2026高中必修一《集合与函数》知识点梳理

一、前言演讲人目录01.前言07.作业03.新知识讲授05.互动02.教学目标04.练习06.小结08.致谢2026高中必修一《集合与函数》知识点梳理01前言前言站在2026年的讲台上，窗外的梧桐叶又落了一地，正如我们每年面对新教材、新高考时那份既熟悉又带着些许新意的心情。作为一名在这个讲台上站了十几年的数学教师，我深知高中数学对于学生们来说，不仅仅是一门学科，更是一次思维的洗礼，一场逻辑的探险。当我们翻开高中必修一的课本，首先映入眼帘的便是《集合与函数》。这看似是两个简单的概念，实则是整个高中数学大厦的基石。如果说初中的数学是关于“数”和“形”的直观认知，那么高中数学，特别是集合与函数，就是将这种认知抽象化、符号化、逻辑化的过程。它要求我们从具体的计算中抽离出来，用一种更宏观、更严谨的视角去审视世界。对于2026届的同学们来说，你们赶上了教育改革的新浪潮，教材的编排更注重“核心素养”的落地。今天，我不想像教科书那样冷冰冰地罗列定义，我想和大家像老朋友一样，聊聊这门课的灵魂。我们要梳理的，不仅仅是知识点，更是这套知识体系背后严密的逻辑链条。集合是“容器”，函数是“关系”，而我们要做的，就是学会如何在这个容器里，利用这些关系去构建数学的模型。前言这不仅仅是一次知识的梳理，更是一次思维的重塑。希望大家在阅读接下来的内容时，能带着思考，去感受数学之美，去体会那些看似枯燥符号背后的逻辑张力。02教学目标教学目标在正式进入知识点的深海之前，我们必须明确我们的航向。对于《集合与函数》这一章，我们的教学目标绝不仅仅是让学生记住几个定义或者会做几道选择题。作为行业者，我深知我们需要达成以下几个维度的目标：01第二，函数观念的建立。这是本单元的重中之重。学生需要从“变量”的角度理解函数，深刻领悟函数的“三要素”——定义域、值域和对应法则。这不仅是计算的基础，更是后续研究函数性质（如单调性、奇偶性）的前提。03第一，数学抽象与逻辑推理。这是新课标的核心。我们要让学生理解集合的概念，能够从具体的实例中抽象出集合的本质特征；同时，通过集合的运算和函数的推导，训练他们严密的逻辑思维，让他们学会用符号语言去描述数学对象。02教学目标第三，数形结合思想。在讲授过程中，我们会大量使用Venn图（韦恩图）来辅助理解集合的交并补，也会通过函数图像来直观展示函数的单调性和奇偶性。我们要培养学生“以形助数，以数解形”的能力，这是解决复杂问题的利器。第四，实际应用能力。数学来源于生活，又服务于生活。我们要引导学生学会用集合的语言描述实际问题，用函数的思想解决最优化问题，让数学变得鲜活起来。03新知识讲授新知识讲授好了，明确了目标，让我们正式开始这场思维的旅程。我们将分三个部分来深入探讨：集合、映射与函数、函数的性质。集合：数学的原始细胞集合是数学中最基础的概念，就像我们生活中的篮子。任何一个数学对象，当我们把它放在一起，就构成了集合。集合：数学的原始细胞集合的含义与表示集合中的元素必须是确定的。你不能说“一些高个子的人”是一个集合，因为谁算高个子不明确。但“身高超过1.8米的人”就是一个确定的集合。我要特别提醒大家注意集合的三个特性：确定性、互异性、无序性。互异性是很多同学容易忽视的陷阱。比如集合$A=\{a,a\}$，这在数学上是不成立的，集合里不能有重复元素。这不仅仅是规则，它反映了数学世界的纯净。集合的表示方法主要有三种：列举法、描述法和区间法。o列举法：就是把元素一一列出来，比如$\{1,2,3\}$。o描述法：用集合中元素的共同属性来描述，比如$\{x\in\mathbb{R}x^2-1=0\}$。这里要注意语言要简练，不能模棱两可。集合：数学的原始细胞集合的含义与表示o区间法：这是实数集子集的一种常用表示，比如开区间$(a,b)$，闭区间$[a,b]$。我们要搞清楚端点是否包含在内，这往往是考试中区分度很高的地方。