概率论教学课件-概率1-1（2）张颖

概率的性质(1)若A1,A2,…,An是n个两两互不相容的事件，则有：

P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+…+P(An)(2)设A、B互为对立事件，则有：

P(A)=1－P(B)(3)若A

B,则

P(A－B)=P(A)－P(B)P(A)P(B)(4)P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)古典概型同理可得为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率.称1.条件概率1.1.3条件概率与事件的独立性某班共有36名学生，女同学10人，8名山东籍学生中有3名女生，现随机点一人，已知点到的是山东籍的，求她是女同学的概率？例1解：设A=“点到的是山东籍同学”,

B=“点到的是女同学”,所求的概率记为P(B|A),称这个概率为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.P(B|A)=P(A)=P(AB)=

2)从加入条件后改变了的情况去算

条件概率的计算1)用定义计算:P(B)>0掷骰子例：A={掷出2点}，

B={掷出偶数点}P(A|B）=B发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减样本空间中A所含样本点个数乘法公式P(A)>0推广：当n=3时，有P(B)>0乘法公式则有例2

袋中有5个球，3个红球，2个白球，每次取1个，取后放回，再放入与取出的球色相同的球两个，求连续三次取得白球的概率.2.全概率公式与贝叶斯公式

（1）全概率公式将复杂事件的概率计算问题转化为在不同原因下发生的简单事件的概率计算。基本思想：样本空间的划分设随机试验E的样本空间为S，B1,B2,…,Bn是E的一组事件，如果满足：

1)

BiBj=

,i

j,i,j=1,2,…..,n

2)

B1∪B2∪…∪

Bn=S

则称B1,B2,…,Bn为样本空间S的一个划分.---完备事件组样本空间S的一个划分设事件B1,B2,…,Bn为样本空间S的一个划分，A为某一事件B1,B2,…,Bn在划分S的同时也划分了事件A.A

全概率公式P(A)=

P(A|B1)P(B1)+P(A

|

B2)P(B2)

+…+P(A

|

Bn

)P(Bn

)注：在应用中常将事件B与作为样本空间的一个划分由因导果在较复杂情况下直接计算P(A)不易,但A总是伴随着某个Bi出现，适当地去构造这一组Bi往往可以简化计算.全概率公式的来由,不难由上式看出:“全”部概率P(A)被分解成了许多部分之和.它的理论和实用意义在于:

某一事件A的发生有各种可能的原因，如果A是由原因Bi(i=1,2,…,n)所引起，则A发生的概率是

每一原因都可能导致A发生，故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和，即全概率公式.P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi)全概率公式理解定理则称为全概率公式.全概率公式说明

全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.化整为零各个击破例3某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的.根据以往的记录有以下的数据

元件制造厂次品率提供元件的份额1230.020.010.030.150.800.05设这三家工厂的产品在仓库是均匀混合的,且无区别的标志.在仓库中随机地取一只元件,求它是次品的概率.

解而且有易知,(1)由全概率公式元件制造厂次品率提供元件的份额1230.020.010.030.150.800.05在仓库中随机地取一只元件,求它是次品的概率.

该球取自哪号箱的可能性最大?实际中还有下面一类问题，即“已知结果求原因”这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小.某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.1231红4白或者问:有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.1231红4白?某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率.记

Bi={球取自i号箱},i=1,2,3;

A={取得红球}求P(B1|A)运用全概率公式计算P(A)将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式1231红4白?定理则此式称为贝叶斯公式.贝叶斯公式是条件概率公式、乘法公式、全概率公式的综合运用.（2）贝叶斯公式例3某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的.根据以往的记录有以下的数据

元件制造厂次品率提供元件的份额1230.020.010.030.150.800.05设这三家工厂的产品在仓库是均匀混合的,且无区别的标志.(1)在仓库中随机地取一只元件,求它是次品的概率;

(2)在仓库中随机地取一只元件,若已知取到的是次品,为分析此次品出自何厂,需求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少.试求这些概率.

