2025北京昌平一中高三（上）期中数学试题及答案

高中2025北京昌平一中高三（上）期中数学本试卷共21道题，满分150分．考试时长120分钟．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷作答无效．考试结束后，请将答题卡交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求：一项．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知复数，则复数（）A. B. C. D.3.如图，在中，是延长线上一点，且，则（）A. B.C. D.4.设直线平面，平面平面直线，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.记等差数列的前项和为，则（）A.120 B.140 C.160 D.1806.已知函数的图象关于点中心对称，则其图象的一条对称轴方程可以是（）A. B. C. D.7.为了得到的图象，只需把图象上所有点（）A.纵坐标变成原来的，再向右平移3个单位B.纵坐标变成原来的，再向左平移3个单位C.纵坐标变成原来的2倍，再向右平移3个单位D.纵坐标变成原来的2倍，再向左平移3个单位8.在无线通信（如路由器信号）中，信号强度会随着传播距离增加而衰减，是信号衰减值（单位：分贝，dB），（单位：米）为信号传播距离、某路由器信号在自由空间（无遮挡、无干扰）中，信号衰减公式可简化为：（为常数），若距离增加一倍，信号衰减值约减少为6dB，信号传播距离从增加到时，测得信号衰减值从变到，则（）A. B. C.5 D.6 9.已知，，，则此三数的大小关系为（）A. B. C. D.10.已知平面直角坐标系中，，则的取值范围是（）A. B. C. D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知向量满足，，且，则________.12.已知等比数列的前项和为，，，，成等差数列，，则的最小值是_________．13.已知的二项式系数和为64，则二项式系数最大值为___________14.长方体中，，点是的中点，点是平面内的动点，则三棱锥的体积为___________；若，则的最大值为___________．15.已知为定义域为的函数，其中为奇函数，为偶函数，下列命题正确的序号是________；①存在使得恒成立；②使得恒成立的存在且唯一；③使得恒成立的存在且唯一；④满足当时，恒成立的有无穷多个．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知函数，函数的图象可以由函数的图象平移得到．（1）求的值及的单调递增区间；（2）求在区间上的最大值和最小值．17.在中，角的对边分别是，且．（1）求；（2）若面积为，求边上中线的长．18.某汽车品牌计划推出两款新车型：纯电动版（EV）和插电混动版（PHEV）在某市随机调查了300名消费者的购买意愿，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人）．车型低收入群体（20万/年）中收入群体（20万/年-50万/年）高收入群体（50万/年）愿意不愿意愿意不愿意愿意不愿意EV703070504040PHEV208060606020假设所有消费者的购买意愿相互独立，用频率估计概率．（1）从该市全体消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动版（EV）的概率；（2）从该市全体中收入群体和高收入群体中各自随机抽取2人，记为这4人中愿意购买插电混动版（PHEV）的人数，求的分布列和数学期望；（3）假设该市社区内的低收入，中收入和高收入的消费者人数之比为，从社区的全体消费者中随机抽取1人，将其愿意购买纯电动版（EV）的概率估计值记为，试比较与的大小．19.如图，在三棱柱中，平面平面，（1）设D为AC中点，证明:AC⊥平面;（2）求平面与平面夹角的余弦值.20.已知函数（）．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间；（3）若恰有两个零点，求实数的取值范围．21.已知是无穷数列．给出两个性质：①对于中任意两项，在中都存在一项，使；②对于中任意项，在中都存在两项．使得．(Ⅰ)若，判断数列是否满足性质①，说明理由；(Ⅱ)若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；(Ⅲ)若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列.

