勾股定理的应用【十二大题型】-八年级数学下册（人教版）

专题17.3勾股定理的应用【十二大题型】

【人教版】

，题型梳理

【题型1求梯子滑落高度】.......................................................................1

【题型2求旗杆高度】...........................................................................3

【题型3求小鸟飞行距离】.......................................................................5

【题型4求大树折断前的高度】...................................................................6

【题型5解一元一次不等式组】...................................................................8

【题型6解决水杯中筷子问题】...................................................................9

【题型7解决航海问题】........................................................................11

【题型8求河宽】...............................................................................13

【题型9求台阶上地毯长度】....................................................................14

【题型10判断汽车是否超速】....................................................................15

【题型11选址使到两地距离相等】................................................................17

【题型12求最短路径】..........................................................................18

►举一反三

【题型1求梯子滑落高度】

【例1】（2023春广东惠州•八年级校考期中）某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人

如图（1）,如图（2）,已知云梯最多只能伸长到15m（即48=CD=15m）,消防车高3m,救人时云梯伸

长至最长，在完成从12m（即8E=12m）高的4处救人后，还要从15m（即0E=15m）高的。处救人，这

1

时消防车从力处向着火的楼房靠近的距离/ic为多少米？（延长力。交。七于点aAOLDE,点B在DE

上，OE的长即为消防车的高3m）

【变式1-1】（2023春山西晋中•八年级统考期中）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿

斜靠在左墙时，竹竿底端。到左墙角的距离。。为0.7米，顶端4距墙顶的距离力4为0.6米若保持竹竿底

端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离。户为1.5米，顶端后距墙项。的距离。£为

1米，点人B、。在一条直线上，点。、E、尸在一条直线上，，4C_LC£DFLCF.求：

（1）墙的高度；

⑵竹竿的长度.

【变式1-2】（2023春浙江宁波•八年级统考期末）如图，一条笔直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的墙面上,

一端在墙面力处，另一端在地面8处，墙角记为点C.

2

（I）若止6.5米，AC=2.5米.

①竹竿的顶端A沿墙下滑1米，那么点B将向外移动多少米？

②竹竿的顶端从力处沿墙力。下滑的距离与点4向外移动的距离，有可能相等吗？如果不可能，请说明理

由；如果可能，请求出移动的距离（保留根号）.

（2）若/。=8C,则顶端4下滑的距离与底端8外移的距离，有可能相等吗？若能相等，请说明理由；若不等,

请比较顶端A下滑的距离与底端B外移的距离的大小.

【变式1-3】（2023春辽宁沈阳•八年级统考期中）拉杆箱是人们出行的常用品，采用拉杆箱可以让人们出

行更轻松.如图，一直某种拉杆箱箱体长力8=65c〃?，拉杆最人伸长距离8c•=35c-m,在箱体底端装有一圆

形滚轮，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的力处，点力到地面的距离力。=30叫当拉杆全部缩进箱

体时，滚轮圆心水平向右平移55的到,处，求拉杆把手。离地面的距离（假设C点的位置保持不变）.

【例2】（2023春山西临汾•八年级统考期末）同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度.爱

动脑的小华设计了这样一个方案：如图，将升旗的绳子拉直刚好触底，此时测得绳子末端C到旗杆/3的底

3

端8的距离为1米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5米的点E处，此时测得绳子末端E距离地面的高度

。上为1米.请你根据小华的测量方案和测量数据，求出学校旗杆的高度.

【变式2-1］（2023春江西景德镇•八年级统考期中）2021年是中国共产党建党100周年，大街小巷挂满了

彩旗.如图是一面长方形彩旗完全展平时的尺寸图（单位：cm）.其中长方形,48。。是由双层白布隆制的

穿旗杆用的旗裤，阴影部分。。“为长方形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在地面上.旗杆从旗顶到

地面的高度为240cm,在无风的天气里，彩旗自然下垂.求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度九

【变式2-2】（2023春八年级课时练习）太原的五一广场视野开阔，是一处设计别致，造型美丽的广场园林,

成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得

图中风筝的高度CE,他们进行了如下操作：

①冽得的长为15米（注：BDLCE）；

②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；

③牵线放风筝的小明身高L7米.

4

（1）求风筝的高度

（2）过点。作OH_L6C,垂足为从求〃，的长度.