集合：数学的原始细胞集合间的基本关系这一部分主要涉及子集、真子集和相等。子集的概念非常微妙。对于任何集合$A$，它都是它本身的子集，即$A\subseteqA$。同时，空集$\varnothing$是任何集合的子集，也是任何非空集合的真子集。这一点在解题时经常被用作突破口。两个集合相等的充要条件是：$A\subseteqB$且$B\subseteqA$。这种双向包含的逻辑，是数学证明中常用的手段。集合：数学的原始细胞集合的运算这是集合这一节的“重头戏”。我们需要熟练掌握交集、并集和补集。o交集($A\capB$)：即“公共部分”。逻辑上可以用“且”来理解。o并集($A\cupB$)：即“合并”。逻辑上可以用“或”来理解。o补集($C_UA$)：即在全集$U$中不属于$A$的所有元素。这里全集$U$的选取非常关键，通常要根据问题的背景来确定。在实际运算中，Venn图（韦恩图）是极佳的工具。画图可以让我们直观地看到元素之间的关系，避免逻辑混乱。特别是对于含有三个集合的运算，画图能极大地降低出错率。映射与函数：从关系到变量如果说集合是静态的容器，那么函数就是动态的机器。高中数学中的函数，本质上是两个非空数集之间的一种特殊的对应关系——映射。映射与函数：从关系到变量映射映射$f:A\toB$包含三个要素：原象集$A$、象集$B$（$B$中至少有一个元素在$A$中有原象）以及对应法则$f$。映射有三个分类：单射（原象不同，象必不同）、满射（象集等于值域$B$）、双射（既是单射又是满射）。虽然必修一中不一定直接考双射，但它是反函数存在的基础。映射与函数：从关系到变量函数的定义函数是特殊的映射。它要求原象集$A$和值域$B$都是非空数集，且对应法则$f$必须是“单值对应”（即对于任意$x\inA$，都有唯一确定的$y\inB$与之对应）。这里我要强调一下“函数值”的概念。$f(x)$表示的是一个数，而不是一个代数式。$f(x)$与$f(a)$的区别在于定义域的不同。映射与函数：从关系到变量函数的表示法o解析法：最常用的方法，用等式$y=f(x)$表示。优点是精确，便于计算。o列表法：直观，但数据有限。o图象法：一目了然，便于观察函数的性质。在解析法中，要注意定义域的优先性。一个解析式可以表示不同的函数，只要定义域不同；但如果定义域相同，解析式不同，则表示不同的函数。映射与函数：从关系到变量函数的定义域定义域是函数的灵魂。求定义域时，我们要遵循“使式子有意义”的原则。o分母不为零；o偶次根式下非负；o零指数幂底数不为零；o对数函数的真数大于零；o实际问题中的限制条件。这里有一个非常经典的题型：已知函数解析式，求参数的取值范围。这往往需要结合值域来求解，或者利用定义域的限制条件来排除干扰项。函数的单调性与奇偶性掌握了函数的定义后，我们就要研究函数的“脾气”和“性格”了，也就是函数的单调性和奇偶性。函数的单调性与奇偶性函数的单调性单调性描述了函数值随自变量增大而变化的趋势。o增函数：对于定义域内的任意$x_1,x_2$，当$x_1<x_2$时，都有$f(x_1)<f(x_2)$。o减函数：对于定义域内的任意$x_1,x_2$，当$x_1<x_2$时，都有$f(x_1)>f(x_2)$。证明单调性的标准步骤是“取值——作差——变形——定号——下结论”。这里的“变形”是关键，通常通过因式分解、配方、通分等方法，将$f(x_1)-f(x_2)$变成易于判断符号的形式。我见过很多同学在“变形”这一步卡住，导致无法判断正负。记住，单调性证明的核心是逻辑的严密性。同时，我们要利用单调性解决两类问题：一是比较大小，二是求函数的值域。函数的单调性与奇偶性函数的奇偶性奇偶性描述了函数图像的对称性。o偶函数：对于定义域内任意$x$，都有$f(-x)=f(x)$。图像关于$y$轴对称。o奇函数：对于定义域内任意$x$，都有$f(-x)=-f(x)$。图像关于原点对称。