勾股定理的逆定理及其应用课件2025-2026学年人教版八年级数学下册

20.2勾股定理的逆定理及其应用勾股定理的逆定理及其应用(1)

勾股定理的逆定理1.如图,已知△ABC.勾股定理：若∠C＝90°,则a2＋b2＝c2.提出问题：若a2＋b2＝c2,则∠C＝90°吗？解：若a2＋b2＝c2,则∠C＝90°.(证明过程见本课第2题)2.(新教材P34观察改编)如图1,在△ABC中,已知a2＋b2＝c2.求证：∠C＝90°.证明：如图2,作∠C′＝90°,截取B′C′＝a,A′C′＝b,则A′B′＝＝

．由“SSS”可证△ABC≌△A′B′C′,则∠C＝∠C′＝90°.c勾股定理的逆定理：如果一个三角形的两条边长的平方和等于第三边长的平方,那么这个三角形是直角三角形．几何语言：如图,∵a2＋b2＝c2,∴△ABC为

．直角三角形3.(新教材P35例1改编)如图,在△ABC中,已知AC＝5,

BC＝12,AB＝13.求证：△ABC是直角三角形．证明：∵AB2＝132＝169,AC2＝52＝25,BC2＝122＝144,∴AB2＝AC2＋BC2.∴△ABC是直角三角形．4.(2025·增城区期末)如图,在△ABC中,BC＝6,AC＝8,AB

＝10.求证：∠ACB＝90°.证明：∵BC＝6,AC＝8,AB＝10,∴BC2＋AC2＝AB2.∴∠ACB＝90°.5.判断以如下的a,b,c为边长的三角形是否为直角三角形,是的打“√”,不是的打“×”．(1)a＝3,b＝4,c＝5()(2)a＝1,b＝1,c＝()(3)a＝2,b＝3,c＝4()(4)a＝,b＝3,c＝()(5)a∶b∶c＝1∶2∶()√√×√√勾股定理及其逆定理综合6.(新教材P43T5改编)如图,在边长为1的正方形网格上有一个△ABC,它的各个顶点都在格点上．(1)△ABC是直角三角形吗？为什么？(2)求△ABC的周长与面积．解：(1)△ABC是直角三角形．理由如下：BC2＝22＋62＝40,AC2＝42＋42＝32,AB2＝22＋22＝8,∴BC2＝AC2＋AB2.∴△ABC是直角三角形．(2)由(1)得AB＝＝2,AC＝＝4,BC＝＝2,∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝6＋2,面积为AB·AC＝8.7.(广东中考改编)如图,每个小正方形的边长为1,A,B,C是小正方形的顶点．(1)求AB和BC的长；(2)求∠ABC的度数．解：(1)AB＝＝,BC＝＝.(2)如图,连接AC.AC＝＝＝BC.∵AC2＋BC2＝AB2.∴△ABC是等腰直角三角形．∴∠ABC＝45°.8.(2025·花都区期末)已知△ABC的三边长分别为a,b,c,则下列不能判定△ABC为直角三角形的是()A．a＝3,b＝4,c＝5B．a∶b∶c＝3∶4∶5C．a＝1,b＝,c＝D．a＝5,b＝6,c＝7D9.若△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足(c2－b2)(c2＋b2－

a2)＝0,则△ABC的形状为()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形D10.高师傅有5根长度(单位：dm)分别为a＝6,b＝8,c＝10,d

＝24,e＝26的钢条,准备选3根焊接一个直角三角形钢架.请你帮高师傅找出所有可能的钢条组合.解：a2＝62＝36,b2＝82＝64,c2＝102＝100,d2＝242＝576,e2＝262＝676.∵a2＋b2＝100＝c2,c2＋d2＝676＝e2,∴长度分别为a,b,c或c,d,e的3根钢条可以构成直角三角形,即高师傅可选长度分别为a,b,c或c,d,e的3根钢条进行焊接.11.(新教材P38T5)如图,在正方形ABCD中,E是BC的中点,

F是CD上的一点,且CF＝CD.求证：∠AEF＝90°.证明：设正方形ABCD的边长为4a,则BE＝CE＝2a,CF＝a,DF＝3a.在Rt△ABE中,AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋4a2＝20a2.在Rt△ECF中,EF2＝EC2＋CF2＝4a2＋a2＝5a2.在Rt△ADF中,AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋9a2＝25a2.∴AE2＋EF2＝AF2.∴∠AEF＝90°.12.(新教材P36T2)如图,以△ABC的三边为直径,分别作三个半圆,三个半圆的面积分别为S1,S2,S3.若S1＋S2＝S3,判断△ABC是不是直角三角形,并说明理由.解：△ABC是直角三角形.理由如下：依题意,得S1＝π＝πAB2,S2＝π＝πBC2,S3＝π＝πAC2,∵S1＋S2＝S3,∴πAB2＋πBC2＝πAC2.∴AB2＋BC2＝AC2.由勾股定理的逆定理,得△ABC是直角三角形.13.【中考创新考法·新定义】定义：如图,点M,N把线段