【变式2-3】（2023春山西吕梁•八年级统考期中）如图，一根直立的旗杆高8米，一阵大风吹过，旗杆从

点C处折断，顶部（4）着地，离旗杆底部（/I）4米，工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25

米。处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从。处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？

【题型3求小鸟飞行距离】

【例3】（2023春陕西咸阳•八年级统考期中）如图，一只小鸟旋停在空中力点，力点到地面的高度48=20

米，［点到地面C点（从。两点处于同一水平面）的距离4c=25米.若小鸟竖直下降12米到达。点（D

点在线段48上），求此时小鸟到地面。点的距离.

【变式3・1】（2023春八年级课时练习）有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只小鸟

5

从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（）米.

【变式3-2】（2023春山东枣庄•八年级统考期中）有一只喜鹊在一棵3m高的〃飒上觅食，它的巢筑在距离

该树24"的一棵大树上，大树高14〃?，且巢离树顶部所.当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它

飞行的速度为5而s,那它至少需要多少时间才能赶回巢中？

【变式3-3】（2023春贵州贵阳•八年级校考期中）假期中，小明和同学们到某海岛上去探宝，按照探宝图,

他们从4点登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走了3千米，再折向北走了6千

米处往东一拐，仅走了1千米就找到宝藏，问登陆点力到宝藏坦藏点4的直线距离是多少千米？

【题型4求大树折断前的高度】

【例4】（2023春八年级课时练习）如图，在倾斜角为45。（即/NMP=45。）的山坡MV上有一棵树44,

由于大风，该树从点石处折断，其树顶4恰好落在另一棵树圆的根部。处，已知花=lm,力。=8m.

6

B

（1）求这两棵树的水平距离b;

（2）求树力8的高度.

【变式4-1】（2023春广东云浮•八年级统考期中）海洋热浪对全球生态带来了严重影响，全球变暖导致华

南地区汛期更长、降水强度更大，使得登录广东的台风减少，但是北上的台风增多.如图，一棵大树在一

次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点力距树底端8的距离为12m,这棵大树在折断前的高

A.10mB.15mC.18mD.20m

【变式4-2】（2023春・山西阳泉•八年级统考期末）我国古代数学名著《算法统宗》有一道，荡秋F的问题：

“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴.良工高士素好奇，算出

索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离刃的长为1尺，将它向前

水平推送10尺时，即P'C=10尺，秋千踏板离地的距离尸9和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很

直，试问绳索有多长？）设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为.

7

【变式4-3】（2023春广东珠海•八年级校考期中）如图，一根直立的旗杆高8m,因刮大风旗杆从点C处折

断，顶部B着地且离旗杆底部A4m.

（1）求旗杆距地面多高处折断；

（2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从

点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？

【题型5判断是否受台风影响】

【例5】（2023春湖北武汉•八年级统考期中）如图，铁路"N和公路在点。处交汇，NQON=30。,公

路P。上力处距离。点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在

铁路上沿方向以72千米/小时的速度行驶时，A处受到噪音影响的时间为_______秒.

【变式5-1】（2023春・陕西西安・八年级统考期中）为了鼓励大家积极接种新冠疫苗，某区镇政府采用了移

动宣讲的形式进行广播宣传.如图,笔直的公路的一侧点A处有一村庄，村庄到公路的距离为300m,

官讲车P周围500m以内能听到广播言传，盲讲车P在公路上沿MN方向行驻.

8

A

MpBN

（1）村庄能否听到广播宣传？请说明理由.

（2）已知宣讲车的速度是50m/min,如果村庄能听到广播宣传，那么总共能听多长时间？

【变式5-2】（2023春山东青岛•八年级校考期末）如图所示，在甲村至乙村的公路"旁有一块山地正在开

发，现需要在C处进行爆破，已知点。与公路上的停靠站力的距离为300米，与公路上的另T亭靠站4的

距离为400米，且。_LC3.为了安全起见，爆破点。周围半径250米范围内不得进入，在进行爆破时，

公路48是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由.

【变式5-3】（2023春广东广州•八年级校考期中）如图，＞1城气象台测得台风中心在力城正西方向320km

的B处，以每小时40km的速度向北偏东60。的B厂方向移动，距离台风中心200km的范围区是受台风影

响的区域.

