2026北师大版七年级数学下册期中知识点复习要点梳理（1-3章）

2026北师大版（新教材）初中数学七年级下册

期中知识点复习要点梳理（1-3章）

第一章整式的乘除

一、核心知识点

1.鬲的乘除

1.同底数累的乘法：

法则：同底数幕相乘，底数不变，指数相加（字母表示：。*〃=。m+九,

其中m、n为正整数）；

注意：底数必须相同（如23<5=28）,若底数不同，需先转化为同底数

累再计算（如23・42=23.24=27）；

拓展：多个同底数幕相乘，法则仍适用（am.Q72・aP=Qm+n+P）。

2.同底数得的除法：

mnmn

法则：同底数暴和除，底数不变，指数相减（字母表示：a^a=a-f

其中QH0,m,"为正整数，且771>几）；

注意：底数不能为0（0的0次幕无意义）：

零指数累：任何不等于0的数的0次窑都等于1（Q0=l,QW0）;

负整数指数累：任何不等于。的数的-n（，为正整数）次累，等于这个数

的九次幕的倒数5=用，QH0）。

3.幕的乘方:

法则：幕的乘方，底数不变，指数相乘（字母表示：（。刃”二口加九，其中

m.九为正整数）；

易错区分：累的乘方与同底数累的乘法（前者指数相乘，后者指数相加，

如（23）2=26,23-22=25）0

4.积的乘方：

法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的事相乘

（字母表示：（ab）n=anbn,其中九为正整数）；

nnnn

拓展：多个因式的积的乘方，法则仍适用((czbc)=abc)o

2.整式的乘法

1.单项式乘单项式：

法则：把它们的系数、同底数募分别相乘，对于只在一个单项式里含有的

字母，则连同它的指数作为积的一个因式；

步骤：先算系数相乘(注意符号)，再算同底数室相乘，最后处理单独的字

母；

示例：2a2b.3ab3=(2x3)-(cz2•a)•(b-b3)=6a3b3

2.单项式乘多项式：

法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加(字母表示：

m(a+b+c)=ma+mb+me)；

注意：单项式与多项式的每项都耍相乘，不能漏乘；符号耍随项的符号

2

变化(如一2Q(3Q—b)=-6a+2ab)o

3.多项式乘多项式：

法则：先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的

积相加(字母表示：(a+b)(m+ri)=am+an+bm+bn)；

技巧：可借助"十字相乘''简化计算(适用于二次三项式的乘法)；

注意；漏乘项、符号错误是常见问题，计算后需检查项数(两个九项多项

式相乘，积的项数最多为九2)。

3.乘法公式

1.平方差公式：

公式：(a+b)(a-b)=M一力2；

特点：两个二项式相乘，一项完全相同，另一项互为相反数，积为相同项

的平方减去相反项的平方；

易错提醒：公式可逆用(Q2-b2=Q+b)(Q-b)),注意符号(如(-Q+

22

b)(—Q—b)=a—b')o

2.完全平方公式：

两个公式：(a+bp=M+2ab+川；(a—b)2=a2-2ab4-b2；

特点：两个相同的二项式相乘，积为三项式，首尾两项是二项式各项的平

方，中间项是二项式两项乘积的2倍(符号与二项式中间符号一致)；

易错提醒：避免漏写中间项(如(a+b)2^a2+b2)；可逆用(M+

2222

2ab+炉=(a+b),a—2ab+b=(a—b))0

3.公式的灵活运用：

凑整运用(如(100+1)(100-1)=1002-I2=9999)；

22

变形运用(如a?+廿=Q+b)2—2ab,(a-b)=(a4-b)—4ab)0

4.整式的除法

1.单项式除以单项式：

法则：把系数、同底数累分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含

有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；

注意：系数相除时，要注意符号；同底数号相除，遵循同底数幕除法法则

(底数不变,指数相减);

示例：6a3b4+2a2b=(64-2)*(a3+a2)-(b4+b)=3ab3。

2.多项式除以单项式：

法则：用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加(字母表示:

