2026年高考数学总复习：三角函数、平面向量与解三角形

第二部分高考六大专题题型解法攻略

专题一MR三角函数、平面向量与解三角形

微专题1三角恒等变换、三角函数图象与性质

［核心整合

1.同角三角函数的基本关系式的变形

sinz<7=l-cosJ(z=(l+cosa)(1-coso)

(sina±cos。)匕1±2sinacos。=1±sin2a

2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)sin(a±^)=sinacos£±cosasin尸;

(2)cos(a±)0)=cosacos£¥sinsin£;

⑶("小黑鬻^

3.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(l)sin2a=2sinacosa；

(2)cos2。二cos'a-sin%=2cos’-2sin2a

/介\ACZtana

⑶tan2。

4.半角公式

・a।1-cosaa।1+cosa

sln丁士cos

a।1-cosasina1-cosa

tan-=±/--------=--------=­：-----

21+cosa1+cosasina

5.辅助角公式

月sina+/x?osa=yja2+/)2sin(a+</>),;ttrf1tan(/>=-.

6.恒等变换常用结论

\.21-cos2a21+cos2a

Z(1Jsina----------,cosa----------.

(2)1+cos2<?=2cos2a,l-cos2^=2sin2a.

(3)tana±tan?=lan(a±£)(1彳tanatan£).

7.三角函数的性质

最少

性质定义域值域对称性单调性

正

周期

对称轴:直线x=kngk£Z;递增区间：[2/CTT—p2kn+厅,k£Z;

y=sinxR[-1,1]2n

对称中心：(k",O),k£Z递减区间：^Zkn+p2kn+主，kWZ

对称轴：直线x=kJr,k£Z;递增区间：［2k兀-n,2k冗］,Z;

y=cosxR[-1,1]231

对称中心：卜加+10)$仁2递减区间：［2kJi,2k丸+丸］,Z

(X\XHk.7T+\无对称轴：递增区间：(krr~^,kn+^,k(=7.;

y=tanxRn

对称中心:管,O),k£Z

gzj无递减区间

8.关于三角函数奇偶性的常用结论

⑴产4sin(,“户。)，当(A£Z)时为奇函数；当小+式〃WZ)时为偶函数;对称轴方程可由

3户6=kR+±(〃£Z)求得.

2

⑵JU4cos(3户0),当+/(a£Z)时为奇函数；当6二k”(A£Z)时为偶函数;对称轴方程可由

a产®=kc(AWZ)求得.

(3)片丸an(QA+。)，当0=An(*WZ)时为奇函数.

•-------------------------------1以题梳点.知考法।----------T梳理最新瓦如考法明规律i

微点一三角恒等变换

例1⑴(2024•新课标/卷)已知cos(。+£)=m,tanatan£=2,则cos(。-£)=()

A.-3/77B.--C.-D.3w

33

由cos(a+尸)-勿得cosacos尸-sinasin①.由tanatan£-2彳导驯■竺犯£2②，由①②得

cosacosp

fcosacosp-7所以cos(。-£)=cosacos万+sinasin万=-3加

ksinasm/?=-2m,

(2)(2025,全国二卷)已知0<<?<n,cos^=y,PliJsin(a-§=()

A*B.底C.这D.逋

1051010

cosa=2cos'^-1=2X1=-*,因为0<°<11，所以sina5所以sin(a—?)二乎(sina-cosa

・方法提炼・

⑴三角化简问题总的方向是变角与变式，达到"角、名和次"以及结沟的统一.

⑵常见技巧涉及换元法、切化弦、整体代换等方法.

⑶求角问题要考虑对应三角函数值与特殊角之间的关系是单T直还是多个值.