判断奇偶性时，首先要看定义域是否关于原点对称。如果定义域不对称，函数既不是奇函数也不是偶函数。这是一个非常容易丢分的点。利用奇偶性可以简化函数的研究范围。对于奇函数，我们只需要研究$(0,+\infty)$的性质，再利用对称性推广到$(-\infty,0)$；对于偶函数，我们只需要研究$[0,+\infty)$的性质，再利用对称性推广到$(-\infty,0]$。04练习练习理论讲得再透彻，不经过实战演练也是空谈。让我们来看几个典型的练习题，通过具体的题目来巩固刚才所讲的知识点。例题一：集合的运算01已知全集$U=\{x\in\mathbb{Z}02-3<x<4\}$，集合$A=\{x03x^2-2x-3<0\}$，集合$B=\{x04x-105\leq2\}$。06求：$A\capB$，$A\cupB$，$C_UA$。07解析：08这道题考察的是集合运算的基本功。例题一：集合的运算10.先化简集合$A$：解不等式$x^2-2x-3<0$，即$(x-3)(x+1)<0$，解得$-1<x<3$。因为$U$是整数集，所以$A=\{-1,0,1,2\}$。11.化简集合$B$：解不等式$x-1\leq2$，即$-2\leqx-1\leq2$，解得$-1\leqx\leq3$。在整数集中，$B=\{-1,0,1,2,3\}$。例题一：集合的运算12.计算交集：$A\capB=\{-1,0,1,2\}$。13.计算并集：$A\cupB=\{-1,0,1,2,3\}$。14.计算补集：全集$U=\{-2,-1,0,1,2,3\}$，所以$C_UA=\{-2,3\}$。例题二：函数定义域与值域求函数$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-1}}+\sqrt{3-x}$的定义域，并求其值域。解析：例题一：集合的运算1.求定义域：分母$\sqrt{x-1}$要求$x-1>0$，即$x>1$。根号$\sqrt{3-x}$要求$3-x\geq0$，即$x\leq3$。综合得$1<x\leq3$。所以定义域为$(1,3]$。2.求值域：观察函数结构，第一项$\frac{1}{\sqrt{x-1}}$在$(1,3]$上随$x$增大而减小，取值范围是$(0,+\infty)$。第二项$\sqrt{3-x}$在$(1,3]$上随$x$增大而减小例题一：集合的运算，取值范围是$[0,\sqrt{2})$。两个函数相加，值域不是简单的区间相加，需要利用单调性分析。设$f(x)=y_1+y_2$，其中$y_1\in(0,+\infty)$，$y_2\in[0,\sqrt{2})$。当$x$接近$1$时，$y_1$趋近于$+\infty$，$y_2$接近$\sqrt{2}$，此时$f(x)$趋近于$+\infty$。当$x=3$时，$y_1=1$，$y_2=0$，此时$f(x)=1$。由于$f(x)$在定义域内是连续的，且单调递减（因为两项都在递减），所以值域为$[1,+\infty)$。例题一：集合的运算例题三：函数的单调性证明证明函数$f(x)=x+\frac{1}{x}$在$(0,+\infty)$上是增函数。解析：证明：任取$x_1,x_2\in(0,+\infty)$，且$x_1<x_2$。作差：$f(x_1)-f(x_2)=(x_1+\frac{1}{x_1})-(x_2+\frac{1}{x_2})=(x_1-x_2)+(\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2})=(x_1-x_2)+\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}=(x_1-x_2)(1-\frac{1}{x_1x_2})$。例题一：集合的运算因为$x_1,x_2>0$且$x_1<x_2$，所以$x_1x_2>0$，且$x_1-x_2<0$。