于命题与定理的说法：

①一个条件命题一定有逆命题：

②真命题一定是定理；

③其命题的逆命题•定是真命题；

④假命题的逆命题一定是假命题.

正确的是（）

A.①B.②C.③D.④

【答案】A

【分析】本题考查了命题与定理的基本概念，包括逆命题的存在性、真命题与定理的关系，以及逆命题的

真假性，熟练掌握相关概念是解题关键.根据逆命题的存在性、真命题与定理的关系，以及逆命题的真假

性逐个判断即可得.

【详解】解：①对于任何一个条件命题，都可以通过交换它的条件和结论得到其逆命题，所以一个条件命

题一定有逆命题；原说法正确；

②真命题不一定都是定理；定理是经过证明的真命题，但有些真命题可能未被证明或不是基本定理，则原

说法错误；

③其命题的逆命题不一定是真命题；反例：原命题：对顶角相等为真命题，但其逆命题：相等的角是对顶

角为假命题；则原说法错误；

④假命题的逆命题不一定是假命题；反例：原命题：相等的角是对顶角为假命题；但其逆命题：对顶角相

等为真命题；则原说法错误；

故选：A.

4.（2025八年级上•全国・专题练习）下列所学过的真命题中，是公理的是（）

A.邻补角互补B.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

C.两数相乘，同号得正D.同角的余角相等

【答案】B

【分析】本题考查了公理的概念以及对一些几何和代数真命题的理解，因为判断一个真命题是否为公理，

核心就是看它是否是无需证明的基本事实，是后续推理的基础，掌握公理的定义是解题的关键.

公理是无需证明的基本事实，来源于长期实践总结，而非推导，作为证明其他命题的依据；可通过其他知

识证明的命题、依赖具体运算或推导的规则都不是公理，以此为标准对选项逐个判断.

【详解】解：A、“邻补角互补”是可以通过补角的定义等证明的定理，不符合题意；

B、“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”是人们在长期实践中总结出的基本事实，无需证

明，符合题意；

C、“两数相乘，同号得正”是代数中的运算规律，可通过有理数乘法的定义等推导，不符合题意；

D、“同角的余角相等”是可以通过余角的定义和等式的性质证明的定理，不符合题意.

故选:B.

5.（25-26八年级上.全国.周测）下列语句中，属于定理的是（）

A.在直线A8上取一点EB.如果两个角相等，那么这两个角是对顶角

C.内错角相等D.同角的补角相等

【答案】D

【分析】本题考查定理的判断，掌握定理、命题的定义是关键.

根据定理的概念，逐一进行判定即可.

【详解】解：A、在直线43上取一点E,不是命题，故不是定理，不符合题意；

B、如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，原命题是假命题，故不是定理，不符合题意；

C、选项中“内错角相等”缺少“两直线平行”的前提条件，是假命题，故不是定理，不符合题意；

D、同角的补角相等，是定理，符合题意.

故选:D.

6.（25-26八年级上•全国•课前预习）下面关于公理和定理的说法不正确的是（）

A.公理和定理都是真命题

B.真命题可能是定理

C.公理就是定理，定理也是公理

D.公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明

【答案】C

【分析】本题考查公理和定理，理解公理与定理的概念是解题的关键.

公理，也就是经过人们长期实践检验、不需要证明的客观规律或基本事实.定理：是用逻辑的方法判断为

正确并作为推理的根据的真命题.从公理和定理的概念逐项判断即可.

【详解】解：A、公理和定理都是真命题，说法正确，故此选项不符合题意；

B、真命题不一定是定理，但定理一定是真命题，所以真命题可能是定理，说法正确，故此选项不符合题意；

C、公理是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明的客观规律.定理：是用逻辑的方法判断

为正确并作为推理的根据的真命题.所以公理就是定理，定理也是公理，说法不正确，故此选项符合题意；

D、公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明，说法正确，故此选项不符合题意；

故选:C.

7.（24-25七年级下•河北邯郸•月考）下列命题可以作定理的有一个.

①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除；

③x=5是方程;X+7=三二的根：④三角形的内角和是180。.

2o

【答案】2

【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题：正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命

题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理.首先利用定理的定义先判断命题是否是真命

题，然后再看是否经过推理论证；经过判断可以得到②、③是假命题，①、④是真命题，是经过推理论

证的，据此可以解决问题.