训练1(1)(2025•宁夏银川模拟)利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0。七0。之间的三角函数值，下

表是部分5°的奇数倍锐角的正切值(用字母代替)，则cos2210°-()

a5°15°25°35°

tanamnPq

C惠D.森

Cos22so-sin2250_i-mn22s«_i-p2

cos2210°=cos（6X360°+50°）=cos50°=cos2250-sinJ250=

cos22S（,+sin225°l+tan22501+p2

⑵（2025•保定模拟）明尸均为锐角，且黑/丹怒，则尸=当二

RAM,cos2a_sin28ecricos2a-sin2a_2sinBcosBc：criCO5a-sina_cos0m.il-tana_1-xaicsi,八

因U+sin2「c”2…，所以（cosa+sin®（Tsin如T所以cosa+si”「诉厕下品一再，整理得一面，"tan

£=1-tanotan尸，所以tan（。+尸）-：2；黑*--1，又。，万均为锐角，所以。+万至（0,"）,所以。+万哼

微点二三角函数的图象

考向1三角函数图象的变换

例2（1）将函数产2cos（2%-匀的图象向右平移:个周期后，所得图象对应的函数为（）

A.y-2cos（2x十刍B.y-2cos（2x-碧）

C.尸2cos（2%+§D.尸-2cos（2%+§

函数周期及詈无，所以函数J-2COS（2X-£）的图象向右平羽个周期可得片2cos[2（x--^]=2cos（：2x-

|zr）=-2cos=-

[TT—（2x—：7T）]=-2COS（2%—Y）2COS（2X+g）.

（2）将函数/W=2sin（2%-9的图象向左平移底砂0）个单位长度，所得图象关于原点对称，则/的值可以是（）

*n*z-»4TTt-»5TT

A.-B.nC.—D.T

将函数/*）=2sin（2x-匀的图象向左平移加个单位长度彳导到尸2sin[2（x+m）-#2sin⑵+2m-匀的图

象因为j^2sin（2x+2m-§的图象关于原点对称，所以2〃尸、“,々三Z,即吟+墨《£乙当k=3时彳导犷拳而使

H+曳二二H+四二n,4★笄子的整数a均不存在.

623,62*6oZJ

考向2三角函数的图象与解析式

例3（2023•新课标〃卷）已知函数/⑺=sin（出产。）,如图M4是直线©与曲线片&）的两个交点，若I/曲喙则

An尸二务

对比正弦函数产sin>的图象易知，点管,0）为"五点法"画图中的第五点,所以与3+0二2”①.由题知

.n

a）x+0=—，a”.，

IAB\=xrxAAr两式相减得3（犷箱）耳屈哼Q4廨得3=4.代入①相。=弓所以

6（3物+0=/6663

/（n）=sin（47T-y）=-siny=-y.

训练2（1）（2025•长沙模拟）如图是函数片4sin（3户肉的部分图象,则该函数的解析式可以是（）

A.尸2sinG%+§

B.尸2sin（"-§

C.尸2sin（2%+§

D.^=2sin（2x-

由题图可得，力二公W-（-等小,即及元卷即3二±2,观察各选项可知，本题考虑3=2即可则

尸2sin（2x+。）,把点焦,2）代入产2sin（2户0）中，可得sin《+3）=1，故，。或+2"小£乙即。甘+20,亦£乙所以当

k=0时，片2sin（2x+g+2k—=2sin（2%+1）.

（2）（2025•温州模拟）已知/«=2tan（3户双3>0,阳V习,欣广苧最小正周期片《，手），〃*）图象的一个对称中

心为点60）则《）二限.

解析由稣））二尊可得2tan0q,tan/哼又I09所以归.因为,⑺图象的一个对称中心为点@0）,故

与女—得3=3hl,MZ.因为'C所以;今年解得$Q<4,所以3=2.«x）=2tan（2x+J所以

唱=2tan（2x：+力-零

微点三三角函数的性质

例4（1）（2025•全国一卷）已知点（a,0）（a>0）是函数片2tanG—£）的图象的一个对称中心，则a的最小值为（）

A.-B.-C.-D.-

6323

令尸舁竽片乙得鸟吗放Z；故j-2tan（x一§的图象的对称中心为偿+p0）代乙由题意知衣罗淮T,

又a>0厕a的最小值为孑故选B.

（2）（2024•新课标〃卷）（多选题）对于函数/«=sin2x和虱刈=5M作-?）下列说法中正确的有（）

A.«x）与夙刈有相同的零点

B./（力与式x）有相同的最大值

C./（x）与虱x）有相同的最小正周期

D./（力与虱力的图象有相同的对称轴

对于A,令七）二0则喏,k£Z,又4等W0,故A错误;对于B,/«与虱月的最大值都为1,故B正确;对于Cg）与

七）的最小正周期都为n，故C正确;对于D,/（x）图象的对称轴方程为2产尖在n,kWZ,即产:合届Z,炭x）图象的对称

轴方程为2广分+★n,代Z,即总+［kGZ,故/"）与4x）的图象的对称轴不相同，故D错误.

