2026北师大版八年级数学下册一课一练：直角三角形（课时练习试卷）附答案

13直角三角形分层练习（学生版）

基础过关练

题型一直角三角形的两个锐角互余

1.在RtZX/BC中，ZC=90°,若4=26。，则N4的度数是（）

A.26°B.44°C.54°D.64°

2.如图，在MBC中，乙4。8=90。，CO是高，4=30。，若BD=4,则的长度为（）

3.在一个直角三角形中，己知一个锐角比另一个锐角的4倍多15。，则两个锐角分别为

4.如图，在△48C中，4B=AC,Z^=40°,CD工于点、D,则NDCB=°

5.如图，在。中，力。为边8C上的高，Z5JC=90°,^CAD=35°.

（1）求/48c的度数.

（2）若斜边8c在直线Er上，请直接写出4b的度数.

题型二锐角互余的三角形是直角三角形

1.在△48。中，ZJ=izB=|zC,则△44c是（）

A.等边三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

2.由下列条件不能判断JBC是直角三角形的是（）

A.NA+/B=/CB.一个外角等于和它相邻的一个内角

C.N/1:28:NC=3:4:5D.AB2=BC2+AC2

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13直角三角形分层练习（学生版）

3.一个三角形中，如果两个角的和为90。，那么第三个角是。，这个三角形是

三角形.

4.在ZUAC中，4=40。，ZC=50°,贝Ij/B=。，△/BC是三角形.

5.若三角形的一个内角等于与它相邻的外角的且这个内角与另一个内角互余，则这个三角形

是三角形.

6.若MBC中，==则NC=。，。是三角形.

7.如图，ASCD,垂足为4,七是线段力。上一点，CE交于F,Z/f=ZC.求证：△成〃是直

角三角形.

题型三写出命题的逆命题

1.命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题可表述为.

2.“等腰三角形的两个底角相等”这个命题的逆命题是.

3.命题“若”=0,则》=（）或尸0.”的逆命题为.

4.写出“如果Q3那么的逆命题..

5.写出命题“两直线平行，对顶角相等”的逆命题.

6.命题“正多边形的各边相等”的逆命题是：.

7.命题“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题.（填写“成立”或“不成

立”）

8.写出命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题，并判断逆命题的真假.

9.（1）证明：等腰三角形两底角的角平分线相等；

（2）写出这个命题的逆命题：,它是一个命题（填“真”或"假”）.

题型四判断是否为互逆命题

1.“直角都相等”与“相等的角是直角”是（）

A.互为逆命题B.互逆定理C.公理D.假命题

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13直角三角形分层练习（学生版）

2.下列命题的逆命题正确的是（）

A.对顶角相等B.直角三角形两锐角互余

C.全等三角形的对应角相等D.全等三角形的面积相等

3.两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的,而第一个命题的结论是第二个命

题的,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题

叫做它的.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的.

4.命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为。，b,斜边长为*那么命题2：

如果一个三角形的三条边长分别为。，b,c,且/+力2=/,那么这个三角形是直角三角形.则命

题1与命题2是命题.

5.写出下列命题“若p,则夕''的形式，写出它的逆命题并判断它们的真假.

（1）全等三角形的对应边相等；

（2）互为相反数的两个数的和为零.

题型五定理与证明

1.下面关于公理和定理的说法正确的是（

A.公理是真命题，但定理不是B.公理就是定理，定理也是公理

C.公理可作为证明其他定理的依据D.公理和定理都应经过证明后才能使用

2.“等角的余角相等”是（）

A.定义B.不确定C.定理D.假命题

3.下列关于命题与定理的说法：

①一个条件命题一定有逆命题；②真命题一定是定理；

③真命题的逆命题一定是真命题；⑷假命题的逆命题一定是假命题.

正确的是（）

A.①B.②C.③D.@

4.下列所学过的真命题中，是公理的是（）

A.邻补角互补

B.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

C.两数相乘，同号得正

D.同角的余角相等

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1.3直角三角形分层练习（学生版）

5.下列语句中，属于定理的是（）

A.在直线46上取一点EB.如果两个角相等，那么这两个角是对顶角

C.内错角相等D.同角的补角相等

6.下面关于公理和定理的说法不正确的是（）

A.公理和定理都是真命题B.真命题可能是定理

C.公理就是定理，定理也是公理D.公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明

7.下列命题可以作定理的有个.

①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能皱6整除;

1Q.7

③x=5是方程：工+7=个v的根；④三角形的内角和是180,.