参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求：一项．12345678910DCBACCABDA第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.【答案】.故答案为：.12.【答案】设等比数列的公比为，由题意，，则得，即，整理可得，解得，所以，即，又因为，所以，即的最小值是11.故答案为：11.13.【答案】因为的二项式系数和为64，则，解得，所以二项式系数最大值为.故答案为：20.14.【答案】由题，.如图，连接，则，由可知点在以的中点为球心，为半径的球面上.而又在平面内，故为平面与球的截面圆上的动点.取的中点，的中点，的中点，连接，则由长方体的性质得平面，且三角形为直角三角形，而平面，所以平面平面，作于，因平面平面，平面，故平面，故为截面圆的圆心.又，所以截面圆的半径为，所以点在以为圆心，为半径的圆上，而既在球面上，又在平面内，故在截面圆上，故的最大值即为截面圆的直径，则的最大值为.故答案为：；.15.【答案】对于①，由于为定义域为的函数，且为奇函数，为偶函数，所以为奇函数，由于为偶函数，所以不存在使得恒成立，故①不正确；对于②，由于对任意都成立，令，则，解得：，因为为偶函数，所以，令，得，则，解得：，所以使得恒成立的存在且唯一，故②正确；对于③，由于，为奇函数，为偶函数，所以，即，所以，解得，，所以使得恒成立的存在且唯一，则③正确；对于④，由，可得，构造函数，所以满足，，由于可以取任意非零实数，所以满足当时，恒成立的有无穷多个，故④正确；故答案为：②③④三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.【答案】（1），（2）最大值为，最小值为【解析】（1），因为的图象可以由函数的图象平移得到，所以，所以，由正弦函数，可得，所以，所以的单调递增区间为.（2），，所以，当，即时，取得最小值，最小值为，当，即时，取得最大值，最大值为1.17.【答案】（1）（2）【解析】（1），由正弦定理边化角得，，，或（舍），又，；（2），，，，，即，解得，由正弦定理，得，设边的中点为，连接，如下图：，即，即，解得．18.【答案】（1）（2）分布列见解析，（3）【解析】（1）由表可知300名调查者中愿意购买纯电动版人数为180人，频率为，用频率估计概率，从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买纯电动版的概率估计为；（2）用频率估计概率，从全市中收入群体中随机抽1人，愿意购买插电混动版（PHEV）的概率估计，从全市高收入群体中随机抽取1人，愿意购买插电混动版（PHEV）的概率，由题意的可能取值为0，1，2，3，4，，．所以的分布列为01234．（3）低收入者愿意购买纯电动版（EV）的概率为；中收入者愿意购买纯电动版（EV）的概率为；高收入者愿意购买纯电动版（EV）的概率为．利用全概率公式可得：．19.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：因为为中点，且，所以在中，有，且，又平面平面，且平面平面，平面,所以平面，又平面，则，由，，得，因为，，，所以由勾股定理，得，又，平面，所以平面；（2）如图所示，以（1）中的为原点，建立空间直角坐标系，可得，则，设平面的法向量为，由，令，得，，所以,由（1）知，平面，所以平面的一个法向量为，记平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为．20.【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析；（3）．【详解】解：（1）当时，，，所以，．所以曲线在点处的切线方程为，即．（2）因为，定义域为，所以．①当时，与在上的变化情况如下：最大值所以在内单调递增，在内单调递减．②当时，与在上的变化情况如下：极大值极小值所以在，内单调递增，在内单调递减．③当时，，所以在上单调递增．④当时，与在上的变化情况如下：极大值极小值所以在，内单调递增，在内单调递减．（3）由（2）可知：①当时，在内单调递增，在内单调递减，当时，取得最大值．（i）当时，，所以在上至多有一个零点，不符合题意．（ii）当时，．因为，，在内单调递减，所以在内有唯一零点．因为，所以且．因为，，且在内单调递增，所以在内有唯一零点．所以当时，恰有两个零点．②当时，在，内单调递增，在内单调递减，因为当时，取得极大值，所以在上至多有一个零点，不符合题意．③当时，在上单调递增，所以在上至多有一个零点，不符合题意．④当时，在，内单调递增，在内单调递减．因为当时，取得极大值，所以在上至多有一个零点，不符合题意．综上所述，实数的取值范围是．21.【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详解解析；(Ⅲ)证明详见解析.【详解】(Ⅰ)不具有性质①；(Ⅱ)具有性质①；具有性质②；(Ⅲ)解法一首先，证明数列中的项同号，不妨设恒为正数：显然，假设数列中存在负项，设，第一种情况：若，即，由①可知：存在，满足，存在，满足，由可知，从而，与数列的单调性矛盾，假设不成立.第二种情况：若，由①知存在实数，满足，由的定义可知：，另一方面，，由数列的单调性可知：，这与的定义矛盾，假设不成立.同理可证得数列中的项恒为负数.综上可得，数列中的项同号.其次，证明：利用性质②：取，此时，由数列的单调性可知，而，故，此时必有，即，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：假设数列的前项成等比数列，不妨设，其中，（的情况类似）由①可得：存在整数，满足，且（*）由②得：存在，满足：，由数列的单调性可知：，由可得：（**）由（**）和（*）式可得：，结合数列的单调性有：，注意到均为整数，故，代入（**）式，从而.总上可得，数列的通项公式为：.即数列为等比数列.解法二：假设数列中的项均为正数：首先利用性质②：取，此时，由数列的单调性可知，而，故，此时必有，即，即成等比数列，不妨设，然后利用性质①：取，则，即数列中必然存在一项的值为，下面我们来证明，否则，由数列的单调性可知，在性质②中，取，则，从而，与前面类似的可知则存在，满足，若，则：，与假设矛盾；若，则：，与假设矛盾；若，则：，与数列的单调性矛盾；即不存在满足题意的正整数