•方法提炼-

研究三角函数的性质，首先化函数为力㈤Msin（3广力）+力的形式，然后结合正弦函数片sinx的性质求/⑴的性质.

思路①:根据片sinx的性质求出《力的性质，然后判断各选项；

思路②:另一种是由x的值或范围求得t=3A小的范围，然后由尸sinE的性质判断各选项.

训练3⑴（2025•聊城一模）侈选题）已知函数小户cos2x+V5sin2卬日《,则（）

A./*）的最小正周期为2丸

B.在［。,皆上单调递增

C.直线产?是曲线片/J）的一条对称轴

*5

D.将尸/（X）的图象向右平移g个单位长度得到尸-2cos2x的图象

因为/（x）=cos2^+V3sin2^=2sin（2x+对于A选项，函数心）的最小正周期为詈口,A错;对于B选项，当

0W*W冽衿2k衿款斤以/«在［0图上单调递增力对;对于C选项酉为/（力2sin管1,故直线产杯是曲线

片/。）的一条对称轴,C错;对于D选项，将片/（力的图象向右平网个单位长度彳导到函数尸2sin［2（x-^）+

^］=2sin（2x-^）=-2cos2x的图象,D对.

（2）（2025•锦州模拟）若函数f［x）=sin3广百cos3AH在［0,2n］上恰有5个零点，且在6*］上单调递胤则正实

数3的取值范围是

依题意，函数/（x）=2sin（3%+§T,由/（x）=0彳导sin（3%+„则公里=2〃口/或3植=24其+拳”Z,由

［0,2nL得3户［g,2兀0）+g］由4R在［0,2冗］上恰有5个零点彳导n解得3噜，由-

衿U衿*得一那X.,即函数中）在［谭曰上单调递增，因此［*,翡卜六部即号弋,包韦解得

0<3W*所以正实数3的取值范围为由技

一T真题巧用•明技法1-这鲂*感值得再做一遍一

1.（2023•新课标〃卷）已知a为锐角式。s”竽，则si*=（）

A-B.山

88

cUD.3

44

解法一:由题意,COS”陪l-2si吗得Sin学陪喑=（竽）：又。为锐角，所以si咛>0,所以

422«16\4/2

解法二:由题意,COS。与=l-2sin3得sin?=¥?，将选项逐个代入脸证可知D选项满足.

牛4LaO

2.（2025•天津高考）/（x）=sin（川产0）（6>>0,-n<0<n）在卜瑞哥上单调递增，且耳为心）图象的一条对称

轴,图0）是/«图象的一个对称中心，当用时,/«的最小值为（）

A.--B.--C.-lD.0

22

因为@■）在卜整哥上单调递增且胃为/3图象的一条对称轴,所以打§2言（一等）/降卜力喘3+

W）=L得。<Z2,且看3+0=1+2%五（柏£Z）①.因为停,0）是/（*）图象的一个对称中心，所以《9=sin管3+4=0,

得ga+»=%JT优£Z）②油①②得历-2+4优-2人）（左及£Z）,结合0（得3=2厕。苦+2%n（AKZ）,又一

冗<。（几,所以故/W=sin（2x+9当*£［。用时，2户产椁,用所以/⑴的最小值为/Q）=siny=-y.故选A.

3.（2024•新课标〃卷）已知。为第一-象限角，8为第三象限角,tanc+tan6=4,tantan£=&+1,则

sin（a+£）=二手

由题知tan（。+£）二^^^-4-二-2四,即sin（。+£）=2&cos（。+0,又sir?（。+m+cos［。+£）=1,可

1—taxiatanp1—V2—1

彳导sin（a+j0）=±-.由2An<a〈2AJi由kWZ；2HE+丸<£<2/几+£乙得

322

2（A+//;）JT++<a+£<2（*+m）it+2it，上而EZ.又tan（a+£）<0,所以a+B是第四象限角，故sin（。+£）=-苧.

微练（一）三角恒等变换、三角函数图象与性质

基础过关练

一、单项选择题

1.（2025•葫芦岛一模）将函数产sin2》的图象向左平移£个单位长度后，所得图象的解析式为（）

6

A.尸sin（2x+§B./=sin（2x-^）

C.片sin（2%+匀D.尸sin（2x-

函数片sin2x的图象向左平吃个单位长度得到的函数图象的解析式为片sin21+&sin（2x+§.