2o

题型六互逆定理

1.下列定理中，没有逆定理的是（）

A.两直线平行，同位知相等B.三个角都相等的三角形是等边三角形

C.全等三角形的对应角相等D.等角对等边

2.下列有关逆命题与逆定理的说法错误的是（）

A.”直角三角形两锐角互余”的逆命题是真命题

B.“全等三角形的对应角相等”的逆命题是真命题

C.“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行”

D.“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理

3.下列定理中，有逆定理的是（）

A.对顶角相等

B.全等三角形的对应角相等

C.两个全等三角形的面积相等

D.平面内，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等

4.定理“如果两个三角形全等，那么它们的三条边对应相等”的逆定理是（）

A.如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等

B.对应角相等的两个三角形全等

C.对应边不相等的两个三角形不全等

D.全等三角形的对应边相等

5.“互逆定理”是指两个定理之间的关系，其中一个定理是另一个定理的

6.一个定理有逆定理的条件是这个定理的是真命题.

7.定理”等角的补角相等”（填“有”或“没有”）逆定理.

8.定理“平行四边形的每一组邻知都互补”的逆定理是：.

9.定理“如果那么a+c>b+c”的逆定理是：.

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1.3直角三角形分层练习（学生版）

能力提升练

题型一角平分线与直角三角形问题

1.如图，〃="=90。，河是AC的中点，0M平分/力。。，且4。。=100。，则NZWC的度数是（）

2.在△Z8C中，4=40。，2c=60。,4）和NE分别为MBC的高线和角平分线,那么ND4E的度数

为（）

A

3.如图，在△力8c中，力力/5C,是/8/C的平分线，N〃=70。，ZA4C=86。，贝ljNDAE=

4.如图，在Rt△川?C中，NC43=90。，4=70。，//是/C/4的平分线，交边BC于点D.过点C

作“CD中AD边上的高CE,则NECD的度数为.

5.如织，在中，/OJ_8C于点。，IBC的角平分线5E交力。于点O,已知/C=60。,/氏4。=50。,

求//E8的度数.

BDC

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6.如图，在中，〃=50。，ZC=70°,4。平分/比IC,E为AD上一点,EFJ.BC'F.

⑴求N2的度数.

（2）求NO■的度数.

题型二平行线与直角三角形问题

1.将一块含有30。的直角三角板叠放在如图所示的直尺上，则N1+N2的度数为（）

C.90°D.105°

CD//BA.若4=52。，则N/CQ的度数为

3.如图，直线aHb,直线c交直线4于点4交直线力于点8,CQ_L直线c,若Nl=40。，则N2的

4.如图，AB//CD,EF交AB于点、G,过点F作FH工EF交于点H,连接,若EH平分NFED,

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13直角三角形分层练习（学生版）

5.已矢口：如图，X。是△相。的高，点E在力C上，G在48上，N2+NC=90。，Zl=Z2.求证：GD//AC.

6.如图，N8CO的平分线交N48C的平分线于点M,交于点N,若NCMB=90。.

⑴求证：AB//CD.

⑵若CN=6,CB=5,求△C8N的面积.

7.如图，在△/&?中，AB=ACfADJ.BC于点D.

⑴若4=39。，求NCW的度数;

⑵若点上在边彳。上，所〃相交力。的延长线于点尸，请说明△力石尸的形状.

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题型三特殊直角三角形问题

1.一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸，如图所示，已知N.4C8=90。，点

力，D,8对应的刻度数依次为0,4,8,贝lJCO=（）

2.如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为30。的斜坡，已知幺5=200m,点。为4?的中点，从力滑行

至8的过程中，下列说法错误的是（）

B.为等边三角形

D.整个过程中下降的高度为100Vim

3.如图，在RtZ\"E中，44=90。，/8=60。，BE=lOf。是边花上的一个动点，以。为顶点作

/EZ）C=30。，点C在边8七上，则CO的长度可以是（）.

A.4B.6C.8D.10

4.如图，在△力8c中，乙4=90°,AB=AC,AC=8,"为辿5c的中点，点£,”分别在边力4,AC

上，AE=CF,则四边形力灯W的面积为（)

C.8D.4y12

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13直角三角形分层练习(学生版)

5.一副三角板如图所示摆放，C,3,E三点共线，/。=/产=9()。，4=60。，4FDE=45。.若/必8=62。,

则/的度数为.

6.如图，在等腰RtZ\49C中，/B4C=90。，AB=AC=6,。是8。边上的一个动点，连接力。，则力力

的最小值为

7.已知沙夕。为等腰直角三角形，4B=AC，MOE为等腰直角三角形，AD=AE,点。在直线8C

上，连接C£.