【详解】解：①等式两边加上同一个数仍是等式，符合等式的性质，是定理；

②能被3整除的数，不一定能被6整除，故此命题是假命题，不是定理；

1QV.LO

③壬x=5代入74+7=二一，方程两边不相等，故不是真命题，更不是定理.；

④三角形的内角和是180。，是经过证明的真命题，故是定理；

・••可以作定理的有2个

故答案为：2

题型六互逆定理

1.（25-26八年级上•河南南阳•月考）下列定理中，没有逆定理的是（）

A.两直线平行，同位角相等B.三个角都相等的三角形是等边三角形

C.全等三角形的对应角相等D.等角对等边

【答案】C

【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键在于判断其逆命题的真假.

分别写出各选项中定理的逆命题，再判断真假即可.

【详解】解•：选项A：逆命题为“同位角相等，两直线平行“，是真命题，故A有逆定理，不符合题意要求；

选项B：逆命题为“等边三角形的三个角都相等“，是真命题，改B有逆定理，不符合题意要求；

选项C：逆命题为“对应角相等的两个三角形全等“，是假命题，故C没有逆定理，符合题意要求；

选项D：逆命题为“等边对等角“，是真命题，故D有逆定理，不符合题意要求；

故选：C.

2.（25・26八年级上•河南南阳•月考）下列有关逆命题与逆定理的说法错误的是（）

A.”直角三角形两锐角互余”的逆命题是真命题

B.“全等三角形的对应角相等”的逆命题是真命题

C.“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行”

D.“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理

【答案】B

【分析】本题考查了逆命题与逆定理，根据已知，把各选项条件与结论互换写出逆命题，再判定结果是否

是真命题即可.

【详解】解：A.“直角三角形两锐角互余”的逆命题为“两锐角互余的三角形是直角三角形"，是真命题，故

该选项正确，不符合题意；

B.“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形全等“，是假命题，故该选项不正确，符合

题意；

C.“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行”，故该选项正确，不符合题意；

D.”等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是笔边三角形”是互逆定理，故该选项正确，不

符合题意；

故选：B.

3.（25-26八年级上•陕西商洛•月考）下列定理中，有逆定理的是（）

A.对顶角相等

B.全等三角形的对应角相等

C.两个全等三角形的面积相等

D.平面内，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等

【答案】D

【分析】本题考查逆定理的定义；判断每个定理的逆命题是否成立，若成立则有逆定理.

【详解】解：A、其逆命题为“相等的角是对顶角”，可举“等腰三角形的两个底角相等，但不是对顶角”，作

为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故A不符合题意；

B、其逆命题为“对应角相等的两个三角形是全等三角形”，可举“大小不一样的等边三角形所有的角都相等，

但不是全等三角形”，作为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故B不符合题意；

C、其逆命题为“面积相等的两个三角形是全等三角形”，可举“面积相同，但形状不一样的两个三角形”，作

为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故C不符合题意；

D、其逆命题为“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”，逆命题成立，有逆定理，故D符合题

意.

故选:D.

4.（2025八年级上•全国・专题练习：定理“如果两个三角形全等,那么它们的一条边对应相等”的逆定理是（）

A.如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等

B.对应角相等的两个三角形全等

C.对应边不相等的两个三角形不全等

D.全等三角形的对应边相等

【答案】A

【分析】本题考查互逆定理.

将原定理的题设和结论互换，判断逆命题的真假，若逆命题为真命题，即为原定理的逆定理.

【详解】解：“如果两个三角形全等，那么它们的三条边对应相等”的逆命题为“如果两个三角形的三条边对

应相等，那么这两个三角形全等“，

•.•“如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等''是真命题，

定理”如果两个三角形全等，那么它们的三条边对应相等”的逆定理是“如果两个三角形的三条边对应相等,

那么这两个三角形全等”.

故选：A.

5.（2025八年级上•全国•专题练习）“互逆定理”是指两个定理之间的关系，共中一个定理是另一个定理

的.

【答案】逆定理

【分析】本题考杳了互逆定理.互逆定理是指两个定理之间，一个定理的题设和结论是另一个定理的结论

和题设.

【详解】解：在初中数学中，互逆定理描述的是两个定理互为逆定理的关系，即第一个定理的题设是第二

个定理的结论，第一个定理的结论是第二个定理的题设.

因此，其中一个定理是另一个定理的逆定理.

故答案为：逆定理.

6.（2025八年级上•全国・专题练习）一个定理有逆定理的条件是这个定理的是真命题.

【答案】

逆命题

【分析】本题考查了定理与逆定理，命题与真假命题.

根据逆定理的定义，一个定理有逆定理的条件是其逆命题为真命题.