2.（2025•武汉模拟）若tan（a+彳）=5,则cos2。的值为（）

吗B-T1C-iD-1

解法一：（常规法+齐次式）由tan（a+?）=5得需;5,解得tan。乏.因为cos2。啜蛇鬻cos。W0,所

\4/1-tana3sin^a-^cos^a

l-tan

以分子分母同时除以cos?明得cos2。2

1+tanai+±13*

9

解法二：（变角法♦齐次式）tana=tan［（a+-口.因为cos2”，cos30,所以

L\4/4J―i+£ta（7n^'a+；jjc3an_-舒1+5：3：s：in：；d；a-；\-：c：o；s；£；a

分子分母同时除以cos?叫得cos2a系*=亲.

T9

解法三（整体法）设〃=吒,则-吵所以cos2"c°s（2”JsE2匕；：器；*甫器

3.（2025•正定模拟）已知函数/（x）=sin（2户0）（-^<<p<］的图象关于直线桔对称，则tan*（）

A.2+V3B.2-V3

C.1-V3D.V3-2

由题意可知偌卜逐管+9）=土L鳄+0g+4"，代Z,解得依十k%人Z,因为-$0今则0可，因为

ta吟=4解得ian左2s或-2-75（舍），故tan^=tan（-^）=-tan^=V3-2.

o1—2ca,n公3=izz\14/iz

4.（2025•浙江模拟）已知cos（a-£片sinasin£=-高则cos2a-sin£=（）

<5x

A.-B.-C.-D.-

2368

由cos（。-£）口号cosacos£+sinasin?二又sinasin尸==■，所以cosacos?上，所以cos?a-

331212

^^^-oCa+sa/y-esKa+m+W-^+cosKa+mYa-mLeos（。+0・COS（。-£）=（COS，COS人

2222\、

sinsin£）（cos°cos尸+sinasin^）=C~+n）X（u—3^'

5.（2025-太原模拟）将函数/（x）=sin（2卢。乂-0<§的图象先向左平移.个单位长度，再向上平移1个单位长度

后，所得的图象经过点弓,2）,则。=（）

A.--B.-C.--D.-

6633

函数/（X）=sin（2户〃）的图象先向左平移擀个单位长度，再向上平移1个单位长度后彳导到的新函数为

双才）:sin（2（%+勺+8）+l=sin（2x+<+6）+L当『彳时&sin（2x彳+g+。）+1=2,化简得sin'+1+。）=1,即

5建（>+。）=1尺吟+吗+2在儿其中攵隹解得〃=9+2C,左铭又因为一殳夕仁,所以公0,所以夕=-（

6.（2025•安庆二模）若将函数7（力二sin2.r+cos2"|勺图象向右平移力个单位长度，所得图象关于原点成中心对称，则

。的最小正值是（）

A.-B.-C.—D.—

8484

/Ix）=V2sin（2x+彳）将函数/«的图象向右平移0个单位长度得/（A>V2sin（2x+彳一2@）,由该函数为奇函

数可知2。-%C,A£Z,即。丹+箫匕,所以。的最小正值为£

4Zoo

7.（2025•兰州一模）一个铅锤做单摆运动时,离开平衡位置的位移y关于时间x的函数图象如图所示，函数关系满足

j=/fsin（Q户0）（%6［0,+8）,3>0,0V0V5当产1时/不可能是（）

A.—B.nC.—D.2n

33

由题图可知4=2,最小IE周期7=2X(詈—工)=31测3=^=2,由g偌+詈)=^厕函数图象过信,-2)即

2sin(2X与+夕)=-2,解得手卜雄岑+20(〃三Z),即4四(A三Z),可得小畛故,j/=2sin(2x+由尸1,则

sin(2x+，月，解得2喘q+2%式(A6Z)或2吗邛+2人n优6),可得x=ki/(为WZ)或;+在/侯匕),当Zr(=l时，产无,

当他=1时,下子当ki=2时,A=2Ji.

