正数与负数 讲义-人教版数学七年级上册

2023-2024学年人教版七年级上册第一章有理数讲义

1.1正数与负数

层级要求：）

④正数与负数在实际问题中的应用，并理解其意义（难点）

掌握③用正数、负数表示具有相反意义的量

理解|②正数、负数的定义，零表示的量的意义;重点）

山』①负数的产生与具有相反意义的量

基础知识详解

知识点一正数和负数的概念（重点）

出题角度1用定义判断正数与负数

例1.下列各数中哪些是正数？哪些是负数？

负数：-18,-0.002,-吉,-2jo

点拨：正数的正号可以省略不写，负数的负号不可省略，所以可以从负号上判断正数和负数，但要注意,

带负号的数不一定都是负数，如“一0”、“一（-1）”都不是负数。

出题角度2对正数、负数和0的意义的考查

例2.下列说法正确的是（）

A.一个数前面加上“-”号，这个数就是负数B.零既不是正数也不是负数

C.零既是正数也是负数D.若a是正数，则-a不一定就是负数

解析：A、负数是小于0的数，在负数和0的前面加上“-”号，所得的数是非负数，故A错误;

B、0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界点，故B正确；

C、。既不是正数也不是负数，是王数和负数的分界点，故C错误；

D、若a是正数，则a>0,-a<0,所以-a一定是负数，故D错误.

答案：B

点拨：解答此题的关键是弄清正数、负数和0的区别；正数是大于0的数，负数是小于0的数，0既不是

正数也不是负数.

出题角度3对用字母表示的数的正负性的判断

例3.若m表示一个数，那么-m一定是（）

A.负数B.正数C.0或负数D.无法确定

解析：此题要分三种情况当m=（）时，当m<0时，当m>0时分别计算出-m.

当i）=0时，-m=0,类讨论\

r思想”

当.VO时，-iii>0,

当m>0时，-m<0,

答案：I）

点拨：此题主要考查了用字母表示数，关键是要分情况进行讨论，注意不要漏解.

变式练习1.把下列各数分别填在对应的横线上:3,-0.01,0,-2,+3.333,-0.010010001-,+8,

-101.1,+10,-100。

其中：正数有：:

负数有：.

变式练习2.下列说法正确的是（）

A、零是正数不是负数B、零既不是正数也不是负数

C、零既是正数也是负数I）、不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数

变式练习3.我们用字母a表示一个有理数，试判断下列说法是否正确，若不正确，请举出反例.

（1）a一定表示正数，-a一定表示负数；

（2）如果a是零，那么-a就是负数；

（3）若-a是正数，则a一定为非正数.

知识点二用正数和负数表示具有相反意义的量

出题角度1用正数、负数表示相反意义的量

例4.用正数和负数表示下列具有相反意义的量：

收入为正，支出为负，收支平衡为0

零上为正，零下为负，分界为0

（1）钟表的指针逆时针方向旋转20。记作,向北：东）走为正，向南（西）走为负，原地不动为0

顺时针方向旋转30。记作：加分为正，扣分为负，不加不扣为0

逆时针为正，顺时针为负

超标为正，低标为负，标准为

（2）孔子出生于公元前551年，如果用-551年0

地上为正，地下为负，地面基准为0

表示，那么司马迁出生于公元前145年可表示盈余为正，亏空为负，收支平衡为0

水位上升为正，水位下降为负，水平面为0

为,欧阳修出生于公元1007年可表示为一高于平均分为正，低于平均分为负

年；增加为正，减少为负，不增不减为0

海平面以上为正，以下为负，海平面记为0

（3）运进200箱记作,运出150箱记

作.

解析：（1）根据逆时针旋转为负，顺时针旋转为正解答；钟表的指针逆时针方向旋转20°记作-20。，

顺时针方向旋转30°记作+3方；

（2）根据正数和负数的意义解答；

•・•孔子出生于公元前551年，用-551年表示，

・•・司马迁出生于公元前145年可表示为-145,欧阳修出生于公元1007年可表示为+1007年；

（3）根据运进为正数，运出为负数解答.运进200箱记作+200,运出150箱记作-150.

答案：（1）-20°,+30°；（2）-145,+1007；（3）+200箱，-150箱.

点拨：此题主要考查了TF负数的意义.解题关键是理解“正"和“负''的相对件.明确什么是一对具有

相反意义的量.在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.

变式练习4.孔子出生于公元前551年，如果用-551年表示，那么下列中国历史名人的出生年代应表示为：

（1）汉武帝出生于公元前156年：.

（2）李白出生于公元701年：.

（3）文天祥出生于1236年：.

出题角度2正数和负数在实际生活中的应用

例5.课桌的高度比标准高度高2亳米记作+2亳米，那么比标准高度低3亳米记作什么？

现有5张课桌，量得它们的尺寸比标准尺寸长1亳米，・1亳米，。亳米，+3毫米，・1.5亳米，若规定课

桌的高度最高不能高于标准高度2亳米，最低不能低于标准高度2亳米，才算合格，问上述5张课桌有几

张不合格？

解析：首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义：再根据题意作答.