又因为$x_1x_2>0$，所以$\frac{1}{x_1x_2}>0$，且$1-\frac{1}{x_1x_2}$的符号取决于$x_1x_2$与$1$的大小关系。这里有一个小技巧，通常我们不需要讨论$x_1x_2$与$1$的关系，而是直接变形：$f(x_1)-f(x_2)=\frac{(x_1-x_2)(x_1x_2-1)}{x_1x_2}$。例题一：集合的运算当$x_1x_2>1$时，分子为负，分母为正，差值为负，即$f(x_1)<f(x_2)$。当$x_1x_2<1$时，分子为正，分母为正，差值为正，即$f(x_1)>f(x_2)$。这表明$f(x)$在$(0,1)$上是减函数，在$(1,+\infty)$上是增函数。这说明我的证明过程出现了问题，或者说，这道题的结论本身是错误的。实际上，$f(x)=x+\frac{1}{x}$在$(0,+\infty)$上是先减后增。这提醒我们，在证明单调性时，如果作差后符号不定，说明该区间内函数不具有单调性。这道题的正确结论应该是：在$(0,1)$上递减，在$(1,+\infty)$上递增。这恰恰说明了严谨性的重要性。05互动互动现在，我想把课堂交还给你们，我们来进行一些互动和讨论。Q1：关于集合的“空集”有同学可能会问：“老师，空集$\varnothing$到底存不存在？它里面什么都没有，怎么会有子集呢？”这是一个非常深刻的问题。空集是数学逻辑上的一个“空容器”。虽然它没有元素，但它符合集合的所有定义。正是因为它“什么都没有”，它才包含了所有“不存在”的元素作为子集。这种“无”包含“有”的逻辑，是数学中最奇妙的地方之一。在解题时，遇到“至少有一个元素”的条件时，一定要记得把空集的情况考虑进去，否则往往会因为漏掉$\varnothing$而丢分。Q2：关于函数与映射的区别Q1：关于集合的“空集”很多同学在区分“映射”和“函数”时感到困惑。其实，函数就是定义在数集上的映射。我们可以这样理解：映射是“大概念”，适用于任何集合；函数是“小概念”，专属于实数集合。在必修一中，我们接触的大多数都是函数，但用映射的思想去理解函数的对应关系，有助于我们更深刻地掌握函数的本质。Q3：关于函数的奇偶性关于奇函数$f(0)$的值。根据定义，$f(0)=-f(0)$，这意味着$2f(0)=0$，所以$f(0)=0$。但是！注意这个但是！这个结论成立的前提是函数的定义域关于原点对称，并且$0$在定义域内。如果函数定义域是$(0,+\infty)$，那么$f(0)$根本就没有意义，自然更谈不上等于0。所以，千万不要看到奇函数就直接写$f(0)=0$，一定要先看定义域。Q1：关于集合的“空集”Q4：关于单调性的应用同学们在做“比较大小”的题目时，最常用的方法就是“作差法”或者“作商法”，但对于某些特定函数，比如$f(x)=x^2$，作差法有时候会显得繁琐。这时候，利用函数的单调性结合图像来比较大小，往往能起到事半功倍的效果。比如比较$3.14^{\pi}$和$\pi^{3.14}$的大小，通过构造函数$f(x)=\lnx/x$，利用其单调性，可以迅速得出结论。这就是数形结合思想的威力。06小结小结好了，时光飞逝，我们已经梳理完了《集合与函数》这一章的核心内容。让我们来做一个总体的回顾。这一章，我们首先建立了集合的概念，学会了用集合的语言去描述世界；接着，我们深入到了映射，理解了函数作为特殊映射的本质；最后，我们掌握了函数的单调性和奇偶性，学会了如何分析函数的“脾气”。这不仅仅是知识点的堆砌，更是一种思维的训练。从“数”到“形”，从“具体”到“抽象”，从“静态”到“动态”。我希望大家能够记住：集合是基础，函数是工具，性质是钥匙。在学习过程中，我看到了大家的努力，也看到了一些共性的错误：比如忽视定义域、忽略空集的情况、单调性证明变形不彻底、奇偶性判断时忘记验证定义域。这些都是你们在