8.(2025•湛江一模)已知函数/(x)=sin(2x+9在区间(0㈤上存在唯一极大值点，则m的最大值为()

AC

-TB・兀-JD5

当工£(0㈤时,2死£(泉2m+%衿季解得江辰手所以m

的最大值为:八•

6

二、多项选择题

9.(2025•泉州一模)已知函数/W=sin2『2sin%则()

A./(x)的最小正周期为2兀

B.曲线片/(x)关于直线产］对称

C.7(x)在区间卜2n,2n］上有4个零点

D./«在区间&与)内单调递减

A选项，尸sin2x的最小正周期为n，产sinx的最小正周期为2n，两者的最小公倍数为2n，故Rx)的最小正

周期为2n,A正确;B选项,/(八-A)=sin(2n-2x)-2sin(n-x)=-sin2尸2sinxK/(x),故曲线片/(x)不关于直线3对

称,B错误;C选项,/(x)=sin2尸2sinA-2sin%cos尸2sinA=2sinMcos『1),令/(x)=0得2sinA{COS尸1)=0,故sin

A=0或cos尸1,因为［-2n,2n］,所以sinx=0的解为汨=-2n,加=-n,照=0,用=冗.=2n,cosx=\的解为x=-

2n,照=0,照=2n，综上,/(x)在区间卜2n,2n］上有5个零点，C错误;D选项，/'(x)=2cos2『2cos产4cos?尸2-2cos

产《C0SX-？2_；,当为时cosX£O(C0SX-32_*|_；,O)即尸(x)=490SX-1一河所以4*)在

区间G，笋内单调递减/)正确.

10.将函数&)=3sin(2x+勺的图象向左平移较单位长度后得到函数知的图象，则(：1)

A.卡今为函数以x)图象的一条对称轴

B.夙x)=3cos2x

C.函数4y）在（一?一9上单调递增

D.函数应力的图象与函数Mx）=log2X的图象交点个数为5

对于A,将函数/（x）=3sin（2x+£）的图象向左平移j个单位长度，可得到函数4x）=3sin121f+

#3sin（2x+用）的图象，则A^）=3sin（2xg+等）=3si谭f所以W为函数乩力图象的一条对称轴，故A正确;对

于B,^1»=3sin（2x+分工3cos2为故B错误;对于C,当-生水-用寸弓<2肝学<今而尸sinx在（讨）上单调递增,所以

&）在（甘,-勺上单调递增，故C正确;对于D,对于^v）=3sin（2x+m其周期为胃n，最大值为3令

2产科q+24n,〃£Z,则2金2产詈〃n水夕厕产塔丹飞乙且40）=3sin詈*

oZoo1ZZoZ

因为［"）=10g2X的定义域为（0,+8）,且iog..〈31og詈〉3,作出夙X）与/0）在（0,3n）上的大致图象，如蜀结合图象可

知，函数4八）的图象与函数Mx）的图象交点个数为5,故D正确.

11.已知函数/«=2sin（3产6）">0,|初<刍,其中相邻的两条对称轴间的距离为条且经过点（0,-㈣，则（

A.0=--

6

B./5）在区间（05）上单调递增

C.什）=唁+工）

D./（A）=sinx在［0,2乃］上有4个解

由题意，落则产兀3即3:2,此时/（x）=2sin（2户。）,又/10}=2sin依-祗则sin加-4，因为I4>©所以

z2（1）Zz

0=9故A错误;则/W=2sin（2x*）,当x£（0,§时,2尸等（冶，5因为函数产sinx在（*5）上单调递增，所以

函数4）在区间（0,§上单调递增，故B正确;由/（A>2sin（2x-得/（~x）=2sin（-2x-^）=~2sin（2x+g）而

/（*十%）=2sin|z（（十x）—^j=2sin|2x十g+zr）=-2sin（2%十g）,所以«一“）=/（半十为）故C正确;

画出函数/（x）和片sinx在［0,2n止的图象而图可知，函数/"）和y=sinx在［0,2n］上有4个交点，所以/（A）=Sinx

在［0,2叫上有4个解，故D正确.

三、填空题

12.（2025•湛江一模）已知tan（a+5片则sin（2a+y）=_^_.

解析tan（a+-一掘寸即cos（a+^）=3sin（a+/又cos2（a+凯小+沙，所以。痣（。+乡福

所以sin（2a+y）=sin［（2a+^）+7=cos（2a+^）=cos［2（a+^）］=2cos2（a+

13.(2025•济南一模)函数/(x)=|sinx|+cosx的最小值为T.

