2025北京西城外国语学校高三（上）期中数学试题及答案

第1页/共1页2025北京西城外国语学校高三（上）期中数学2025年11月本试卷共4页，全卷共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.2.在复平面内，复数对应的点位于（）A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（

）A. B. C. D.4已知，，，则（）A. B. C. D.5.已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（

）A. B.1 C. D.76.将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（）A. B. C. D.7.已知函数若存在最小值，则的最大值为（）A. B. C. D.8.设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（）A B.C. D.10.如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直.点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动.设，，给出下列四个结论：①存在点，，使；②存在点，，使；③到直线和的距离相等的点有无数个；④若，则四面体体积的最大值为.其中所有正确结论的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11.函数定义域是______．12.已知数列为等比数列，，，则首项_____；的前5项和_____.13.已知，且，.写出满足条件一组的值________，_________．14.楔体形构件在建筑工程上有广泛的应用．如图，某楔体形构件可视为一个五面体ABCDEF，其中面ABCD为正方形．若，，且EF与面ABCD的距离为2cm，则该楔体形构件的体积为______.15.已知函数.①函数为偶函数；②存在，使得；③函数的图象与函数的图象没有公共点；④函数的极值点个数为3.其中所有正确结论的序号是______.三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调递增区间；（3）求不等式的解集.17.甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：场次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911（1）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；（2）在前5场比赛中任选两场，设表示乙获胜的场数，求的分布列和数学期望（3）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用频率估计概率．甲、乙、丙三人接下来又进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差的大小关系．18.在中，内角所对的边分别为，面积为，且.（1）求的大小；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得唯一确定，求的周长.条件①：条件②：条件③：边上的高是7.19.如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.20.设，函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间；（3）若函数有两个相异零点，，求证：.21.已知数列，记集合.（1）若数列为，写出集合；（2）若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由；（3）若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为，若，求的最大值．

参考答案一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题的四个选项中，选出符合题目要求的一项.题号12345678910答案BCDBABACDC二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11.【答案】要使函数有意义，则，解得，所以函数的定义域是，故答案为.12.【答案】设数列的公比为，则.所以.所以.故答案为：①1②11.13.【答案】因为，，所以的终边关于轴对称，且不与轴重合，故且，即，故取可满足题设要求；故答案为：；（答案不唯一）14.【答案】由五面体ABCDEF可知，四边形与四边形都为平面四边形.如图所示，分别取，的中点，，连接，，，因为面为正方形，所以，又平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以，因为，分别为，的中点，，，所以，则四边形为平行四边形，同理四边形也为平行四边形.则，平面，平面，所以平面，同理平面，又，且平面，平面，所以平面平面，又四边形也是平行四边形，所以几何体为三棱柱，已知EF与面ABCD的距离为2cm，即点到平面的距离.由题意，；又；所以该五面体的体积．故答案为：.15.【答案】对于①：定义域为R，对，，所以是偶函数，①正确；对于②：令，，由零点存在性定理，，，即，②正确；对于③：令，因为，所以当时，，即函数的图象在函数的图象上方；当时，，即函数的图象在函数的图象下方；所以函数的图象与函数的图象没有公共点，③正确；对于④：，令，当时，因为，所以在单调递增，又，所以，，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以当时，取得极小值，一个极小值点.当时，，所以在单调递减，又，所以，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以当时，取得极大值，是一个极大值点.又是偶函数，所以当和时，也有两个极值点，所以函数至少有个极值点，④错误；故答案为：①②③三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.【答案】（1），，函数的最小正周期为；（2），，整理得，，所以函数的单调递增区间是，（3）由得所以，整理得，所以函数的解集是，17.【答案】（1）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场.设表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则.（2）在前5场比赛中，乙共获胜3场，分别是第2场，第4场，第5场.则的值为0，1，2，，，，则的分布列为：012.（3）由题意，每场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为，还需要进行6场比赛，甲、乙、丙获胜的场数符合二项分布，即，，，所以，，故.18.【答案】（1）解：因为满足，由余弦定理，又因为，可得.（2）解：若选择条件①和条件②：由，且，，可得，，由正弦定理得，所以，，所以的周长为.若选项条件①和条件③：由，且，边上的高是，可得，，因为边上的高是7，则，即，解得，所以，，所以的周长为.若选择条件②和条件③：由，且，边上的高是，因为边上的高是7，则有，又因为，则有，由正弦定理有，则，不合题意，舍去，此时不存在.19.【答案】（1）设的中点为，连接、，因为为的中点，所以，且，又，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，则，又平面，平面，所以平面.（2）记的中点为，连接，因为，，，所以四边形是矩形，则，，以为原点，以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图，则、、、，则，，，设平面的一个法向量为，所以，令，则，设平面的一个法向量为，所以，令，则，所以，由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.（3）依题意，设，则，又由（2）得平面的一个法向量为，记直线与平面所成角为，所以，解得（负值舍去），所以，则，而由（2）得平面的一个法向量为，所以点到平面的距离为.20.【答案】（1）当时，，，，又，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）由函数定义域是，，当时，，单调递增，所以函数单调递增区间为，无单调递减区间；当时，可得，令，可得，由，可得，由，可得，所以，函数单调递增区间为，单调递减区间为.综上，时，单调递增区间为，单调递减区间为，时，单调递增区间为，无单调递减区间.（3）因为有两个相异的零点，由（2）可得，当时，由连续单调递增，至多一个零点；当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为，所以，当时，即时，方程无解，此时a的范围是，当的范围是时，结合函数图象可知，方程有两个不等解，由于，不妨令，则有，，所以，，所以，要证，只需，即，，即证，即，即，只需，令，则，所以只要证明上成立，令，可得，由，所以恒成立，所以在递增，又由，所以时，恒成立，即恒成立，即恒成立，从而可得.21.【答案】（1）由题意可得，，，所以.（2）假设存在，使得，则有，由于与的奇偶性相同，与奇偶性不同，又，，所以中必有大于等于的奇数因子，这