（1）4城是否受到这次台风的影响？为什么？

⑵若A城受到这次台风影响，则4城遭受这次台风影响有多长时间？

【题型6解决水杯中筷子问题】

【例6】（2023春河北唐山•八年级统考期中）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5,高是12,上底面

中心有一个小圆孔,则一条长16cm的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）

9

范围是（）

A.4<tf<5B.3<a<4C.2<a<3D.\<a<2

【变式6-1］（2023春重庆渝中八年级重庆市求精中学校校考期中）一根竹竿插到水池中离岸边15〃远的

水底，竹竿高出水面05%若把竹竿的顶端拉向岸边，则竿顶刚好接触到岸边，并且和水面一样高，问水

池的深度为（）

A.2mB.2.5cmC.2.25〃？D.3m

【变式6-2】（2023春山东青岛•八年级校考期中）有一个边长为10米的正方形水池，在水池正中央有一根

新生的芦苇，它高出水面1米.妇果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问：这

个水池水的深度和这根芦苇的长度分别是多少？

【变式6-3】（2023春河南潦河•八年级统考期中）如图，湖面上有一朵盛开的红莲，它高出水面30cm.大

风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，已知红莲移动的水平距离为60cm,则水深是_____cm.

10

彳

【例7】(2023春重庆巴南•八年级统考期末)在海平面上有小B,C三个标记点，其中力在C的北偏西54。

方向上，与C的距离是80()海里，4在。的南偏西36。方向上，与C的距离是60()海里.

(1)求点力与点夕之间的距离；

⑵若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点4

处有一®轮船准备沿直线向点力处航行，轮船航行的速度为每小时20海里.轮船在驶向力处的过程中，最

多能收到多少次信号？(信号传播的时间忽略不计).

【变式7-1】(2023春河南信阳•八年级统考期末)如图，已知港口A东偏南10。方向有一处小岛B,一艘货

轮从港口A沿南偏东40。航线出发，行驶80海里到达C处，此时观测小岛B在北偏东60。方向.

(1)求此时货轮到小岛B的距离.

(2)在小岛周围36海里范围内是暗礁区，此时轮船向正东方向航行有没有触礁危险？请作出判断并说明理

由.

11

【变式7-2】（2023春河南洛阳八年级校联考期中）如图，海上救援船要从距离海岸8海里的4点位置到

海岸BD的M处携带救援设备，然后到距离海岸16海里处的C点处对故障船实施救援.已知间的距离

为18海里，为使救援船尽快赶到故障船实施救援，救援设备被放置在恰当位置.

（1）试在图中确定点M的位置；

（2）若救援船的速度是20节（1芍=1海里，小时）,求这艘救援船最快多长时间到达故障船？

C

BD

【变式7-3】（2023春全国•八年级期末）我国在防控新冠疫情上取得重大成绩，但新冠疫情在国外开始蔓

延，为了防止境外输入病例的增加，我国暂时停止了一切国际航班、水运.如图，在我国沿海有一艘不明

国籍的轮船进入我国海域，我国海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的力、4两个基地前去拦截，6

分钟后同时到达。地将其拦截.已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，乙巡航

艇的航向为北偏西，巴

（1）求甲巡逻艇的航行方向（用含〃的式子表示）

⑵成功拦截后，甲、乙两艘巡谡肥同时沿原方向返回目速度不变，3分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海

12

里?

【题型8求河宽】

【例8】（2023春广东广州•八年级校考期中）如图，为了测量池塘的宽度在池塘周围的平地上选择了

力、B、C三点，且/、。、E、C四点在同一条直线上，ZC=90°,已测得48=100/%8060m,AD=20ni,

EC=\0m,求池塘的宽度。£

【变式8-1】（2023春八年级课时练习）如图所示，湖的两岸有两点A,B,在与AB成直角的BC方向上

的点C处测得AC=50米，BC=40米.

求：（1）A,B两点间的距离；

（2）点B到直线AC的距离.

【变式8-2]（2023春河南洛阳•八年级统考期末）苏科版《数学》八年级上册第35页第2题，介绍了应用

构造全等三角形的方法测量了池塘两端48两点的距离.星期天，爰动脑筋的小刚同学用下面的方法也能

够测量出家门前池塘两端48茯点的距离.他是这样做的：

选定一个点R连接以、PB,在上取一点C,恰好有％=14/%PB=\3m,PC=5m,BC=12m,他立

即确定池塘两端力、8两点的距度为15m.