当sin时，即+n,〃£Z时,*x）=|sinx|+cos产sin产cos产&sin（x+彳）当sinx<0

时，即2AJi+Ji+2丸,左£Z时,/（*）=|sinx\+cos产-sinx+cos尸J5cos（x+彳）,所以/（x）=|sinx\+cos

yflsinfx+-）,2kn<x<2kn+兀，kEZ,

L〉：<作出函数4X）的图象如图所示，所以函数4*）=|sinXI+cosA•的

&cos（无+7）,2kn+n<x<2kn+2n,keZ,

最小值为T,此时x=2kn+JI,kWZ.

14.（2025•北京高考）已知a,0e[0,2n],Ksin（a+£）=sin（"£）,cos（a+C）Wcos（"£）,写出满足条件的一组

a=3答案不唯一），B二3答案不唯一）.

-2~-6-

由sin（。+£）=sin（。一万入得sinacos曰+cososin。二sinacos8-cosasin3=cosasin万=0

①.由cos（a+£）Wcos（。一£］得coscos8-sinasin万Wcosa•cos£+sinsin£=sinsin

£W0②.由①②得sin£W0,cosa=0,且sinaWO,又a,££［0,2n］,所以。可取与泮,£可取（0,2五）内除无

外的任意角.

能力提升练

15.已知函数4x)=3sin2JA+2V5(COS%尸1)(3>0),则/(x)的最大值是遍_；若/(x)在［0,n］上恰有3个零点，则Q的

取值范围是

/(v)=3s:in2a>"2>/^(cca"'a»尸l)=Rain23"收(2cc—a»尸1)6,即/(r)=3.qin9.coy+\/3e.os:2a>尸

V5=2、G(ySin2a)x+；cos2a)x)^=2V3sin(2a)x+又因为sin(2(ox+菅)£［一1,1］,所以4八)的最大值为百;

因为AG［0,IT］,所以23代旨仁,2a)7r+J因为/W=2V3sin(2cox+9s在［0户止恰有3个零点，所以

*W2<u丸+1<小,即1W

16.(2025•泰安一模)已知函数/(x)=2sin(tox+§cos3广苧(出>0)的最小正周期为n"(x)在(一屋)上的图象与直

线产之交干点/U与直线片乃a交干点C〃日I4例=25，则炉：.

因为/(>)=2sin(o)%+9cos&『菖二2卜讥cox--+coscox•y)cosg『£=sinQXCOS3户75cos%尸

V=~sin2a户条os23产$打(23无+。又函数最小正周期为n,且3>0,所以詈兀=3=1.所以

NNZ\3//3

/(%)=sin(2x+^).当》£(-?5)时，2垮£(0户)，所以sinQx+§£(()/].作函数/(x)=sin(2x+)丫£(一,§的草

图如图所示.函数4方的图象关于直线片方对称.设ICD\=2乙则+2t,Q),+£,V6a).0<©所以

s'n[2任+。+翡遍sin12仁+2t)+；]=cos2^=V6cos4cos2^=V6(2cos-2/-1)=>2V6cos'2t-cos2^V6=0,

解得cos2广当或cos2Q-费舍去).所以a=sin[2偌+2£)+#cos4Z=2cos22r-1=2X1=1.

进阶点1和差化积与积化和差公式及应用

和差化积与积化和差公式在数学中，特别是在三角函数的计算和化简过程中，是非常有用的工具，能将复杂的三角函数

和差或乘积形式转化为更简单的形式,从而简化计算过程.

1.和差化积公式

sin0+s/〃=25iir^-co^^-

22

sin0-sin4>=2co^^-s

cos0+cos(i)=2co^^-co^^-

22

.8+(p・G-(p

cosnu-cos<1)=-n2sin---sin---

22

2.积化和差公式

sina-cosB=1[sin(a+0)+sin(a-/?)]

cosa-sinB胃[sin(a+0)—sin(a-/?)]

cosa-cosB=-[cos(a+/?)+cos(a-0)]

sina-sinB=-1[cos(a+/?)-cos(a-夕)]

题型一和差化积公式的应用

角度1：和差化积公式的直接应用

例1⑴(2021•全国乙卷)。04-必2招=()

B.为C.主D.@

2822

n5nyr5nTt57T'

cos『s等(cos5嘘)k呜-皿汾2。唔%。咛・-2sinsin

s吗s〃《一§考，故选D.