解：（1）根据题意可得：比标准高度高为“+”，比标准高度低为“-”

所以比标准高度低3亳米记作：-3毫米;

（2）根据题意得：合格的课桌的高度h范围是-2WhW2.

所以，不合格的课桌只有1张：+3亳米的.

点拨：在同一个问题中，分别用正数和负数表示的量具有相反的意义，解决此类题目的关键是明确“一种

意义”的量对应的是正数还是负数，这样，我们就可以判断“另一种意义”的量对应的是正数还是负数了。

变式练习5.体育课上，对初三（1）的学生进行了仰卧起坐的测试，以能做24个为标准，超过次数用正数

来表示，不足的次数用负数来表示，其中10名女学生成绩如下：

5-2-130100，-5-1

（1）这10名女生的达标率为多少？

（2）她们共做了多少个仰卧起坐？

思维误区诊断

误区一对正数、负数的概念理解不透彻，容易误认为凡是带负号的数就是负数，凡是带正号的数都是正

数

133

例1：-4,0.5,0,—a（a<0）中，负数的个数是（）。

64

A.lB.2C.3D.4

错解：A或C或D13

正解：B（本题中的负数有一4,；共2个。）

6

错因分析：判断正数、负数时不要只根据符号来判断，而应根据正数、负数的概念。本题造成错解的原因

是对概念理解不透彻，易误认为带负号的数一定是负数，从而认为一a（a<0）是一个负数。

误区二对相反意义的量的理解错误

例2：下列各对量中，表示具有相反意义的量的是（）

A.购进50斤苹果与卖出一50斤苹果

B.高于海平面786m与低于海平面230m

C.向东走一9m和向西走10m

D.飞机上升100m与前进100m

错解：A或C或D正解：B

错因分析：购进50斤苹果与卖出一50斤苹果具有一样的意义，表示相同的量，所以A错；C与A同理,

也是错的；上升与前进不是相反的意义，所以D也错。

具有相反的意义的量，只要求意义相反，而不要求数量一定相等。“一”本身就是意义相反的意思。

误区三写相反意义的量时容易忽略了量的单位

例3：(1)如果收入100元记作-100元，那么支出180元记作

(2)零上15度记作+15口，那么零下20摄氏度记作；

(3)如果电梯上升了两层记作+2,那么一3表示电梯。

错解：(1)—180(2)-20(3)下降了三层。正解：(1)一180元(2)-201)(3)下降了

三层。

错因分析：在用正数、负数表示一对具有相反意义的量时，不要漏掉后面的单位。如(1)中若记作一180

那就错了，这是因为把一个量去掠后它后面的单位名称，就是一个数，而不再是一个量了。

误区四不清楚“0”所具备的性质而导致错误

对。的理解不深刻，只知道。既不是正数也不是负数，不知道它还是非正数，非负数，非正整数、非

负整数。

3

例4：在数一2.4,y,0,2007,一89,3.26中非负数的个数是()

A.3B.4C.5D.6

错解：A正解：B

错因分析：对非负数的概念理解不透彻，以为非负数就是正数，少算了0.

综合展示舞台

学霸笔记展示

0的意义

1.在小学，0表示“没有”或者“空”，引入负数以后，0有了丰富的含义，例如在温度计上，0C不是没

有温度，而是表示冰点，它是一个确定的温度。

2.0可以表示数位，如20,0.04中的0都表示数位。

3.在加减法中，一个数加，减0,得原数，等于不加不减。在乘除法中，。与任何数相乘，得到的积是0,

0被任何非0数除，得到的商仍然是零。

知识拓展：非负数指正数和。，非正数指负数和0：非负整数指正整数和0;非正整数指负整数和0。

1.0既不是正数，也不是负数.

2.0不再是我们认识中的“最小数”，而是变成了正数和负数的分界线。

3.0是自然数，是偶数，是最小的自然数，。也是整数。

能力拓展展示

能力拓展一正数、负数和0的作用

1.表示相反意义的量

例1.蜗牛爬杆，第一天白天前进3米，晚上后退2米；第二天白天前进4米，晚上后退5米：第三天白天

前进6米，晚上后退3米，请你将这个过程记录在表中.

第一天第二天第三天

白天晚上白天晚上白天晚上

假如蜗牛每天前进4米，晚上后退2米，从12米深的井底沿井壁向上爬，想一想蜗牛儿天爬到井口？

分析：此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：蜗牛前进记为正，蜗牛后退就记为负，直接得

出结论填表即可；

蜗牛每天前进4米，记作+4米，晚上后退2米，记作・2米，4・2=2（米），每天前进了2米，从12米深

的井底沿井壁向上爬，求蜗牛几天爬到井口，因为最后的4米，蜗牛已经爬到井口，不必再后退，所以用8

除以2取得的天数加最后的1天，如下图所示，即可得解.

解：

第一天第二天第三天

白天晚上白天晚上白天晚上

+3米・2米+4米-5米+6米-3米

8-r（4-2）=4（天），

4+1=5（天）：

答：蜗牛5天爬到井口.

答案：+3米，-2米，+4米，-5米，+6米，-3米.

2.表示时间

例2.根据北京时间与其他地方时间差填空.