AB分割成AM,MN,NB三部分.若以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形,则称M,N是线段AB的勾股分割点.(1)若AM＝1.5,MN＝2.5,NB＝2,则M,N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由.(2)已知M,N是线段AB的勾股分割点,且AM为直角边.若AB＝24,AM＝8,求NB的长.解：(1)是.理由如下：∵AM2＋NB2＝1.52＋22＝6.25,MN2＝2.52＝6.25,∴AM2＋NB2＝MN2.∴以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形.∴M,N是线段AB的勾股分割点.(2)设NB＝x,则MN＝24－AM－NB＝16－x.①当MN为斜边时,依题意,得MN2＝AM2＋NB2,即(16－x)2＝64＋x2,解得x＝6；②当NB为斜边时,依题意,得NB2＝AM2＋MN2,即x2＝64＋(16－x)2,解得x＝10.综上所述,NB的长为6或10.勾股定理的逆定理及其应用(2)勾股定理逆定理的应用1.(新教材P37T3改编)如图,AB＝4,BD＝12,CD＝13,

AC＝3,AB⊥AC.(1)求证：BC⊥BD；(2)求四边形ABDC的面积.(1)证明：∵AB⊥AC,AB＝4,AC＝3,∴BC2＝AB2＋AC2＝25.∴BC＝5.又∵BD2＝122＝144,CD2＝132＝169,∴CD2＝BC2＋BD2.∴∠CBD＝90°,即BC⊥BD.(2)解：S四边形ABDC＝S△ABC＋S△BCD＝×4×3＋×5×12＝6＋30＝36.2.(新教材P37例3改编)如图,在四边形ABCD中,AB⊥BC,

AB＝1,BC＝2,CD＝2,AD＝3,求四边形ABCD的面积.解：如图,连接AC.由勾股定理,得AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5.∴AC＝.又∵AD2＝32＝9,CD2＝22＝4,∴AD2＝AC2＋CD2.∴∠ACD＝90°,即AC⊥CD.∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD

＝×1×2＋××2＝1＋.3.(新教材P37T1)A,B,C三地的两两距离如图所示,A地在B地的正东方向,C地在B地的什么方向？解：∵AC2＝132＝169,AB2＝122＝144,BC2＝52＝25,∴AC2＝AB2＋BC2.∴∠ABC＝90°.∴C地在B地的正北方向.4.(新教材P36例2)如图,港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16nmile,“海天”号每小时航行12nmile.它们离开港口1.5h后分别位于点Q,R处,且相距30nmile.如果“远航”号沿东北方向航行,那么“海天”号沿什么方向航行？解：依题意,得PQ＝16×1.5＝24(nmile),PR＝12×1.5＝18(nmile),QR＝30nmile.∵242＋182＝302,即PQ2＋PR2＝QR2,∴∠QPR＝90°.由“远航”号沿东北方向航行可知,∠QPS＝45°,则∠SPR＝45°,即“海天”号沿西北方向航行.5.如图,OA＝6,OB＝8,AB＝10,点A在点O的北偏西40°方向,则点B在点O的

方向.北偏东50°6.三角形的三边a,b,c满足(a＋b)2－c2＝2ab,则此三角形是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形B7.(新教材P37例3)如图,在四边形ABCD中,AB＝5,BC＝3,

AD＝,DC＝.如果AC⊥BC,判断AC与AD是否也垂直,并说明理由.解：AC⊥AD.理由如下：∵AC⊥BC,∴∠ACB＝90°.在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC2＝AB2－BC2＝52－32＝16.∴AC2＋AD2＝16＋＝＝DC2.∴△ACD是直角三角形,∠DAC＝90°,即AC⊥AD.8.如图,在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中AB＝AC.由于某种原因,由C到A的路现在已经不通,该村为方便村民取水,决定在河边新建一个取水点H(A,H,B在同一条直线上),并新修一条路CH.已知CB＝km,CH＝2km,HB＝1km.(1)CH是否为从村庄C到河边最近的路？请计算说明.(2)新路CH比原路CA少多少千米？解：(1)CH是从村庄C到河边最近的路.理由如下：∵CB＝,CH＝2,HB＝1,∴CB2＝CH2＋HB2.∴△BCH为直角三角形,∴△BCH为直角三角形,∠BHC＝90°.∴CH⊥AB.∴CH为点C到AB的最短路线.故CH是从村庄C到河边最近的路.(2)设AC＝xkm,则AB＝xkm.∴AH＝(x－1)km.在Rt△ACH中,(x－1)2＋22＝x2,解得x＝2.5,即AC＝2.5km.∴AC－CH＝2.5－2＝0.5(km).答：新路CH比原路CA少0.5km.9.【易错题】如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,AB＝5,BC

＝4.若点P