(2)已知sina+sinB力/卬狗"a则cosa+cosB=_^_.

依题意,s/力a+s/力8=25〃岁M5^^,贝(s/7营又小〃。子一三贝j]

////N4LCOS2,'COS2'乙/Nb

所以cosa+cosB=2co^^-co^^=-.

223

角度2：和差化积公式的融合应用

例2⑴若A+B手，则sinK+sinB的最大值是百一.

sinA+s/7?B=2s//4券cos^^g/5ctxs^Fw遮，当且仅当A=B=；时取等号，则sinA+sinB的最大值为百.

⑵已知Xi的是函数f(x)=cos13x-cos2x,xG(0z外的两个零点，则IXLL=_g_.

f(x)=cos3x-cos2*=-25力产；2”..力产;2匚2$/*5力§厕令-2干力号5力克0,当si80时，因为XG(o,7T),

贝岭£(0.9此时无解，当sf冷=0,因为x£(0，G厕子£(0手)则笠力或2万，解得X胃或则山-岑-

27r2n

Tr-

题型二积化和差公式的应用

角度1:积化和差公式的直接应用

例3⑴(2023•新课标I卷)已知sMa-B)=^,cosasinB3则cos(2a+2B)=()

由积化和差公式得CQSasinB百s/Ma+p)~sin(a-0)]弓又sin(a-8月，所以sin(a+0)=|所以

No33

cos(2a+2B)=1-2s〃/(a+B)。

⑵若co.s(a+cos(f吗则sin2a=()

W*W〃三

因为cos^a+g)cos(a—^=|x[cos(a+3+a一+cos(a+3-a+T)Hx[C0S(2a-7)+

cos7Tj=^(sin2a-1)=],所以sin2a=：.

角度2：积化和差公式的融合应用

例4(1)(2025•湖北联考)(多选题)如图所示,已知角Q,B(0<aV夕V?的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆

的交点分别为A,B,M为线段AB的中点射线OM与单位圆交于点C,则下列说法正确的是)

A.NBOC;三

2

B.OB•OA+1=\OM\2

C.OC>OA=\OM

〃点M^']^A^(COS^Y-COS^^-,sin^-'cos

因为角a,B(0<a</?V与的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为A,B,且M为线段AB的中

点，射线0M与单位圆交于点&所以OA=OB,所以NBOC=|NBOA=?，故/正确;易知A(cosa,sina),B(?osB,sinP),

所以而,^A=cosacosB+sinasinB=cos(3-a),所以赤•o7+\=cos(B-

a)+l=2ct?s2^^,|OM\2=|OF'cos,04+1|OM「，故8曲吴;因为

OC,0A=沈||瓦？|cos/AOC=以屋台|而71,故C正确;因为XW(XA+H月(cosa+cos

B)二°混等,co^^-,yM=1(yA+yB)=1(5ina+sinB尸髻，故〃正确.故选ACD.

(2)1796年，年仅19岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法，要用尺规作出正十七边形，就要将圆十七等分，高斯基碑

上刻着如图所示的图案.设将圆卜七等分后每等份圆弧所对的圆心角为Q,则£庭】—15.

l+tan2—

由题意可知:0书又日ka.所以

据焉审6+2区皿ka=⑹翦。吟

2k7T_E匕⑵也3。5等）N&誓-sinV_-2sin^_

又栗T.所以

'.17r2Zst•n—2Zs•m—n2ZsLm—n2s.m—JT―

温1+52而一16+£区必等16-1=15.

l+tanz-17

微练(二)和差化积与积化和差公式及应用

一、单项选择题

1.若sina+sin尸借,cosa+cos万*，则lan^^的值为()

A.2B.-C.-2D.--

22

由sina+sin万=2sin"纥os竺"三cosa+cos£=2cos史或os纥包工,两式相除得tan竺三詈=2.