【详解】解：在数学中，定理是真命题，其逆命题是将原定理的条件和结论互换后得到的命题，如果逆命

题也为真，则称为原定理的逆定理，

因此，空白处应填逆命题，

故答案为：逆命题.

7.（2025八年级上•全国•专题练习）定理“等角的补角相等”（填“有''或"没有'’）逆定理.

【答案】有

【分析】本题考查了逆定理.原定理的逆命题成立，则原定理有逆定理，否则没有：定理“等角的补角相等'

的逆命题是“补角相等的两个角相等根据等式的性质即可得出其逆命题成立，即可求解.

【详解】解：定理”等角的补角相等''的逆命题是“补角相等的两个角相等

设两个角分别为NA和N8,它们的补角分别为180。-4和180。-N8.

若补角相等，即180。-4=180。-N8,根据等式的性质，可得乙4=N3,

因此逆命题成立.故有逆定理.

故答案为：有

8.（2025八年级上•全国•专题练习）定理“平行四边形的每一组邻角都互补”的逆定理是：.

【答案】

每一组邻角都互补的四边形是平行四边形

【分析】本题考查互逆定理.将原定理的题设和结论互换可得逆命题，如果一个定理的逆命题是真命题，则

该逆命题为原定理的逆定理.据此解答即可.

【洋解】解：“平行四边形的每一组邻角都互补”的逆命题是“每一组邻角都互补的四边形是平行四边形”，

•.•”每一组邻角都互补的四边形是平行四边形'’是真命题，

...定理，，平行四边形的每一组邻角都互补，，的逆定理是“每一组邻隹都互补的四边形是平行四边形，，.

故答案为：每一组邻角都互补的囚边形是平行四边形.

9.（2025八年级上•全国•专题练习）定理“如果，>〃，那么a+c〉〃+c”的逆定理是：.

【答案】

如果a+c>b+c,那么a>b

【分析】本题考查互逆定理.

将原定理的题设和结论互换得到逆命题，如果一个定理的逆命题是真命题，则该逆命题为原定理的逆定理.

【详解】解：“如果。>匕，那么a-c>8+c”的逆命题为“如果〃+c,那么

如果〃+C>）+C,那么是真命题，

定理'如果那么4+c>〃+c”的逆定理是“如果a+c>〃+c,那么

故答案为：如果a+c>〃+c,那么a>〃.

B能力提升题

题型一角平分线与直角三角形问题

1.（24-25八年级上•北京•期中）如图，Zfi=ZC=90°,仞是8C的中点，OM平分/ADC,且NADC=100。,

则/力MC的度数是（）

【答案】B

【分析】本题主要考查了角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余，

先根据角平分线的定义求出NCDM=50。，再根据直角三角形的两个锐角互余得出答案.

【详解】解：•.・DW平分NADC，ZADC=100°,

.-.ZCDM=-ZADC=50°.

2

在Rt^C/W中，NC=90。，

:.NDMC=90°-NCDM=40°.

故选:B.

2.（25-26八年级上•浙江湖州•期中）在VA8C中，ZB=40°,ZC=60°,AZ）和4E分别为VABC的高线和

角平分线，那么ND4E的度数为（）

A.40°B.30°C.20°D.10°

【答案】D

【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，垂直定义，由三角形内角和定理可得

ZMC=180°-ZB-ZC=80°,通过角平分线定义可得=NCAE=L/B4C=40。，根据AO/AC,

2

ZADC=90°,从而求得/。皿=90。-/。=3（）。，最后通过角度和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解

题的美键.

【详解】解：••・NB=40°,ZC=60°,

N84C=180。-N8-NC=80°,

•••4E平分NB4C,

NBAE=ZCAE=-NBAC=40°，

2

vADJ.BC,

.­.ZAZJC=9（r,

/.ZC4D=90°-ZC=30°,

/.ZDAE=ZCAE-ZCAD=10°,

•••/DAE的度数是10。，

故选：D.

3.（25-26九年级上•黑龙江大庆•期中）如图，在VA8C中，AD1BC,AE是NB4C的平分线，NB=70。,

ZBAC=86°,则ZDAE=.

【分析】本题考查了角平分线定义，垂直定义，直角三角形的性质，由角平分线定义得=；/助。=43。，

又ADd.BC,则4408=90。，根据直角三角形性质可得NBAD=90。-N8=20。，最后通过角度和差即可求

解，掌握知识点的应用是解题的美键.

【详解】解：•••NB4C=86。，A£是/R4C平分线，

.•.NBAE」NBAC=43。,

2

：AD±BC.