痔地球以*IS度花围

均为一个时区•全球分

为24个“区•杷锦“区

】小时.

HXX)06:0007K»15:00

北京伦敦巴黎东京

与北京时间比:

悉月时间早2小时，记为+2时；东京时间早小时，记为时；巴黎时间晚小时，

记为时；伦敦时间晚小时，记为时.当北京时间为15：00时，悉尼时间为时.

解析：此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：选北京时间为标准，早的记为正，则晚的就记

为负，直接得出结论即可.与北京时间比：

悉尼时间早2小时，记为+2时；东京时间早1小时，记为+1时；巴黎时间晚7小时，记为-7时；伦敦时

间晚8小时，记为-8时.当北京时间为15：00时，悉尼时间为17：00时;

答案：1,+1,7,-7,8,-8,17：00.

点拨：此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它

意义相反的就为负.

3.表示误差

例3.在一种零件的直径在图纸上是10±0.05（单位：mm）,表示这种零件的标准尺寸是mm,

加工要求最大不能超过mm,最小不能超过mm.

解析：根据题意先确定这种零件的标准尺寸是10mm,再根据这种零件的直径在图纸上是10±0.05（单位:

mm）,从而判断出加工要求最大不能超过10.05mm,最小不能超过10-0.0S=9.9Smm.

，本题应填10,10.05,9.95.

点拨：本题考查了正数和负数，解题的关键是先确定零件的标准尺寸，然后根据图纸的要求去做即可.

4.表示涨跌（盈亏）

例4.下表记录了某星期内股市的升跌情况，该股市星期一开盘时为4560点，请完成下表:

时间升跌情况用正、负数表示

星期一上升100点

星期二下跌50点

星期三上升40点

星期四下跌30点

星期五上升10点

分析；上升和下跌是一对意义相反的量，上升用正数表示，则二跌用负数表示，表示中空白处用正、负数

表示为：+100,-50,+40,-30,+10；股市每天收盘时的点数，上升则用开盘时的点数加上上升的点数，

下跌则减去下跌的点数，所以股市星期五收盘时的点数为：4560+100-50+40—30+10=4630.

解：表中分别填+100,-50,+40,-30,+10,星期五收盘时为4630点。

点拨：在实际生活中常用正、负数表示相反意义的量。本题要理解“上升”与“下跌”的意义，以及每天

收盘时“点数”之间的关系。

5.表示测试成绩

例5.数学竞赛成绩80分以上为优秀，以80分为基准，可简记如下：85记作+5,74分记作-6。若某班八名

学生参赛的成绩简记为：+10,+7,+3,(),-2,-3,-4,-6,则这八名学生的成绩分别是多少？

分析：这道题要求写出八名学生的成绩，由题意可知，当简记的分数为正数时，表明成绩比80分高；当简

记的分数为零时，表明成绩成绩刚好是80分；当简记的分数为负数时，表明成绩比80分低。所以只要用

80分加上或减去正、负号后的相应数值，就可得到每个学生的成绩。

解：由题意知，这八名学生的成绩依次是：90,87,83,80,78,77,76,74。

6.表示生活中的距离

例6.甲村旁有一条南北走向的柏油马路，如果乙村在甲村南1km,丙村在甲村北2km,怎样用正数、负数

和0表示这三个村子的正确位置？

解析：三个村子的位置如图，为了用正数、负数和0表示这三个村子的正确位置，可模仿温度计上表示气

温的方法，先选一个村子作为起始点，再确定另两个村子的位置。

南乙甲丙北

解：如果选甲村作为起始点，向南为正，向北为负，则甲村的位置为0km,乙村的位置为+1km,丙村的位

置为一2km。

如果选乙村作为起始点，向南为正，向北为负，则乙村的位置为0km,甲村的位置为一1km,丙村的

位置为一3km。

如果选丙村作为起始点，向南为正，向北为负，则丙村的位置为0km,甲村的位置为2km,丙村的位

置为3knu

点拨：答案不唯一，此类题一定要先确定起始点和正反方向，再表示各个建筑的位置。

能力拓展二正数与负数中数字的变化规律探究

例7.观察下面的一列数：1,1,-i,1,…请你找出其中的规律，解答：

234567

(1)第9个数是多少？第14个数是多少？

（2）第2010个数是多少？

（3）如果这一组数据无限排列下去，与哪两个数越来越接近？

分析：（1）分母逐渐增加，分子第偶数个是负的，并且是偶数，第奇数个是1,并且为正，由此即可确定

第9个数是和第14个数是多少；

（2）利用（1）的规律即可求解;

（3）根据变化的规律可以确定分别于。和-1越来越接近.

解：（1）观察下面的一列数：A,-i,1,-1,1,一@…，

234567

团第9个数是工，第14个数是-超；

1015

（2）第2010个数是-型”；

2011

（3）如果这一组数据无限排列下去，与0、-1越来越接近.

点拨：此题主要考查了数字的变化规律，其中解题时通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用

发现的规律解决问题是应该具备的基本能力.

中考真题展示

1.如果温度上升2（3记作+2（3,那么温度下降3团记作（）

A.+20