221322132—13

2.已知cos2a=2sin')?-1,cos(a—tanatan£=()

A.-B.7C.--D.-7

77

因为cos2<?=2sin"-之所以cos2+cos2£=之由和差化积公式可得2cos(a+£)cos(。-£)与因为

666

11.11

cos(a-2)=-,所以cos(。+?)=一,由cosacos£+sinasin,cosacos尸-sinasin£=-可得cosacos

4343

71r-r-ixi,g5inasinR1

/n?=—sinasin尸o=—,所以tanatanB=------hr~~-

24/24"八八COSacosB7

3.已知角。，?满足cosa*,cos(。+£)cos万福则cos(a+2£)的值为()

JL/

A.—B.-C.-D.-

12642

cosa=^,cos(a+y9)cos万弓由积化和差得cos(。+2)cosP=1[cos(a+/?+/?)+cos(a+/?—

/?)]=1[cos(a+26)+cosa]=1k0s(a+20)4-5栏解得cos(a+2^)=-4,

4.若gsiny+siny+sin季则5.的值为()

A.-B.1

4

C.JD.以上都不对

8

解析S=Siny+siny+sin(l-COSy)+1(l-COSy)+1(1-COS豹=/(cosy+COSy+COSy)=1-

1/.TT2TT,.n4TT,.x6n\31/.3n.n,.STT.3zr,.5TT\7

\sin-cos—+sin-cos—+sin-cos—)=^-—]sin——sin-+sin--sin—+sinn-sin彳J二.

5.将一个圆20等分，每份圆弧所对的圆心角为则丑岂cos5”()

A.8B.-C.-D.9

22

解析由题意知。嗑则E区COS釐1年产―"涅广2"a,而第1cos2"=cos2"cos4a+cos

6a+…+cos

•39fg.It

2sina(cos2a+cos4a+cos6a+-+cos38a)(sin3a-sina)+(sin5a-sin3a)+••+(sin39a-sin37a)sin39a-sinasin~^—^tnio,

38。二

2sina2sina2si»ia2sln一

io

丸3嗫

cos'ka=9.

25呜T厕立21

6.已知。£[0,2丸],且sina+sin2"sin3a=0,则满足条件的a的个数为（）

A.3B.5C.7D.9

由和差化积公式得到sina+sin3a=2sin2acos。，所以sina+sin2a+sin3a=sin2a(2coso+l),

因为sina+sin2tz+sin3a=0,所以sin2a=0或cos。=-去当sin2a=0时,2a=〃Ji(A£Z),即Q=/JT(A£Z),因

为[0,2村所以丸有2丸;当cos。=-冽因为。£也2。所以。哼乎所以符合题意的。共有7个.

7.在平面直角坐标系MK中，设a,8都是锐角,2%2B2a+2B的始边都是x轴的非负半轴，终边分别与单位圆

x+y=l交于点八M,凶）《必炭）,网均词，且切+〃2=3为则x+及的最大值为（）

A•竽泻呜

由题设，+左3为得sin2«+sin2£=3sin（2a+2£）油和差化积公式及二倍角公式得,2sin（a+0cos（a

£)=6sin(a+万)cos(。+£),又0<a<^,0<?4=>()<。+£<n，所以sin(a+£)WO,则cos(a-£)=3cos(a+万)・1，所以

cos(a+/OW/当且仅当。=£时取等号，由E+>2=COS2a+cos26=2cos(a+4)cos(a-£)=6cos'(o+Z9W*

二、填空题

8.在△■中，若/则cos力sin。的取值范围为卜消

由作拳导力+c吟厕cos力sin(>|[sin(J+6)-sin(J-6)]=^Jsiny—sin(2A一等]=^-gsin(24—蓍).由0〈水.

得-引〈2上学〈朗则TWsin(24—羊)W1,则cos/sinC的取值范围是.

9.已知sin(。+£)sin(。-£)=2必/祥0),则cos)a-cos29=-2/〃.

由sin(a*£)sin(a-£)一2〃(7?1*0),可彳导2sin(a+5)sin(a-£)：cos2月-cos2ah4的贝cos之a-cos

2£l~hcos2a_l+cos2Bcos2a-cos2fi_2m

222

10.已知。，万满足sina+cos£=,cosa+sin6二则sin(a-/?尸金

33-5

21

因为sina+cos£q,coso-sin万二,所以(s讥a+cos0)2=sin'a+cos*4+2sinacos

£』，(cosa+sin£)2=cos'a+sin'^+2cosasin£[；相加得sin%+sin~£+