(1)若点。在线段8。上，如图1,求证：CE=BC-CD；

⑵若。在C8延长线上，如图2,其他条件不变，线段CE、BC、C。有怎样的关系？说明理由；

(3)若。在C8的反向延长线上，如图3,其他条件不变，写出线段“、BC、。。的关系并证明.

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拓展培优练

题型一直角三角形的综合应用

1.定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的3我们称这两个角互为“友爱角”，这个

三角形叫作“友爱三角形例如：在中，如果4=8。。，4=40。，那么//I与互为“友爱

角”，ZU8C为“友爱三角形”.

图1图2

(1)如图1,△力8C是“友爱三角形”,且乙4与4互为“友爱角”),乙4cB=90。.

①求/力、NE的度数.

②若是MB。中48边上的高，则“C。、△4CO都是“友爱三角形”吗？为什么？

(2)如图2,在△川?C中，48=70。，4=66。，。是边居上一点(不与点力，4重合)，连接CQ,

若△力CQ是“友爱三角形”，直接写出/力C、。的度数为.

2.定义：在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角的我们称这两个角互为“和谐角”,

这个三角形叫作“和谐三角形”.例如:在△力8C中，如果4=70。,N6=35。,那么-4与N力互为”和

谐角"，ZUBC为“和谐三角形”.

(1)如图①，△48c中，4c8=90。，4=60。，。是线段43上一点(不与点43重合)，连接CD.

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1.3直角三角形分层练习（学生版）

①（填“是”或“不是”）“和谐三角形”；

②若请判断△3C，。是否为“和谐三角形”，并说明理由.

（2）如图②，ZUBC中，4c5=60。，4=80。，。是线段18上一点（不与点4,8重合），连接CD.若

△4CZ）是“和谐三角形”，则4CZ）的度数为.

⑴如图1,若NB4c=90。，点、。为“BC外一点,且NDR4=NDC4,连接40,过点。作4。的垂线交

力。于E,交DC于点、N,交8。的延长线于点M.

①猜想4QC的度数，并证明你的猜想；

②连接4N（自己连），求证：AN工DC.

（2）如图2,若/B4c=60。，点P、。分别是力。、4c上的动点，且连接3P、BR,当5P+80

最小时，求N。4P的度数.

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13直角三角形分层练习（学生版）

4.在△力8c中，4cB=90。，4C=BC,点。为48的中点，点E是4C上一点.连接,过。作_LOE

交.BC,于尸，连接七八

⑴如图1.石厂与C。相交于点G;

①求证：AE=CF；

②当4D=CE,Z）G=6拒-6时，求力C的长.

AQ

（2）如图2,点〃为4c上一点，且NCME=2N/QE,AE：CE=2：5,求二的值.

ME

5.初二某班开展数学综合与实践活动，遇到了如下几个问题：

问题1:在RtA"C中，440=90。，。是/C中点，证明：AO=BO.

老师给学生们提示解这类问题的思路：条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑“倍长”中线,

或通过引平行线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.

（1）请利用以上思路完成该证明.

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1.3直角三角形分层练习（学生版）

问题2：有这样一个数学故事，从前，一群海盗用船装着他们抢来的财物，来到一个荒岛上，要把

这些财物埋下.因为怕时间久了会被人发现，所以他们来不及画标记位置的藏宝图了.但海盗们发

现，岛上有三棵树，力，B,。海盗头对一个水手说：“从力到8拉一根绳子，然后从8出发，沿着

垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度.这一点叫做1号地点.“海盗头又对另一

个水手说：”从力到C拉一根绳子，然后从C出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这

段绳子的长度.这一点叫做2号地点.”第二个水手也这样做了.等水手找到1号、2号地点的时

候，海盗头便下令说：“伙计们，我们把财宝埋在这两点的正当中吧！”海盗们把财宝埋好了，上船

走了.

（2）设1号地点为点。，2号地点为点E,埋藏财宝的地点为点尸，连接8C、FC、RF,判断VCr

的形状，并证明.

（3）过了几个月，其中一个水手想利用这笔财宝救助难民，于是就偷偷回到岛上.可树/被台风

刮走了，没有留下一点儿痕迹，只有另外两棵树8、。还在，水手非常懊恼.请你利用作图的方式,

帮助池找到藏宝的地点，并简要说明理由.

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1.3直角三角形分层练习（解析版）

基础过关练

题型一直角三角形的两个锐角互余

1.在RtZX/BC中，ZC=90°,若4=26。，则N4的度数是（）

A.26°B.44°C.54°D.64°

【答案】D

【分析】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余.