小刚同学测量的结果正确吗？为什么？

13

A、B

【变式8-3】（2023春河南南阳•八年级统考期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一

男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点C移动到点已同时小船从点力移动到点8,且绳长始终保持不变,

回答下列问题：

⑴根据题意，可知力CBC+CE（填;

⑵若C尸=5米，4412米，48=4米，求男孩需向右移动的距离CE（结果保留根号）.

【题型9求台阶上地毯长度】

【例9】（2023春山西吕梁•八年级统考期中）如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，405米，/8=13米,

若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（）

A.65m2B.85m2C.90m2D.150m2

【变式9-1】（2023春八年级课时练习）如图，要修建一个育苗棚，棚高43m,棚宽〃=4m,棚的长为12m,

现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？

14

h

d

【变式9-2】（2023春山东济南八年级济南外国语学校校考期中）如图，是一个三级台阶，它的每一级的

长，宽和高分别等于5cm,3cm和1cm,力和8是这个台阶的两个相对的端点，力点上有一只蚂蚁，想到8

点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从4点出发，沿着台阶面爬到4点，最短线路是（）

A.12B.13C.14D.15

【变式9-3】（2023春重庆忠县•八年级统考期末）如图是某幼儿园楼梯的截面图，拟在楼梯上铺设防撞地

段，若防撞地毯每平方米售价为40元，楼梯宽为2米，则幼儿园购买防撞地毯至少需要________元.

【题型10判断汽车是否超速】

【例10]（2023春山西忻州•八年级统考期中）某城市规定小汽车在街道上的行驶速度不得超过70千米/时,

一辆小汽车在一条城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到路对面，车速检测仪下正前方30米。处，过了2

秒后，测得小汽车位置〃与“车速检测仪4,之间的距离为50米，这辆小汽车超速了吗？请说明理由.

15

观测点

【变式10-1】（2023春江苏扬州八年级校考期中）“中华人民共和国道路交通管理条例规定：小汽车在城

市街道上的行驶速度不得超过60千米/时.这时一辆小汽车在一条城市街道直路上行驶，某一时刻刚好行

驶到路对面车速检测仪A正前方50米C处，过了8秒后，测得小汽车位置B与车速检测仪A之间的距离

为130米，这辆小汽车超速了吗？请说明理由.

观测点

【变式10-2】（2023春内蒙古巴彦淖尔八年级校考阶段练习）超速行驶是引发交通事故的主要原因.上周

末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路1的距离

为100米的P处.这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒,

并冽得NAPO=60。，NBPO=45。，试判断此车是否超过了每寸80千米的限制速度?

【变式10-3】（2023春山东济南•八年级统考期末）如图，力中学位于南北向公路/的一侧，门前有两条长

度均为100米的小路通往公路/,与公路/交于伉。两点，且5,。相距120米.

16

E\t北

ck

(I)现在想修一条从公路/到力中学的新路力。(点。在/上),使得学生从公路/走到学校路程最短，应该

如何修路(请在图中画出)？新路力。长度是多少？

(2)为了行车安全，在公路/上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点8的北侧，且距力

中学17()米.一辆车经过8E区间用时5秒，若公路/限速为60km/h(约16.7m/s),请判断该车是否超

速，并说明理由.

【题型11选址使到两地距离相等】

【例11】(2023春八年级课时练习)如图铁路上48两点相距40千米，C,。为两村庄，DA1AB,CBLAB,

垂足分别为力和以。彳=24千米，C8=16千米.现在要在铁路旁修建一个煤栈已使得C,。两村到煤栈

的距离相等，那么煤栈石应距力点()

D

\\

\\

\\

\、

\\

%\

\_____B

A

"、、、

、、

、、

、、

2」

A.20千米B.16千米C.12千米D.无法确定

【变式11-1】(2023春辽宁丹东八年级校考阶段练习)如图，在一颗树上1()米高的。处有两只猴子，其

中一只猴子沿树爬下，走到离树20米处的池塘8处，另一只猴子爬到树顶4处直跃向池塘的B处，如果两

只猴子所经过的路程相等，试问这颗树有多高?