解而且有易知,(1)由全概率公式(2)由贝叶斯公式以上结果表明,这只次品来自第2家工厂的可能性最大.3.事件的相互独立性与伯努利概型（１）两个事件的独立性定义１在试验中，若事件A的发生与事件B的发生与否是互不影响的，则称事件A与事件B是相互独立的.例4：袋中６球，４黑２白，有放回随机取球两次，每次一只，设：A=“第一次取球取到白球”

B=“第二次取球取到白球”.P(B|A)与P(B)的关系解否！偶然乎？定义２：设A、B为两事件，如果关系式

P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B是相互独立的，简称独立.注：两个事件A、B相互独立与互不相容是两个不同的概念，当P(A)>0、P(B)>0时两者不能同时成立.证：若A与B互不相容，即

A

B=

从而

P(A

B)=0,但P(A)P(B)>0,故

P(A

B)≠P(A)P(B)从而A与B不相互独立.若A与B相互独立，则有

P(AB)=P(A)P(B)>0所以A与B一定不是互不相容的.定理1：设A与B是两个事件，P(A)>0,则A与B相互独立

P(B|A)=P(B)定理2:若事件A与事件B是相互独立的，则

A与、

与B

、与

也是相互独立的.证：（2）多个事件的独立性定义3：设A、B、C是三个事件，如果有

P(AB)=P(A)P(B)，P(BC)=P(B)P(C)，P(AC)=P(A)P(C)

则称事件A、B、C两两独立.定义４：设A、B、C是三个事件，如果有

P(AB)=P(A)P(B)

P(BC)=P(B)P(C)

P(AC)=P(A)P(C)

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)则称事件A、B、C是相互独立的.注意三个事件相互独立三个事件两两相互独立推广：设有n(>1)个事件Ai，i=1,…,n;若从这n个事件中任意取k个事件都有

则称这n个事件A1,A2,…,An是相互独立的.注：１.在实际应用中，对于事件的独立性我们往往不是根据定义来判断，而是根据实际意义来加以判断.

3.若事件A1,A2,…,An

是相互独立的，则将A1,A2,…,An中的任意k(1≤k≤n)个事件换为各自的对立事件后的n个事件仍然是相互独立的.如一个很有用的公式设A1，A2，A3，…，An相互独立，则有

P(A1∪

A2

∪

A3∪

…∪An)也相互独立例5

三个人独立去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，求密码能破译的概率.独立性的概念在计算概率中的应用—简化计算将三人编号为1,2,3，所求为P(A1∪A2∪A3)记Ai={第i个人破译出密码}i=1,2,3解：已知P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4P(A1∪A2∪A3)=1－

[1－P(A1)][1－P(A2)][1－P(A3)]

n重贝努利试验，．（1）每一次试验都在相同的条件下进行，且各次试验结果发生不受其他各次试验结果发生情况的影响，也即这n次试验相互独立；二项概率公式在n重贝努利试验中，我们最关注的是事件A恰好发生了k(k

n)次的概率.令Bk={n重贝努里试验中事件A发生的次数}（2）每次试验都仅考虑两个可能结果：事件和事件，且在每次试验中都有例6

某店内有4名售货员，根据经验每名售货员平均在1小时内用秤15分钟．问该店配置几台秤较为合理？解将观察每名售货员在某时刻是否用秤看作一次试验，于是同一时刻恰有i个人同时用秤的事件记为Ai从计算结果看，一般情况下只有一位售货员用秤的概率最大，故配备2台秤就基本可以满足要求．作业P323，4，10，11

例

先后掷两枚骰子，观察出现的点数(n1,n2).

设:

A={(n1,n2)|n1+n2=10}，B={(n1,n2)|n1>n2}，

求：P(B|A),P(A|B).解：样本点总数为：6×6=36

(6,4)(5,5)(4,6)例

一批零件共100个，其中有10个是次品。今从这批零件中随机抽取，每次一件，1）若无放回地抽取3次，求3次都取得合格品的概率；2）若有放回地抽取3次，求3次都取得合格品的概率.解：记

Ai=“第i次取得合格品”,i=1,2,3;2）若有放回地抽取（A1,A2,A3相互独立）

1)若无放回地抽取条件概率全概率公式贝叶斯公式小结乘法定理设事件B1,B2,…,Bn为样本空间S的一个划分，且