根据直角三角形两锐角互余即可求解.

【详解】解：,/在Rt△力3c中，ZC=90。,AA=26°,

NB=90°-ZA=90°-26°=64°,

故选：D.

2.如图，在MBC中，4c8=90。，CO是高，4=30。，若BD=4,则48的长度为（）

【答案】D

【分析】本题考查了含30度直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握相关性质是解题

关键：由题意得N4C£>=30。，贝113。=24。=8,再可得力4=28C,即可求解.

【详解】解：VZJCZ?-90°,ZJ-300,

:.ZB=90°-ZJ=60°,

•・・C。是RC48C的高，

NBCD=90。—NB=30。,

：.BC=2BD=*,

'：乙4cB=90。,N/=30°,

AB=2BC=\6,

故选：D.

3.在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的4倍多15。，则两个锐角分别为.

【答案】15。和75。

【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，几何问题（一元一次方程的应用），解题关键是

掌握上述知识点并能运用来求解.

通过设未知数，列方程求解两个锐用的度数.

【详解】解：设较小的锐角为x。，

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1.3直角三角形分层练习(解析版)

则较大的锐角为(公+15)。.

根据直角三角形两锐角互余，得x+(4x+15)=90.

解得：x=15,

则4工+15=75.

故两个锐角分别为15。和75。，

故答案为：15。和75。.

4.如图，在中，AB=AC,Z/f=40u,CD工/IB于点D,贝lj"

【答案】20

【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等、

直角三角形两锐角互余是解题的关键.

先根据等腰三角形性质求出底角/B的度数，再结合直角三角形两锐角互余求出NOC8.

【详解】解：:/C,/力=40。，

180-40°

/B=/ACB=~T~=70%

・.•CDA.ABf

：.ZBDC=90°,

ANDCB=90°-NB=90°-70°=20°,

故答案为：20.

5.如图，在△48。中，为边8C上的高，Z5JC=90°,NCW=35。.

(1)求。的度数.

(2)若斜边3c在直线a上，请直接写出4c〃的度数.

【答案】(1)35。

(2)125。或55。

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13直角三角形分层练习（解析版）

【分析】本题主要考瓷了三角形的高，直角三角形两锐角互余，解题的关键是熟练掌握直角三角形

的性质.

（1）根据三角形高的定义得出乙W4=4DC=90。，根据/。。=35。得出4。=90。-/。。=55。，

根据NBNC=90°，求出结果即可;

（2）分两种情况：当点尸在点。的右侧时，当点F在点C的左侧时，分别求出结果即可.

【详解】（1）解：・・・4D为边6c上的高，

ZADB=ZADC=90。,

•//CAD=35°,

4cB=900-NCW=55。,

ZBAC=90°t

：.48C=900-4C8=35。；

（2）解：当点尸在点。的右侧时,

NACF=180°-ZJC5=180°-55°=125°；

当点/在点C的左侧时，ZACF=ZACB=55°.

题型二锐角互余的三角形是直角三角形

1.在△力中，Z/1=-ZZ?=-ZC,则△ABC是（）

23

A.等边三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

【答案】B

【分析】本题考查直角二角形的判定.

由三角形的内角和定理，结合已知可得NC,即可求解.

【详解】解：:在△/[&:中，zj=|z5=1zc,

/.ZB=2Z/1,NC=34,

・・・4+24+34=180°,

4=30。，

・•・/£=30°x2=60。，ZC=30°x3=90°,

是直角三角形.

故选：B.

2.由下列条件不能判断△相。是直角三角形的是（）

A.NA+NB=/CB.一个外角等于和它相邻的一个内角

C.ZJ:Z5:ZC=3:4:5D.AB2=BC2+AC2

【答案】C

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1.3直角三角形分层练习（解析版）

【分析】根据判断三边能否构成直角三角形，三角形内角和定理的应用，锐角互余的三角形是直角

三角形，三角形的外角的定义及性质等知识，对各选项逐一验证，是否满足直角三角形条件，再作

出判断.

【详解】解：・・,三角形内角和为180。，

则4+/8+NC=2/C=180°,

・・・NC=90。，能判断为直角三角形，

故A不符合；

一个外角等于相邻内角，设外角为相邻内角为/力，

则ND=NA,

又/。=180。-4,

・・・180。-4=44,

即24=180。，

・・・4=90。，能判断为直角三角形,

故B不符合；

\・4:28:/。=3:4:5,

.,・设乙1=34，4=4%,NC=5〃，

则3A+必+5左=12片=180°,

・・・左=15。,

・•・/月=45。，/8=60。，ZC=75°,无90。角，

・•・不能判断为直角三角形，

故C符合；

AB2=BC2+AC\由勾股定理逆定理，ZC=90°,

・••能判断为直角三角形，

故D不符合，

故选：C.

