陈明辉-电路理论 第6章

6-16.2正弦量的相量表示6.5相量法分析正弦稳态电路6.4

基本定律的相量形式6.7

正弦稳态电路中的功率6.1

正弦量的概念6.3

电阻、电感、电容元件电压电流关系的相量形式第6章

正弦稳态电路分析6.8

功率因数的提高6.9正弦稳态电路中的谐振6.10

耦合电感6.11

耦合电路分析6-2正弦量：按正弦规律变化的量。瞬时值表达式：i(t)=Imsin(wt+

)i+_u波形：

tiO

T周期T(period)和频率f(frequency):f=1/T频率f

：每秒重复变化的次数。周期T

：重复变化一次所需的时间。单位：Hz，赫(兹)单位：s，秒6.1

正弦量的概念6-3(1)幅值

(amplitude)(振幅、最大值)Im：反映正弦量变化幅度的大小。(2)角频率(angularfrequency)w

：每秒变化的角度(弧度)，反映正弦量变化快慢。6.1.1正弦量的三要素(3)初相位(initialphaseangle)

i

：反映了正弦量的计时起点。(wt+

i

)表示正弦量随时间变化的进程,称之为相位角。它的大小决定该时刻正弦量的值。当t=0时，相位角

(wt+

i

)=

i，故称

i为初相位角，简称初相位。它表示了正弦量的起点。单位：rad/s

，弧度/秒tiO/TIm2

i

ti(t)=Imsin(wt+

i)6-4同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。tiO

=0

=/2

=-/2一般规定：|

|。6-5

周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其大小工程上采用有效值来表示。电流有效值计算式：瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根。有效值是根据正弦电流和直流电流的热效应相等来规定的。1.周期电流、电压有效值(effectivevalue)定义正弦电量的瞬时值与有效值有效值也称均方根值(root-meen-square，简记为rms。)6-6W2=I2RTRi(t)RI同样，可定义电压有效值：6-72.正弦电流、电压的有效值设i(t)=Imsin(t+

i

)6-8同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um

311V；U=380V，Um

537V。工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。*注意区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。6-96.1.2正弦量的相位差设u(t)=Umsin(wt+

u),i(t)=Imsin(wt+

i)则相位差即相位角之差：j=(wt+

u)-(wt+

i)=

u-

i

j>0，u领先(超前)Ij角，或i落后(滞后)

uj角(u比i先到达最大值)；

j<0，i领先(超前)u

j

角，或u落后(滞后)

i

j

角(i比u先到达最大值)。

tu,iu

i

u

ijO恰好等于初相位之差6-10j=0，同相：j=(180o)

，反相：规定：|

|(180°)。特殊相位关系：

tu,iu

iO

tu,iu

iO6-11

=p/2：u领先ip/2,不说u落后i3p/2；

i落后up/2,不说

i领先u3p/2。

tu,iu

iO同样可比较两个电压或两个电流的相位差。6-121.复数A表示形式：AbReImaOA=a+jbAbReImaO

|A|6.2

正弦量的相量表示6.2.1复数的四种形式6-13两种表示法的关系：A=a+jbA=|A|ejq

=|A|q

直角坐标表示极坐标表示或2.复数运算则A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)(1)加减运算——直角坐标若A1=a1+jb1，A2=a2+jb2A1A2ReImO加减法可用图解法。AbReImaO

|A|6-14(2)乘除运算——极坐标若A1=|A1|

1，若A2=|A2|

2除法：模相除，角相减。例1.乘法：模相乘，角相加。则:解:6-15例2.(3)旋转因子：复数ejq=cosq+jsinq=1∠qA•ejq

相当于A逆时针旋转一个角度q，而模不变。故把ejq

称为旋转因子。解：上式6-16ejp/2

=j,e-jp/2

=-j,ejp=–1故+j,–j,-1都可以看成旋转因子。几种不同值时的旋转因子：ReIm06-17两个正弦量i1+i2

i3wwwI1I2I3

1

2

3无论是波形图逐点相加，或用三角函数做都很繁。因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。于是想到复数，复数向量也包含一个模和一个幅角，因此，我们可以把正弦量与复数对应起来，以复数计算来代替正弦量的计算，使计算变得较简单。角频率：有效值：初相位：6.2.2正弦量的相量表示i1i2

tu,ii1

i2Oi36-18设正弦电压为

这种复数定义为对应正弦量的相量。对于任意一个正弦量都可以找到唯一的与其对应的复数。有效值相量：幅值相量：包含了正弦量的幅值和初相位。包含了正弦量的有效值和初相位。6-19解：例6.2.2试写出的相量式。

