平行四边形及其性质课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

21.2.1平行四边形及其性质

平行四边形的性质(1)

平行四边形的性质只有一组对边平行的四边形叫作梯形,有两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.平行四边形用“▱”表示,如图,平行四边形ABCD记作“▱ABCD”.1.(新教材P56探究改编)探究平行四边形的对边与对角的关

系：(1)如图,连接▱ABCD的对角线AC.

求证：△ACB≌△CAD.

(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD.∴∠1＝∠2,∠3＝∠4.在△ACB和△CAD中,∴△ACB≌△CAD(ASA).(2)AD与BC的关系为

,∠B

∠D.平行且相等＝2.(新教材P56探究改编)探究平行四边形的对角线的关系：

如图,在▱ABCD中,连接AC,BD,并设它们相交于点O.

求证：OA＝OC,OB＝OD.证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD＝BC,AD∥BC.∴∠ADO＝∠CBO.在△ADO和△CBO中,∴△ADO≌△CBO(AAS).总结：平行四边形的性质图示几何语言平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分

∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD

BC,ABCD,∠BAD＝∠BCD,∠ABC＝∠ADC,OA＝OC,OB＝OD

利用平行四边形的性质进行证明3.如图,在▱ABCD中,DE⊥AB,BF⊥CD,垂足分别为E,

F.求证：AE＝CF.证明：∵DE⊥AB,BF⊥CD,∴∠AED＝∠CFB＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A＝∠C,AD＝CB.∴△ADE≌△CBF(AAS).∴AE＝CF.4.(2025·东莞三模)如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点

O,E,F分别是OA,OC的中点.求证：BE＝DF.证明：∵E,F分别是OA,OC的中点,∴OE＝

OA,OF＝

OC.∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA＝OC,OB＝OD.∴OE＝OF.又∵∠BOE＝∠DOF,∴△BOE≌△DOF(SAS).∴BE＝DF.

利用平行四边形的性质进行计算5.如图,在▱ABCD中,AB＝5,BC＝3,∠A＝55°.(1)▱ABCD的周长为

；(2)∠B＝

°,∠C＝

°.16125556.(1)在▱ABCD中,若∠A＋∠C＝140°,则∠A＝

°,∠B＝

°；(2)若▱ABCD的周长为20cm,AB∶BC＝3∶2,则AB＝

cm,AD＝

cm.70110647.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC＝

16cm,BD＝10cm,则AO＝

,BO＝

.8cm5cm8.(新教材P57T2改编)如图,在▱ABCD中,BC＝10,AC＝8,

BD＝14.(1)△AOD的周长是

.(2)△ABC和△DBC的周长哪个长？长多少？21解：(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB＝CD.又∵C△ABC＝AB＋BC＋AC,C△DBC＝CD＋BC＋BD,∴C△DBC－C△ABC＝BD－AC＝14－8＝6>0.∴△DBC的周长较长,长6.9.(新教材P57例1)如图,在▱ABCD中,AB＝10,AD＝8,

AC⊥BC.求BC,CD,AC,OA的长,以及▱ABCD的面积.解：∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC＝AD＝8,CD＝AB＝10.∵AC⊥BC,∴△ABC是直角三角形.根据勾股定理,得AC＝

＝6.∴OA＝OC＝

AC＝3,S▱ABCD＝BC·AC＝8×6＝48.10.如图,已知▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,

AC⊥AB,AC＝10,BD＝26.(1)求AB的长；

解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA＝

AC＝

×10＝5,OB＝

BD＝

×26＝13.∵AC⊥AB,∴△BAO是直角三角形.由勾股定理,得AB＝

＝12.(2)求▱ABCD的面积.解：(2)依题意,得S▱ABCD＝AB·AC

＝12×10

＝120.11.如图,已知▱ABCD.(1)若∠A＋∠C＝100°,则∠A＝

；(2)若▱ABCD的周长为32,BC＝4,则AB＝

.50°1212.(新教材P66T11)如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,∠A＝

∠B.求证：AD＝BC.证明：如图,过点C作CE∥AD交AB于点E.∴∠A＝∠CEB＝∠B.∴CE＝CB.∵AB∥CD,CE∥AD,∴四边形AECD是平行四边形.∴AD＝EC.∴AD＝BC.13.如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O.若AC＋BD

＝20,CD＝7,则△ABO的周长为

.1714.如图,▱ABCO的顶点O,A,C的坐标分别是(0,0),(6,0),(2,4).(1)顶点B的坐标是

；(2)AC与BO的交点坐标是

.(8,4)(4,2)15.如图,在▱ABCD中,E,F是对角线BD上的两点,且四边

形AECF也是平行四边形.

求证：BE＝DF.证明：如图,连接AC交BD于点O.∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB＝OD.∵四边形AECF是平行四边形,∴OE＝OF.∴OB－OE＝OD－OF,即BE＝DF.16.如图,在▱ABCD中,∠ABC和∠BCD的平分线BE与CE

相交于点E,且点E恰好落在AD上.(1)求证：BE2＋CE2＝BC2；

(1)证明：∵BE,CE分别平分∠ABC,∠BCD,∴∠CBE＝∠ABC,∠BCE＝∠BCD.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD.∴∠ABC＋∠BCD＝180°.∴∠CBE＋∠BCE＝∠ABC＋∠BCD

＝(∠ABC＋∠BCD)＝90°.∴∠BEC＝180°－(∠CBE＋∠BCE)＝90°.∴BE2＋CE2＝BC2.(2)若AB＝2,则▱ABCD的周长为

.12

平行四边形的性质(2)1.如图,已知△ABC.(1)点A到点B的距离为

；(2)点A到直线BC的距离为

.532.(1)两平行线之间的距离：两条平行线中,一条直线上任

意一点到另一条直线的距离,叫作这两条平行线之间

的距离.(2)举例：如图,a∥b,A是a上的任意一点,

AB⊥b,垂足为B,线段AB的长就是平行

线a,b之间的距离.(3)结论：如果两条直线平行,那么一条直线上所有的点

到另一条直线的距离都相等.