【点睛】本题考查了判断三边能否构成直角三角形，三角形内角和定理的应用，锐角互余的三角形

是直角三角形，三角形的外角的定义及性质等知识,解题关犍是掌握上述知识点并能熟练运用求解.

3.一个三角形中，如果两个角的和为90。，那么第三个角是。，这个三角形是

三角形.

【答案】90直角

【分析】本题考查直角三角形的判定.

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13直角三角形分层练习（解析版）

由三角形的内角和定理，结合已知可得第三个角的度数，即可判断三角形的类型.

【详解】解：・・•一个三角形中，两个角的和为90。，

第三个角是180。-90°=90°,

・・・这个三角形是直角三角形.

故答案为：90,直角.

4.在中，4=40。，ZC=50°,贝吐8=°,△48。是三角形.

【答案】90直角

【分析】本题考查直角三角形的判定.由三角形的内角和定理，结合已知可得即可判断三角

形的类型.

【详解】解：•・•在△/9c中，4=40。，ZC=50°,

，/8=180。-40。-50。=90。，

・・・"8C是直角三角形.

故答案为：90,直角.

5.若三角形的一个内角等于与它相邻的外角的且这个内角与另一个内角互余，则这个三角形

是三角形.

【答案】直角

【分析】本题考查了两个锐角互余的三角形是直角三角形.本题通过外角与内角的关系及互余条件

联立方程，求出各内角度数，法而判断三角形类型.

【详解】解：设这个内角为x,则相邻外角为2》，而内角与外角的和为180。，

Ax+2x=180°,

解得：x=60。，

设另一个内角为九根据互余条件：60。+歹=90。，

”30。，

此时第三个内角为：180。-60。-30。=90。，

・•・这个三角形是直角三角形；

故答案为：直角.

6.若△45。中，ZJ=1z/?=30°,则NC=。，•是三角形.

【答案】90直角

【分析】本题考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定.

利用三角形内角和定理求出NC的度数，再根据角度关系判断三角形的类型.

【详解】解：在“8C中，4+/8+NC=180。.

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1.3直角三角形分层练习（解析版）

•••ZJ=-Z5=30°

2

.•.4=30。，4=60。，

则NC=180°-30°-60°=90°.

・•・“8C是直角三角形.

故答案为：90,直角.

7.如图，ABLCD,垂足为6,我是线段力。上一点，CE交相于尸，乙4=NC.求证：△CEO是直

角三角形.

【答案】见解析

【分析】本题考查了三角形内角和以及直角三角形的判定，用三角形的内角和求得

NAEF=4CBF=90°可.

【详解】证明：•.F4J_CO,

/.ZC5F=90°,

vZ.A4ZAEF+AAFE=180°,ZC+Z.CFB+Z.CBF=180°,

:"AEF=I80°-ZJ-AAFE,ACBF=180°-ZC-/CFB,

•/ZJ=ZC,4FE=NCFB,

:ZEF=NCBF=90。，

「.△CEO是直角三角形.

题型三写出命题的逆命题

1.命题“直角三角形两锐角互余''的逆命题可表述为.

【答案】两个锐角互余的三角形是直角三角形

【分析】本题考查了逆命题的定义，掌握互逆命题的定义是解题的关键.找出原命题的题设和结论,

交换后即可得逆命题.

【详解】解：原命题的题设：三角形是直角三角形，结论：两个锐角互余，

交换题设和结论后，逆命题为：两个锐角互余的三角形是直角三角形.

故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形.

2.“等腰三角形的两个底角相等”这个命题的逆命题是.

【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形

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13直角三角形分层练习（解析版）

【分析】本题考查逆命题，将原命题的题设和结论互换，写出逆命题即可.

【详解】解：“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是有两个角相等的三角形是等腰三角形；

故答案为：有两个角相等的三角形是等腰三角形.

3.命题“若xy=O,则x=0或k0.”的逆命题为.

【答案】若x=0或y=0,则中=0

【分析】本题考查了命题和逆命题，将原命题的条件和结论互换即可求解，找出原命题的条件和结

论是解题的关键.

【详解】解：命题“若4=0,则X=（）或尸。.”的逆命题为“若工=。或尸。，则孙=0"，

故答案为：若工=0或y=o,则到=0.

4.写出“如果那么/>/产的逆命题..