计算，并画出的相量图。ReIm06-20例3．同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。ReImReIm首尾相接6-21小结①正弦量相量时域频域②相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。③相量法可以用来求强制分量是正弦量的任意常系数线性微分方程的特解，即可用来分析正弦稳态电路。N线性N线性w1w2非线性w不适用正弦波形图相量图6-22相量形式：相量模型uRiR+-有效值关系：U=RI相位关系

(u,i同相)R+-6.3.1电阻元件电压电流关系的相量形式6.3电阻、电感、电容元件电压

电流关系的相量形式相量模型uRiR+-相量图6-23相量形式：相量模型j

L+-相量图有效值关系：U=wLI相位关系：(u超前

i90°)uL+-i6.3.2电感元件电压电流关系的相量形式6-24感抗的物理意义：(1)表示限制电流的能力；UL=XL

IL=LIL=2fLIL(2)感抗和频率成正比；XL=L=2fL，称为感抗，单位为(欧姆)w6-25相量形式：相量模型+-相量图：有效值关系：相位关系：i超前

u90°uC+-i6.3.3电容元件电压电流关系的相量形式6-26XC=1/wC，称为容抗，单位为W(欧姆)频率和容抗成反比,w

0，XC

直流开路(隔直)w

，XC0高频短路(旁路作用)容抗：相量表达式:wXCI6-27(1)接在工频220V电源上时例6.3.1，某电感元件L=25mH,将它分别接至工频、220V和5000Hz、220V的电源上时，其初相角为60

，试分别求出电路中的电流i、感抗XL。解：(2)接在5000Hz、220V电源上时6-286.4.1阻抗与导纳及欧姆定律的相量形式RLC元件电压电流关系的相量形式阻抗6.4基本定律的相量形式Z+-三种元件的阻抗导纳6-296.4.2基尔霍夫定律的相量形式同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示：上式表明：流入某一节点的所有正弦电流用相量表示时仍满足KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足KVL。6-30线性直流电阻电路与线性定常正弦稳态电路相量法分析比较：可见，二者依据的电路定律是相似的。只要作出正弦电流电路的相量模型，便可将电阻电路的分析方法推广应用于正弦稳态的相量分析中。6.5相量法分析正弦稳态电路6-311.阻抗串联+

n个阻抗串联电路6.5.1阻抗串并联的基本公式+

+

+

+

2个阻抗串联6-322.阻抗并联n个阻抗并联电路+

2个阻抗并联+

+

6-336.5.2.电阻、电感、电容元件串联电路的分析由KVL：LCRuuLuCi+-+-+-+-uRj

LR+-+-+-+-1.电压电流的关系Z—复阻抗；R—电阻(阻抗的实部)；X—电抗(阻抗的虚部)；

|Z|—复阻抗的模；

—阻抗角。6-342.阻抗三角形与电压三角形或R=|Z|cos

X=|Z|sin

|Z|RX

阻抗三角形电压三角形电压三角形和阻抗三角形相似。即电压三角形与阻抗三角形的关系|Z|RjX

6-35导纳与阻抗的关系电路的阻抗和导纳由电路本身的结构和参数决定，与电路所加电压大小无关。6-363.电路的性质X>0，wL>1/wC

，

>0，电压超前电流，电路为感性；X<0，wL<1/wC

，

<0，电压落后电流，电路为容性；X=0，wL=1/wC

，

=0，电压与电流同相，电路为电阻性。（1）阻抗模等于支路电压与支路电流有效值之比。（2）阻抗角等于支路电压与支路电流的相位差。6-37(1)由已知条件解：(2)计算各相量例6.5.1RLC串联电路中，R=15,L=12mH,C=5

F。外加电压，求电路中的电流和各元件上的电压，并画出相量图。6-38(1)解：(2)例6.5.2RLC串联电路中，已知，求电路中的电流，说明电路的性质及电流与电压的相位关系。阻抗角