.208=90。，

.•.N8AD=900-N8=20。，

ZDAE=/BAE-/BAD=23°,

故答案为：23。.

4.（24-25七年级下•全国•课后作业）如图，在RtaABC中，NC4B=90。，Z5=70°,A尸是/C4B的平分

线，交边8c于点D.过点C作△AS中AD边上的高CE,则/EC。的度数为

C

【分析】先利用直角三角形的内角和求出4C8的度数，再通过角平分线的定义得到NC4O的度数，接着

在三角形中求出N4DC的邻补角的度数，最后结合高的性质，利用直角三角形的两锐角互余计算出NECO的

度数.

【详解】解：在阳入48。中，ZC4B=90°,NB=70。，根据直隹三角形两锐角互余，得：

Z4CB=90°-70°=20°,

・••A”是NC4B的平分线，

:.ZCAD=-ZC4B=1x90°=45°,

22

••.△.钻。中，ZDAB=45°,N8=70。，根据三角形内角和为180。，得：

ZADB=180°-45°-70°=65°,

•­•ZCDE与NAD8是对顶角.

；.NCDE=ZADB=65。,

•••C£是A。边上的高，

.-.ZCED=90°,

在向△CEO中，根据直角三角形两锐角互余，得：

NECD=90°-Z.CDE=90°-65°=25°,

故答案为：25。.

【点睛】本题考查了直角三角形的性质、角平分线的定义及对顶角的性质，掌握直角三角形两锐角互余，

结合角平分线、对顶角的性质推导角度是解题的关键.

5.（2025八年级上•全国•专题练习）如图，在△A8C中，A£>_LBC于点Z）,△A8C的角平分线的交AD于

点。，已知NC=60。,NBA。=50。，求/AE8的度数.

A

【详解】本题考查了角的计算，三角形内角和定理，角平分线，高线的应用，熟练掌握三角形内角和定理

是解题的关键.根据题意，易得NDAC=30。，可知NA4K的度数，利用二角形内角和定理，得NA8C,

结合角平分线，有NABE=1ZABC=20°,即可得到结果.

【解答】解：•.•AO_L8C,

「./ADC=90。，

•.•/C=60。，

.­.ZDAC=30°,

vZBAD=50°,

/BAE=ZBAD+ZDAC=80°.

/.ZABC=180°-NC-NBAE=40°.

•.•BE平分NA8C,

/.ZABE=-^ABC=20°

2t

：./AEB=180-ZABEBAE=80。.

6.12025七年级上•吉林长春・专题练习)如图，在V48C中，4=5()。，ZC=70°,AD平分N3AC,E为AD

上一点，EFJ.BC于■F.

⑴求N2的度数.

(2)求NO即的度数.

【答案】(l)Z2=30°

⑵/£>£F=10。

【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理；

(1)由三角形内角和定理求出N8AC,再依据角平分线定义即可求出N2；

(2)由三角形内角和定理求出NADC,再由即可求出/力£尸.

【详解】(1)解：•・•々=50。，ZC=70°,

..ZBAC=180°-50°-70°=60°

•.4)平分N4AC,

.­.Z2=-ZBAC=-x60°=30°.

22

(2)解：vZ2=30°,ZC=70°,

ZADC=180°-30°-70°=80°,

-EF1BC,

NDEF=90°-ZADC=90°-80°=10°.

题型二平行线与直角三角形问题

1.(25-26九年级上.贵州遵义・期口)将一块含有30。的直角三角板叠放在如图所示的直尺上，则N1+N2的

C.90°D.105°

【答案】C

【分析】本题考查的是直角三角形的性质及对顶角相等的有关知识，根据题意作出辅助线是解答此题的关

键.根据题意画出图形，再根据对顶角相等及直角三角形的性质解答即可.

【详解】解：如图所示:

由对顶角相等可得Nl=N4,N2=N3,

•••此三角形是直角三角形,

.-.Z3+Z4=9O°,即N1+N2=9O°.

故选：C.

2.（25-26八年级上•重庆合川・期中）如图，VA8c中，NAC8=90,CD//BA.若NB=52。，则NACO的

度数为.

【答案】38。/38度

【分析】本题考查平行线的性质，直角三角形的性质，关键是由平行线的性质推出NACD=NA.由直角三

角形的性质求出44=38。，由平行线的性质推出N4CD=N4=38c.

【详解】解：•.•ZAC8=90。，ZB=52°,

.*.Z4=90°-52o=38°,

•/CD//AD,

.1.ZACD=ZA=38°.

故答案为：38。.