【答案】如果02>巴那么”6

【分析】本题考查写出逆命题，根据逆命题的定义，将原命题的题设和结论互换即可.

【详解】解：原命题的题设是结论是％2>〃”，互换后得到逆命题“如果那么〃>/,，，.

故答案为：如果a2>b2,那么a>b.

5.写出命题“两直线平行，对顶处相等''的逆命题.

【答案】如果对顶角相等，那么两直线平行

【分析】本题考查了写逆命题.

逆命题是通过交换原命题的条件和结论而得到的新命题.原命题“两直线平行，对顶角相等”是一个

条件命题，可以表述为“如果两直线平行，那么对顶角相等

【详解】解：原命题的条件是“两直线平行”，结论是“对顶角相等“，

交换条件和结论，得到逆命题“如果对顶角相等，那么两直线平行”.

故答案为：如果对顶角相等，那么两直线平行.

6.命题“正多边形的各边相等”的逆命题是：.

【答案】各边相等的多边形是正多边形

【分析】本题考查了互逆命题，逆命题是将原定理的条件和结论互换，原命题的条件是“正多边形”,

结论是“各边相等”，因此逆命题是“各边相等的多边形是正多边形”.

【详解】解：命题“正多边形的各边相等''的逆命题是“如果多边形的各边相等，那么它是正多边形”,

故答案为：各边相等的多边形是正多边形.

7.命题“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等''的逆命题.（填写“成立”或“不成立”）

【答案】不成立

【分析】本题主要考查了逆命题、判断命题真假等知识点，灵活运用举反例判定命题是假命题是解

题的关键.

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1.3直角三角形分层练习（解析版）

先写成逆命题，再通过反例判断逆命题的真假即可解答.

【详解】解：原命题的逆命题是“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”.举反例，如

|1|=卜1|=1,但1工一1,所以逆命题不成立.

故答案为：不成立.

8.写出命题“两直线平行，同位角相等''的逆命题，并判断逆命题的真假.

【答案】逆命题：同位角相等，两直线平行；真命题

【分析】本撅主要考杳的是写出一个命题的逆命题的方法的知识点，简单概括为条件和结论互相交

换位置就是互逆命题的联系，此命题和逆命题都是常见的平行线的判定和性质，都是真命题.

【详解】解：•・•原命题的题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”，

・•・交换题设和结论得到逆命题：“同位角相等，两直线平行”，

这个逆命题是真命题，是平行线的判定定理.

故答案为：逆命题：同位角相等，两直线平行；真命题.

9.（1）证明：等腰三角形两底角的角平分线相等；

（2）写出这个命题的逆命题：,它是一个命题（填“真”或“假”）.

【答案】（1）见详解

（2）如果一个三角形的两个底角的角平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形，真

【分析】（1）利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定定理证明两条角平分线相等；

（2）写出原命题的逆命题并判断其真假即可.

【详解】（1）证明：设等腰二角形疑。中，AB-AC,6。为/5的角平分线，。笈为“C的角平分

线，如下图，

AB=AC

：.ZABC=ZACB

•:BD平分NABC,CE平分N/CB

Z.ABD=Z.DBC=-N4BC,Z.ACE=4ECB,

22

...ZABD=ZACE

在AABD和中

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1.3直角三角形分层练习（解析版）

乙4二4

<AB=AC

NABD=NACE

^ABD^ACE(ASA),

BD=CE-

（2）逆命题：如果一个三角形的两个底角的角平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形

它是一个真命题.

故答案为：如果一个三角形的两个底角的角平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形，真.

题型四判断是否为互逆命题

1.“直角都相等''与"相等的角是直角''是（）

A.互为逆命题B.互逆定理C.公理D.假命题

【答案】A

【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可.

【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等”

“相等的角是直角'’的条件是“两个角相等”，结论是“这两人角是直角”

条件和结论互换，所以是互为逆命题.

定理.：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题,

所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理.

故选：A.

【点睛】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键.

2.下列命题的逆命题正确的是（）

A.对顶角相等B.直角三角形两锐角互余

C.全等三角形的对应角相等D.全等三角形的面积相等

【答案】B

【分析】先分别写出第个选项的逆命题，再判断其是否正确.

【详解】解：A的逆命题是：相等的角是对顶角，假命题；

B的逆命题是：两锐角互余的三角形是直角三角形，真命题：

C的逆命题是：对应角相等的三角形是全等三角形，假命题；

D的逆命题是：面积相等的三角形是全等三角形，假命题；

故选：B.

【点暗】本题主要考查了学生对逆命题以及真假命题的定义的理解，要求学生对常用的基础知识牢

固掌握，比较简单.