(ma+mb+me)+m=a+b+c,m0)；

注意：多项式的每一项都要除以单项式，不能漏除；符号要随项的符号变

化(如(—6a2+2ab)+(—2a)=3a—b)；

验算：可用商乘除数，看是否等于被除式(脸验计算结果是否正确)。

二、复习重点

1.牢记累的运算法则(同底数幕的乘除、幕的乘方、积的乘方)，能熟练进

行幕的混合运算，注意符号和指数的变化；

2.掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的法则，能准

确进行整式乘法运算，避免漏乘、符号错误；

3.熟练掌握平方差公式、完全平方公式，能灵活运用公式进行计算、变形

和化简，区分两个公式的适用场景；

4.掌握单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则，能准确进行整式除

法运算，学会用验算检验结果；

5.能解决与整式乘除相关的化简求值问题，先化简再求值，提升运算准确

率和速度。

三、易错点

1.哥的运算混淆法则：如将同底数幕相乘（指数相加）与幕的乘方（指数

相乘）混淆,相・。2误算为小；

2.忽略零指数累、负整数指数幕的限制条件（QWO）,或误算（如00=1、

2-3=-8）；

3.整式乘法中，漏乘多项式的项（如2a（3a+b）误算为6a2+2Q）,或符

号错误（负号漏乘）；

4.运用完全平方公式时，漏写中间项（如（a-b）2误算为小一/）；

5.整式除法中，系数相除出错，或同底数基相除时指数计算错误（如炉+

a2误算为a3）；

6.化简求值时，未先化简直接代入，导致计算繁琐且易出错。

第二章相交线与平行线

一\核心知识点

1.两条直线的位置关系

1.同一平面内两条直线的位置关系：相交（有且只有一个公共点）、平行

（没有公共点）（重合的直线视为同一条直线）。

2.相交线的相关概念：

对顶角：两条直线相交时，相对的两个角叫做对顶角（如乙1与43）,核

心性质：对顶角相等；

邻补角：两条直线相交时，有一条公共边、另一边互为反向延长线的两个

角叫做邻补角（如41与22）,核心性质:邻补角互补（和为180。），且成对出

现。

3.垂线：

定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角（90°）,则这两条

直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足（用符

号”团”表示,如48团CD）；

性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（“一点”可在直线上，也

可在直线外）；

点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线

的距离，核心结论：垂线段最短。

2.探索直线平行的条件

1.平行线的定义：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线（用符

号”1『表示,如48IICD）。

2.平行公理及推论：

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；

推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

（即QIIb,b||c,则a||c）o

3.直线平行的判定条件（重点）：

判定1：同位角相等，两直线平行（如乙1与乙5相等，则4BIICD）；

判定2：内错角相等，两直线平行（如乙3与乙5相等，则4BIIC0）；

判定3：同旁内角互补，两直线平行（如44与乙5互补，则||CO）；

补充判定：垂直于同一条直线的两条直线互相平行（即成c,加c,则Q||

b）o

4.同位角、内错角、同旁内角的识别：

同位角：截线同侧，被截线同一方向（形状呈'F理）；

内错角：截线两恻，被截线之间（形状呈“Z"型）；

同旁内角：截线同侧，被截线之间（形状呈“U”型）；

关键：找准截线和被截线，避免混淆三种角的位置关系。

3.平行线的性质

1.平行线的核心性质（与判定互逆，重点区分）：

性质1：两直线平行，同位角相等（如ABIICD,则乙1=25）；

性质2：两直线平行，内错角相等（如ABIICD,则乙3=乙5）；

性质3：两直线平行，同旁内角互补（如ABIICD,则乙4+乙5=180。）。

2.关键区别：判定是“由角的关系推直线平行”（角一平行），性质是“由直

线平行推角的关系”（平行-＞角）。

3.平行线的性质应用：

计算角度（如已知两直线平行，求未知角的度数）；

证明角相等、角互补（结合判定，进行双向唯理）；

