2025北京延庆区高二(上)期中数学试题及答案

高中2025北京延庆高二（上）期中数学2025.11本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合，集合，则（A）（B）（C）（D）（2）若复数满足，则的虚部为（A）（B）（C）（D）（3）已知直线经过点与，则直线的斜率与倾斜角分别为（A）（B）（C）（D）（4）已知，，则是（A）（B）（C）（D）（5）已知，，若，则实数（A）（B）（C）（D）（6）已知是空间中直线的方向向量，是平面的一个法向量，那么“”是“直线与平面平行”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）函数的最大值为（A）（B）（C）（D）若是平行四边形，且，，，则顶点的坐标为（A）（B）（C）（D）（9）如图，在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，且，则直线与所成角的大小为（A）（B）（C）（D）（10）已知是边长为的等边三角形，为平面内的一点，则的最小值为（A） （B）（C） （D）第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.（11）函数的定义域为．（12）已知的三个顶点则的边上的高的长度为．（13）函数的单调递增区间为．（14）已知棱长为1的正方体中，分别为的中点，则直线与平面之间的距离为．（15）如图，在三棱锥中，是等边三角形，，平面平面，．给出下列四个结论：①；②；③；④三棱锥的体积为.其中，所有正确结论的序号为．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（16）（本小题14分）已知中，，，．（Ⅰ）求及的值；（Ⅱ）求及面积.（17）（本小题16分）已知点，.（Ⅰ）求经过点，且倾斜角为的直线方程；（Ⅱ）求经过点，的直线在轴和轴上的截距；（Ⅲ）若原点为，求经过点且以为法向量的直线的一般式方程；（=4\*ROMANIV）已知直线经过点，且，两点到直线的距离相等，求直线的方程．（18）（本小题15分）如图，在棱长为的正方体中，点是的中点.（Ⅰ）求与平面所成角的正弦值；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）求点到平面的距离．（19）（本小题13分）已知点，直线.（Ⅰ）求过点且与直线平行的直线方程；（Ⅱ）求过点且与直线垂直的直线方程；（Ⅲ）求点关于直线的对称点的坐标．

（20）（本小题15分）如图，在四棱锥中，已知，为平行四边形，，，，，为侧棱上的点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若平面，求的值；（Ⅲ）若二面角的大小为，求的值．（21）（本小题12分）对非空数集，，定义与的和集.对任意有限集，记为集合中元素的个数.（Ⅰ）若集合，写出集合；（Ⅱ）若集合满足，且，求.

参考答案阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。题号12345678910答案CDDCCBCACA二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。题号1112131415答案①②③注：15题选对一个给3分，选对二个给4分，选错不给分。三、解答题共6小题，共85分。（16）解：（Ⅰ）因为，所以.……2分由于，所以.……4分当时，，不合题意，应舍去，所以.(只写一个答案扣2分，两个答案没有舍的扣一分)……5分当时，，……6分而.……8分（Ⅱ）由可得，……10分即，因此.所以.……12分所以的面积为.……14分（17）解：（Ⅰ）因为直线的斜率，……2分所以直线的方程为，即.……4分（Ⅱ）因为，两点的横坐标不相等，而且纵坐标也不相等，所以直线的两点式方程，整理得.……6分所以直线在轴上的截距为，令，得，因此在轴上的截距为.……8分（Ⅲ）设为所求直线上一点，则与垂直.……9分因为，所以，……11分整理可得一般式方程为.……12分（=4\*ROMANIV）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，不符合题意.……13分当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，……14分因为，两点到直线的距离相等，所以，……15分解得，因此直线的方程为.……16分（18）解：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系,则，所以.……2分设平面的一个法向量为，所以.令，则，所以.……4分因为，……6分所以与平面所成角的正弦值为.……7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面的一个法向量为平面的一个法向量为，……9分所以.……11分由图可知，二面角为钝角,所以二面角的余弦值为.……12分（Ⅲ）设点到平面的距离，,则,所以点到平面的距离为.……15分（19）解：（Ⅰ）依题意可设直线的方程为，……2分由于直线过点，因此，解得.……3分因此所求直线的方程为.……4分（Ⅱ）依题意可设直线的方程为，……6分由于直线过点，因此，解得.……7分因此所求直线的方程为.……8分（Ⅲ）设点关于直线的对称点的坐标为，……9分则，……11分解得，所以对称点为.……13分（Ⅰ）证明：因为，，所以；……2分又因为，，，所以；……4分因为，所以.……5分（Ⅱ）解：连接，设，连接，因为平面，，，所以；……7分因为为平行四边形，所以；……8分所以在中，.……10分（Ⅲ）解:因为，，所以.以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立直角坐标系.11分因为，，，所以，，因为，所以，，，，，，，……12分因为，所以是平面的一个法向量.……13分（法一）设，则，所以，即，，设平面的一个法向量为，则所以，令，则，所以，……14分因为二面角的大小为，所以，解得，即存在满足条件的点，且.……15分（法二）设，则，，设平面的一个法向量为，则所以，令，则，所以，……14分所以，解得.设，则，所以，所以，，所以，解得，即存在满足条件的点，且.……15分（21）解：（Ⅰ），