<0，电压落后电流，电路为容性。阻抗角

>0，电压超前电流，电路为感性。6-39j

LR+-并联电路采用导纳分析比较简单6.5.3.电阻、电感、电容元件并联电路的分析解：例6.5.3.RLC并联电路中，R=10,L=48mH,C=397

F，U=120V,f=50Hz。求电流，并画出相量图。6-40解：方法1支路电流法例6.5.4

已知:求:电流和。+_R6.5.4复杂正弦稳态电路的分析联立求解得6-41解：方法2网孔电流法例6.5.4

已知:求:电流和。+_R6-42解：方法3叠加定理+_RR6-43解：节点电压法求:支路电流。例6.5.5

已知:二者同相。+_+_6-44求:支路电流。例6.5.5

已知:二者同相。+_+_6-45例6.5.6

已知:试用戴维南定理求电流。+_+_(1)求AB两点的开路电压解：(2)求AB两点的开路阻抗(3)求6-46

已知：U=149V,U1=50V,U2=121V,R1=5W,f=50Hz求：线圈的电阻R和电感L。例6.6.1画相量图进行定性分析。解：R1RL+_+_+_6.6相量图法分析正弦稳态电路6-478-47解：以为参考相量作相量图

电路如图，U=100V,I1=I2=10A,

与同相，求I、XL

、XC。例6.6.2

+_10106-48例6.6.3

已知:试求电压。解法1：相量法求解+_+__++_6-49例6.6.3

已知:试求电压。解法2：相量图法求解+_+__++_6-50无源一端口网络吸收的功率(u,i关联)6.7.1瞬时功率无源+ui_6.7

正弦稳态电路中的功率6-51

p有时为正,有时为负；

p>0,电路吸收功率：p<0，电路发出功率；

t

iOupUIcos

UIcos(2t+)瞬时功率实用意义不大，一般讨论所说的功率指一个周期平均值。6-52平均功率

=

u-

i：功率因数角。对无源网络，为其等效阻抗的阻抗角。cos

：功率因数。6.7.2平均功率(有功功率)瞬时功率在一个周期内的平均值，用大写P表示。6-53平均功率实际上是电阻消耗的功率，表示电路实际消耗的功率，它不仅与电压电流有效值有关，而且与cosj有关，这是交流和直流的很大区别,主要由于电压、电流存在相位差。

用二端网络的等效参数计算有功功率无源一端口6-546.7.3无功功率单位：var(乏)Kvar(千乏)

。无功功率的定义：电路与电源往复交换功率的幅值当电路存在电容、电感时，衡量其能量转换的无功功率为由阻抗三角形6-55Q>0，表示网络吸收无功功率；Q<0，表示网络发出无功功率。Q的大小反映网络与外电路交换功率的大小。是由储能元件L、C的性质决定的无源一端口当电路仅存在电抗时，其无功功率为(发出无功)6-56视在功率(表观功率)反映电气设备的容量。6.7.4视在功率有功，无功，视在功率的关系：有功功率:P=UIcosj单位：W无功功率:Q=UIsinj单位：var视在功率:S=UI

单位：VAjSPQ功率三角形6-57求图示电路的平均功率、无功功率和视在功率。例6.7.1

解一：已知:+_6-58求图示电路的平均功率、无功功率和视在功率。例6.7.1

解二：已知:+_6-596.7.5复功率负载+_6-60图示电路，已知两并联支路为容性例6.7.2

求：(1)阻抗Z(4)电路的平均功率P、无功功率Q和视在功率S。(2)总电压相量(3)电路的功率因数解：设+_6-61图示电路，已知两并联支路为容性例6.7.2

求：(1)阻抗Z(4)电路的平均功率P、无功功率Q和视在功率S。(2)总电压相量(3)电路的功率因数+_同相，6-62小结

：1.正弦量三要素：Im,w,

电阻电容电感2.比较时域u=Ri频域(相量)有效值U=RIU=XLIXL=wLU=XCIXC=1/(wC)有功P=I2R=U2/R00无功0Q=ILULQ=-ICUC能量W=I2RtW=Li2/2W=Cu2/2相位6-633.相量法计算正弦稳态电路①先画相量运算电路电压、电流

相量复阻抗②相量形式KCL、KVL定律，欧姆定律③电路定理计算方法都适用④相量图4.功率jSPQ6-64设备容量S(额定)向负载送多少有功要由负载的阻抗角决定。1.提高供电设备利用率S50kVA负载2.减小线路上功率损耗和压降6.8.1提高功率因数的意义6.8功率因数的提高(1)负载电源(2)负载6-656.8.2提高功率因数的方法分析:jj

LRC+_并联电容，提高功率因数(改进自身设备)。6-66补偿容量的确定：补偿容量不同全——不要求(电容设备投资增加,经济效果不明显)欠过——使功率因数又由高变低(性质不同)综合考虑，提高到适当值为宜(0.9左右)。jj