两平行线间的距离的应用3.(新教材P58例3改编)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB

＝DC.求证：∠A＝∠D.证明：如图,分别过点A,D作BC的垂线,垂足分别为E,F.∵AD∥BC,AE⊥BC,DF⊥BC,∴AE＝DF.又∵AB＝DC,∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL).∴∠B＝∠C.∵AD∥BC,∴∠B＋∠BAD＝180°,∠C＋∠CDA＝180°.∴∠BAD＝∠CDA.4.(新教材P66T11改编)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B＝∠C.求证：AB＝DC.证明：如图,分别过点A,D作BC的垂线,垂足分别为E,F.∵AD∥BC,AE⊥BC,DF⊥BC,∴AE＝DF,∠AEB＝∠DFC＝90°.又∵∠B＝∠C,∴△ABE≌△DCF(AAS).∴AB＝DC.5.如图,直线a∥b,点A在直线a上,点B,C在直线b上,AC⊥b.

已知AB＝10,AC＝6.(1)直线a,b之间的距离为

；(2)点B与点C的距离为

；(3)点B到AC的距离为

.6886.如图,在▱ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F.(1)写出BC,CD,AE,AF之间的数量关系并证明；(2)若AF＝3,CD＝4,BC＝5,求AD与BC之间的距离.解：(1)BC·AE＝CD·AF.证明如下：∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴S▱ABCD＝BC·AE＝CD·AF,即BC·AE＝CD·AF.(2)由(1)知BC·AE＝CD·AF.又∵AF＝3,CD＝4,BC＝5,∴AE＝.∴AD与BC之间的距离为.

平行线的性质综合7.(新教材P58例2改编)如图,▱ABCD的对角线AC,BD

相交于点O,EF过点O且与AB,CD分别相交于点E,F.(1)求证：OE＝OF；(2)若AC＝6,AB＝10,AC⊥BC,

求EF的最小值.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,OA＝OC.∴∠AEO＝∠CFO,∠EAO＝∠FCO.∴△AEO≌△CFO(AAS).∴OE＝OF.(2)解：由题意可知,当EF⊥AB时,EF的值最小.在△ABC中,由勾股定理,得BC＝

＝

＝8.∵S▱ABCD＝AC·BC＝CD·EF,∴6×8＝10EF.∴EF＝.∴EF的最小值为.8.(新教材P59T1改编)如图,四边形ABCD是平行四边形,∠ABC＝70°,BE平分∠ABC且与AD相交于点E,

DF∥EB且与BC相交于点F.(1)求∠1的大小；(2)求证：DF平分∠ADC,

DE＝BF.(1)解：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥BC,∠ADC＝∠ABC＝70°.∴∠ABC＋∠C＝180°.∴∠C＝110°.∵BE平分∠ABC,∴∠CBE＝∠ABC＝35°.∵DF∥EB,∴∠CFD＝∠CBE＝35°.∴∠1＝180°－∠C－∠CFD＝35°.(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD＝BC,AB＝CD.∴∠AEB＝∠CBE＝∠CFD,∠ADF＝∠CFD＝35°＝∠1.∴DF平分∠ADC.∵BE平分∠ABC.∴∠ABE＝∠ABC＝

×70°＝35°＝∠1.∴△ABE≌△CDF(AAS).∴AE＝CF.∴DE＝BF.9.(新教材P59T3改编)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠C

＝90°,AD＝6,AB＝8,BC＝10,E为边BC上一点,

AB∥DE,求AD,BC之间的距离.解：∵AD∥BC,AB∥DE,∴四边形ABED是平行四边形.∴BE＝AD＝6,DE＝AB＝8.∴CE＝BC－BE＝10－6＝4.在Rt△CDE中,由勾股定理,得CD＝

＝4.∴AD,BC之间的距离为4.10.(新教材P87T9改编)如图,四边形ABCD是平行四边形,

BE∥DF,且分别交对角线AC于点E,F,连接ED,BF.求证：

DE＝BF.证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD＝BC.∴∠FAD＝∠ECB.∵BE∥DF,∴∠AFD＝∠CEB.∴△AFD≌△CEB(AAS).∴AF＝CE.∴AF－EF＝CE－EF,即AE＝CF.又∵∠DAE＝∠BCF,AD＝CB,∴△ADE≌△CBF(SAS).∴DE＝BF.11.(新教材P59T2改编)如图,▱ABCD的周长为30,对角线

AC,BD相交于点O,点E在AD上,OE⊥AC.求△CDE的周

长.解：∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA＝OC,AD＝BC,AB＝CD.又∵OE⊥AC,∴OE垂直平分AC.∴AE＝CE.∴C△CDE＝CE＋DE＋CD

＝AE＋DE＋CD

＝AD＋CD

＝

C▱ABCD

＝

×30

＝15.12.如图,在▱ABCD

中,∠BCD

的平分线与BA

的延长线相

交于点

E,BH⊥EC于点H.(1)求证：CH＝EH；(2)若AD＝5,CD＝3,求AE的长.(1)证明：∵CE平分∠BCD,∴∠BCE＝∠DCE.在▱ABCD中,DC∥AB,∴∠E＝∠DCE.∴∠E＝∠BCE.∴BC＝BE.又∵BH⊥CE,∴CH＝EH.(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC＝AD＝5,AB＝CD＝3.由(1)得BE＝BC,∴BE＝5.∴AE＝BE－AB＝2.13.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,