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1.3直角三角形分层练习（解析版）

3.两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的,而第一个命题的结论是第二个

命题的,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个

命题叫做它的.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的

【答案】结论条件逆命题逆定理

【分析】根据互逆命题的定义：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一

个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命

题，那么另一个命题叫做它的逆命题.以及定理的逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明

是正确的，那么就叫它是原定理的逆定理，进行作答即可.

【详解】解：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第

二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命

题叫做它的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的逆定理.

故答案为：结论，条件，逆命题，逆定理.

【点睛】本题考查互逆命题，以及定理的逆定理.熟练掌握相关知识点，是解题的关键.

4.命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为b,斜边长为*那么命题2：

如果一个三角形的三条边长分别为b,C,且/+〃=/,那么这个三角形是直角三角形.则命

题1与命题2是命题.

【答案】互逆

【分析】根据互逆命题的定义直接得出的答案，在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一

个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题.

【详解】根据互逆命题的定义可知命题1与命题2是互逆命题，

故答案为：互逆

【点睛】本题考查了互逆命题的定义，理解定义是解题的关键.

5.写出下列命题“若p,则夕”的形式，写出它的逆命题并判断它们的真假.

（1）全等三角形的对应边相等；

（2）互为相反数的两个数的和为零.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】本题考查命题书写及判断真假：

（1）先根据题意找到题设结论,写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案：

（2）先根据题意找到题设结论.写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案：

【详解】（1）解：由题意可得，

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1.3直角三角形分层练习（解析版）

“若〃，则夕''的形式：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应边相等，

•.•三年形全等对应边相等，

该命题是真命题，

逆命题：若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等，是真命题；

（2）解：由题意可得，

“若p,则行的形式：若两个数互为相反数，则它们的和为零，

•・.两个互为相反的数和为0,

•*.是真命题，

逆命题：若两个数的和为零，则它们互为相反数，是真命题.

题型五定理与证明

1.下面关于公理和定理的说法正确的是（）

A.公理是真命题，但定理不是B.公理就是定理，定理也是公理

C.公理可作为证明其他定理的依据D.公理和定理都应经过证明后才能使用

【答案】C

【分析】本题考查公理和定理的定义，解题的关键是明确公理与定理的核心区别（是否需要证明）

及相互关系.

根据公理和定理的定义，逐一分析各选项的正确性.

【详解】公理是公认的真命题，无需证明，可作为证明其他定理的依据；定理是经过公理或已有定

理证明的真命题.

A：公理和定理都是真命题，此说法错误；

B：公理与定理定义不同，并非等价概念，此说法错误；

C：公理可作为证明其他定理的依据，此说法正确；

D：公理无需证明即可使用，此说法错误.

故选：C.

2.“等角的余角相等”是（）

A.定义B.不确定C.定理D.假命题

【答案】C

【分析】本题考查几何命题的分类、余角的定义，根据余角的定义进行判断即可.

【详解】解：设4=N8,则N.4的余角为:90°-ZJ,N5的余角为90。-4,

/.90。-/4=90。一//?,

即等角的余角相等，

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13直角三角形分层练习（解析版）

・•・”等角的余角相等“是一个真命题，且是经过证明的，故为定理，

故选：C.

3.下列关于命题与定理的说法：

①一个条件命题一定有逆命题；

②真命题一定是定理：

③真命题的逆命题一定是真命题；

④假命题的逆命题一定是假命题.

正确的是（）

A.①B.②C.③D.©

【答案】A

【分析】本题考查了命题与定理的基本概念，包括逆命题的存在性、真命题与定理的关系，以及逆

命题的真假性，熟练掌握相关概念是解题关键.根据逆命题的存在性、真命题与定理的关系，以及

逆命题的真假性逐个判断即可得.

【详解】解：①对于任何一个条件命题，都可以通过交换它的条件和结论得到其逆命题，所以一个

条件命题一定有逆命题；原说法正确；

②其命题不一定都是定理;定理是经过证明的真命题，但有些真命题可能未被证明或不是基本定理,

则原说法错误；

③真命题的逆命题不一定是真命题；反例：原命题：对顶角相等为真命题，但其逆命,题：相等的角

是对顶角为假命题；则原说法错误；

④假命题的逆命题不一定是假命题；反例：原命题：相等的角是对顶角为假命题；但其逆命题：对

顶角相等为真命题；则原说法错误；

故选：A.