3.（2026•江西♦模拟预测）如图，直线a〃方，直线c交直线。于点A,交直线〃于点8,CDJ_直线c,若N1=40°,

则/2的度数为.

【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质.

根据直角三角形锐角互余得到/。8。=90。-/1=50。，再由平行线的性质求解即可.

【详解】解：•.•CO_L直线c,Zl=40%

.­.ZCBD=90°-Zl=50°,

•・•直线。必，

.*.Z2=180o-ZC^£>=130°,

故答案为：130。.

4.（25-26九年级上•重庆•月考）如图，AB//CD,EF交AB于点、G,过点尸作尸，J,历交人B于点儿连

接EH,若EH平分NEED,Zl=20°,则N2=

【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义及垂线的定义，熟知平行线的性质、角平分线的

定义及垂线的定义是解题的关键.

根据平行线的性质、角平分线的定义及垂线的定义进行计算即

【详解】解：••・£1”平分/FEZ），Zl=20°.

.♦•NG£D=2/1=40°,

-AB//CD,

：.KFGH=4GED=4",

又•FHtEF,

•••"=90。，

.­.Z2=90°-40°=50°.

故答案为：50。.

5.（25-26八年级上•全国•期中）已知：如图，AO是VA8C的高，点上在AC上，G在上,Z2+ZC=90°,

Z1=Z2.求证：G£）〃AC.

【答案】证明见解析

【分析】本题考查了平行线的判定，余角，掌握内错角相等两直线平行是解题的关键.

根据同角的余角相等，得到/2=/3,结合N1=N2,得到N1=N3,根据内错角相等两直线平行，即可求

证.

【详解】证明：・.・AD是VAB。的高,

.../ADC=90°,

.■,Z3+ZC=90°,

vZ2+ZC=90°,

.-.Z2=Z3,

N1=N2,

.♦.Zl=/3,

:.GD//AC.

6.(25-26八年级上•广东深圳・月考)如图，N8CQ的平分线交/46C的平分线于点M,交AB于点N,若

ZCM^=90°.

(1)求证：AB//CD.

(2)若CN=6,8=5,求△CBN的面积.

【答案】(1)见解析

⑵12

【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余，角平分线的定义，平行线的判定，三角形全等的判定与性

质，勾股定理等：

(1)由直角三角形的两个锐角互余，结合角平分线的定义，可缘NABC+NDC8=180。，根据平行线的判

定即可证得结论；

(2)证明△8WN且△8V/C,从而求出CM,再用勾股定理求出8W，根据三角形面积公式即可求解.

【详解】(1)证明：在ACBM中，NCMB=90°,

/1+/2=90。，

CN.BM分别平分/BCD,/ABC,

ZABC=2/1,/DCB=2Z2,

/.ZABC+NDCB=2ZI+2Z2=2(Z1+Z2)=180°,

AB//CD:

(2)解：•••8MJ.CN,BM平分4CBN,

••・在△8MN和△8MC中，

Zl=NMBN

MB=MB,

NBMC=NBMN=90。

；.&BMN刍ABMCIASA）,

:.CM=MN=>CN=3,

2

••BM=^BC1-CM2=4，

••.△CBN的面积为,CN•BM=6x4=12.

22

7.（25-26八年级上•广东汕尾•月考）如图，在VA8C中，A8=AC,4018。于点。.

(1)若/5=39。，求NCA。的度数；

(2)若点E在边AC上，日”回交A。的延长线于点尸，请说明△A&'的形状.

【答案】(1)NC4£>=51。；

(2)Z\AM的形状是等腰三角形，理由见解析.

【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，垂直的定义，平行线的性质，掌握知

识点的应用是解题的关键.

(I)由AO/8C,则NA08=9O。，所以/班。=90。-/8=90。-39。=51。，然后通过等腰三角形的“三线

合一”性质即可求解；

(2)根据得NF=ZBAF,然后由(1)得，ZC4D=ZfiAD,所以最后通过等腰三

角形的判定即可求解.

【详解】(1)解：••・AQB8C,

.208=90。，

."BAD=90。-N8=90。-39。=51。，

vAB—AC,AD,ZBC,

..NC4£)=N8AO=51。；

(2)解：的形状是等腰三角形，理由如下:

VEF//AB,

：Z.F=ZBAF\

由（1）得，ZCAD=ZBADf

••./F=NC4/L

:AE=FE,

.•.△Ab是等腰三角形.

题型三特殊直角三角形问题

1.（24-25八年级下•云南红河•期末）一技术人员用刻度尺（单位：cm