6-67补偿容量也可以用功率三角形确定：jj

PQCQLQ单纯从提高cosj看是可以，但是负载上电压改变了。在电网与电网连接上有用这种方法的，一般用户采用并联电容。思考：能否用串联电容提高cosj?6-68功率因数提高后，线路上电流减少，就可以带更多的负载，充分利用设备的能力。再从功率这个角度来看:并联C后，电源向负载输送的有功UIcosj=UI

cosj

不变，但是电源向负载输送的无功UI

sinj

<UIsinj减少了，减少的这部分无功就由电容“产生”来补偿，使感性负载吸收的无功不变，而功率因数得到改善。6-69

已知：f=50Hz,U=220V,S=5KVA。负载的功率因数0.7(落后)，要使功率因数提高到0.85,求并联电容C及并C

前后的总电流。例6.8.1解：负载的功率因数LRC+_并C前并C后6-70谐振(resonance)是正弦电路在特定条件下所产生的一种特殊物理现象，作为电路计算没有新内容，主要分析谐振电路的特点。含有L、C的电路，当电路中端口电压、电流同相时，称电路发生了谐振。电路的谐振现象R,L,C电路6.9正弦稳态电路中的谐振6-71Rj

L+_6.9.1串联谐振1、谐振条件谐振角频率(resonantangularfrequency)谐振频率(resonantfrequency)谐振周期(resonantperiod)6-722.谐振时电路的基本特性谐振时电路阻抗最小。电流I达到最大值I0=U/R(U一定)。(1)电路的阻抗与电流X|Z|jL-1/C)Rf0f0f0I00f(2)电路的能量电源提供电路能量消耗在电阻上。P=RI02=U2/R，电阻功率达到最大。L与C交换能量，与电源间无能量交换。6-73串联谐振时，电感上的电压和电容上的电压大小相等，方向相反，相互抵消，因此串联谐振又称电压谐振。谐振时的相量图当w0L=1/(w0C)>>R时，UL=UC

>>U。(3)电路各元件电压(4)串联电路的品质因数它是说明谐振电路性能的一个指标，由电路的参数决定。无量纲6-74(a)电压关系：品质因数的意义：即UL0=UC0=QU谐振时电感电压UL0(或电容电压UC0)与电源电压之比。表明谐振时的电压放大倍数。(b)选择性6-75Q越大，选择性越好。Q=10Q=1Q=0.50从多频率的信号中取出w0的那个信号，即选择性。6-76例6.9.1一收音机接收器的电路参数为：L=87.3mH,R=4W,C=290pF,电路发生串联谐振，求接收到的最大信号的频率及电路的品质因数。+_+_+LCRu1u2u3_解9-771.谐振条件忽略分子中的R，即与串联谐振频率近似相等。求得CLR+_6.9.2并联谐振6-782.并联谐振电路的主要特性谐振时电路阻抗最大。电流I达到最小值。(1)电路的阻抗与电流|Z|Rf0f0(2)电路的能量电源提供电路能量消耗在线圈电阻上。理想LC并联谐振电路，LC相当与开路。9-79CLR+_相量图(3)电路各元件的电流并联谐振时，电感上的电流和电容上的电流大小近似相等，方向相反，相互抵消，因此并联谐振又称电流谐振。当w0L=1/(w0C)>>R时，IL=IC

>>I。6-80(4)并联电路的品质因数它是说明谐振电路性能的一个指标，由电路的参数决定。无量纲9-81例6.9.2LC并联电路,R=2,L=10mH,C=10μF,计算电路的谐振频率和电路的Q值。解：82图示电路，已知U=10V，R1=R2=R350Ω，XL1=100Ω，

XL2=200Ω，

XC1=100Ω

，XC2=XC3=200Ω。求两个电压表V1

、V2

的读数。解：A、B端发生并联谐振，ZAB=R1例6.9.3C、D端发生串联谐振，ZCD=0电压表V1

、V2

的读数6-836.10.1互感现象+–u11+–u21i1

11

21N1N2当线圈1中通入电流i1时，在线圈1中产生磁通

11(magnetic

flux)，同时，有部分磁通

21与线圈2交链。当i1为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线圈两端产生感应电压。u11称为自感电压，u21称为互感电压。6.10耦合电感

11称为自感磁通，

21称为互感磁通。6-84+–u12+–u22i2

12

22N1N2同理，当线圈2中通电流i2时会产生磁通

22，

12

。i2为时变电流时，在线圈2和线圈1两端分别产生感应电压u22

，u12

。6-85如果两电流产生的磁通方向相反+–u1+–u2i1

1

2N1N2i26-86磁通链与产生它的电流成正比可以证明：M12=M21=M。6.10.2耦合电感及电压电流关系6-876.10.3同名