4.下列所学过的真命题中，是公理的是（）

A.邻补角互补

B.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

C.两数相乘，同号得正

D.同角的余角相等

【答案】B

【分析】本题考查了公理的概念以及对一些几何和代数真命题的理解，因为判断一个真命题是否为

公理，核心就是看它是否是无需证明的基本事实，是后续推理的基础，掌握公理的定义是解题的关

键.

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13直角三角形分层练习（解析版）

公理是无需证明的基本事实，来源于长期实践总结，而非推导，作为证明其他命题的依据；可通过

其他知识证明的命题、依赖具体运算或推导的规则都不是公理，以此为标准对选项逐个判断.

【详解】解：A、“邻补角互补”是可以通过补角的定义等证明的定理，不符合题意；

B、“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”是人们在长期实践中总结出的基本事实,

无需证明，符合题意；

C、”两数相乘，同号得正”是代数中的运算规律，可通过有理数乘法的定义等推导，不符合题意:

D、“同角的余角相等”是可以道过余角的定义和等式的性质证明的定理，不符合题意.

故选：B.

5.下列语句中，属于定理的是（）

A.在直线48上取一点£B.如果两个角相等，那么这两个角是对顶角

C.内错角相等D.同角的补角相等

【答案】D

【分析】本题考查定理的判断，掌握定理、命题的定义是关键.

根据定理的概念，逐一进行判定即可.

【详解】解：A、在直线上取一点R不是命题，故不是定理，不符合题意；

B、如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，原命题是假命题，故不是定理，不符合题意；

C、选项中“内错角相等”缺少“两直线平行”的前提条件，是假命题，故不是定理，不符合题意；

D、同角的补角相等，是定理，符合题意.

故选：D.

6.下面关于公理和定理的说法不正确的是（）

A.公理和定理都是真命题B.真命题可能是定理

C.公理就是定理，定理也是公理D.公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明

【答案】C

【分析】本题考查公理和定理，理解公理与定理的概念是解题的关键.

公理，也就是经过人们长期实践检验、不需要证明的客观规律或基本事实.定理：是用逻辑的方法

判断为正确并作为推理的根据的真命题.从公理和定理的概念逐项判断即可.

【详解】解：A、公理和定理都是真命题，说法正确，故此选项不符合题意；

B、真命题不一定是定理，但定理一定是真命题，所以真命题可能是定理，说法正确，故此选项不

符合题意；

C、公理是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明的客观规律.定理；是用逻辑的

方法判断为正确并作为推理的根据的真命题.所以公理就是定理，定理也是公理，说法不正确，故

此选项符合题意；

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13直角三角形分层练习（解析版）

D、公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明，说法正确，故此选项不符合题意；

故选：C.

7.下列命题可以作定理的有个.

①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除；

③x=5是方程4、+7=苧的根；④三角形的内角和是180，.

【答案】2

【分析】本题考杳了命题与定理：判断事物的语句叫命题：正确的命题称为真命题，错误的命题称

为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理.首先利用定理的定义先判断命

题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证；经过判断可以得到②、③是假命题，①、④是真

命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题.

【详解】解：①等式两边加上同一个数仍是等式，符合等式的性质，是定理；

②能被3整除的数，不一定能被6整除，故此命题是假命题，不是定理.；

③把X=5代入＜》十7=左/，方程两边不相等，故不是真命题，更不是定理；

④三角形的内角和是180。，是经过证明的真命题，故是定理；

・••可以作定理的有2个

故答案为：2

题型六互逆定理

1.下列定理中，没有逆定理的是（）

A.两直线平行，同位角相等B,三个角都相等的三角形是等边三角形

C.全等三角形的对应角相等D.等角对等边

【答案】C

【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键在于判断其逆命题的真假.

分别写出各选项中定理的逆命题，再判断真假即可.

【详解】解：选项A：逆命题为“同位角相等，两直线平行”，是真命题，故A有逆定理，不符合

题意要求；

选项B：逆命题为“等边三角形的三个角都相等“，是真命题，故B有逆定理，不符合题意要求；

选项C：逆命题为“对应角相等的两个三角形全等“，是假命题，故C没有逆定理，符合题意要求；

选项D：逆命题为“等边对等角”，是真命题，故D有逆定理，不符合题意要求；

故选：C.

2.下列有关逆命题与逆定理的说法错误的是（）

A.“直角三角形两锐角互余”的逆命题是真命题

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1.3直角三角形分层练习（解析版）

B.“全等三角形的对应角相等”的逆命题是真命题

C.“两直线平行，同位角相等力勺逆定理是“同位角相等，两直线平行”

D.”等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理

【答案】B

【分析】本题考查了逆命题与逆