拓展：平行线间的距离处处相等（两条平行线中，一条直线上任意一点到

另一条直线的距离都相等）。

二、复习重点

1.掌握同一平面内两条直线的位置关系，熟练识别对顶角、邻补角，牢记

其性质并能计算相关角度；

2.理解垂线的定义和性质，掌握点到直线距阂的概念，能准确画出垂线；

3.能熟练识别同位角、内错角、同旁内角，牢记直线平行的判定条件，能

运用判定证明两直线平行；

4.区分平行线的判定与性质，能运用性质计算角度、证明角的关系，实现

“判定”与“性质”的灵活运用；

5.能解决与相交线、平行线相关的实际问题，提升推理能力和计算能力。

三、易错点

1.混淆对顶角与邻补角的性质，误将邻补角当成相等的角，或忽略邻补角

的互补关系；

2.画垂线时，不标注垂足和垂直符号，或忽略“过一点''的条件；混淆“垂线

段”与“点到直线的距离”（垂线段是线段，距离是长度）；

3.识别三种角时，找错截线和被截线，导致角的类型判断错误（如将内错

角当成同位角）；

4.混淆平行线的判定与性质，出现“由平行推角相等”用成判定，”由角相等

推平行”用成性质的错误；

5.运用平行公理推论时，忽略“同一平面内八的前提（不同平面内，两条直

线都平行于第三条直线，不一定互相平行）；

6.计算角度时，忽略平行线的性质条件，或漏算对顶角、邻补角的关系，

导致结果错误。

第三章概率初步

一、核心知识点

1.感受可能性

1.事件的分类（按可能性大小）：

必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件（如太阳从东方升起），其发

生的概率为I;

不可能事件：在一定条件下，必然不会发生的事件（如掷一枚骰子，点数

为7）,其发生的概率为0；

随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件（如掷一枚硬币,

正面朝上），其发生的概率在。和1之间（0<P<l）o

2.随机事件的可能性大小：

随机事件发生的可能性有大有小，取决于事件本身的条件（如掷一枚质地

均匀的骰子，点数为1和点数为6的可能性相笔，点数为偶数的可能性大于点

数为奇数的可能性）；

能结合具体情境，判断随机事件发生的可能性大小，并用“一定”“很可

能，，，，可能，，，，不太可能，，，，不可能，，描述。

2.频率的稳定性

1.频率的定义：在几次重复试验中，事件<发生的次数m叫做事件A发

生的频数，频数与试验总次数的比（丝）叫做事件4发生的频率。

n

2.频率的稳定性：

在大量重复试验中，随机事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这

个常数叫做该随机事件发生的概率；

'成验次数越多，频率越接近概率（频率是概率的近似值，概率是频率的稳

定值）；

注意：频率是变化的（随试验次数变化），概率是固定的（客观存在，与试

验次数无关）。

3.频率的应用：通过大量重复试验，计算事件发生的频率，估计事件发生

的概率（如通过掷硬币试验，估计正而朝上的概率约为0.5）。

3.等可能事件的概率

1.等可能事件的定义：如果一个试验的所有可能结果只有有限个，且每个

结果发生的可能性都相等，那么这个试验叫做等可能试验，其中每个结果叫做

等可能事件。

2.等可能事件的概率公式（核心）：

事件4发生的结果数

概率公式:P(4)=所有可能发生的结果总数;

注意：公式适用的前提是“所有结果等可能”，若结果发生的可能性不相等,

不能直接用此公式。

3.常见等可能事件的概率计算：

掷一枚质地均匀的骰子：所有可能结果有6种（点数1-6）,每种结果等可

能，如P（点数为3）P（点数为偶数）=：="

662

掷一枚质地均匀的硬币：所有可能结果有2种（正面、反面），每种结果等

可能，尸（正面朝上）=*

摸球问题：若盒子中有几个质地均匀、大小相同的球，其中TH个红球，其

余为白球，则P（摸到红球）=彳。

4.概率的取值范围：任何事件的概率P（A）都满足OWP（A）（必然事

件p=l,不可能事件P=0,随机事件OVP<1）。

—、复习重点

1.能准确区分必然事件、不可能事件、随机事件，并用恰当的语言描述随

机事件发生的可能性大小；

2.理解频率与概率的关系，知道频率是概率的近似值，概率是频率的稳定

值，能通过大量重复试验估计概率；

3.掌握等可能事件的概率公式，能结合具体情境（掷骰子、掷硬币、摸球

等），准确计算等可能事件的概率；

4.能解决与概率相关的简单实际问题，结合频率估计概率，做出合理的判

断和决策；

5.牢记概率的取值范围，能判断概率计算结果的合理性。

三、易错点

1.混淆三种事件的分类，如将“掷一枚骰子，点数为偶数”误判为必然事件,

或将“太阳从西方升起”误判为随机事件；