《函数模型的应用》课件

第四章

指数函数与对数函数4.5

函数的应用（二）4.5.3

函数模型的应用丨必备知识解读知识点1

利用已知函数模型解决问题

BA.1.07

B.1.16

C.1.45

D.2.15

知识点2

建立函数模型解决实际问题例2-2

某学校开展研究学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：1.99345.180.991.582.012.353.00如下四个模拟函数，能近似地反映这些数据的规律的是(

)

D

图4.5.3-1

方法帮丨关键能力构建题型1

已知函数模型解决实际问题

13

（2）计算10年后该县的人口总数（精确到0.1万人）;

（3）计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万（精确到1年）.

【学会了吗|变式题】

DA.23天

B.21天

C.19天

D.17天

C

图4.5.3-2

题型2

建立函数模型解决实际问题

（2）根据（1）中符合公司要求的函数模型，要使奖金达到350万元，公司的投资收益至少为多少万元？

123456纯利润/万元0.651.391.8521.841.40123456纯利润/万元0.250.490.7611.261.51

图4.5.3-3

高考帮丨核心素养聚焦考向

函数模型的实际应用

声源燃油汽车10混合动力汽车10电动汽车1040

ACD

图4.5.3-5

D

高考新题型专练

ACD

ACD

练习帮·习题课A

基础练

知识测评建议时间：35分钟1.有一组实验数据如表所示：3.06.09.012.015.01.52.52.93.64.0现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是(

)

D

图D

4.5.3-1

B

C

图4.5.3-1

ABD

8

300

（1）如果投放6个单位的药剂，试问渔场的水质一共可持续几天达到有效净化?

（1）试判断哪个函数模型更合适，说明理由，并求出该模型的解析式；

（2）在理想状态下，求开始时菌落的面积.并求约经过多久培养基中菌落的面积是开始时的1

000倍.

探究一指数函数模型例1一片森林原来的面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的

.(1)求每年砍伐面积的百分比;(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?(3)今后最多还能砍伐多少年?分析可建立指数函数模型求解.反思感悟

1.本题涉及平均增长率的问题,求解可用指数函数模型表示,通常可以表示为y=N·(1+p)x(其中N为原来的基础数,p为增长率,x为时间)的形式.2.在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题,都常用到指数函数模型.变式训练1为落实国家“精准扶贫”政策,让市民吃上放心蔬菜,某企业于2020年在其扶贫基地投入100万元研发资金,用于蔬菜的种植及开发,并计划今后十年内在此基础上每年投入的资金比上一年增长10%.(1)写出第x年(2021年为第一年)该企业投入的资金数y(单位:万元)与x的函数关系式,并指出函数的定义域;(2)该企业从第几年开始(2021年为第一年),每年投入的资金数将超过200万元?(参考数据lg0.11≈-0.959,lg1.1≈0.041,lg11≈1.041,lg2≈0.301)解

(1)第一年投入的资金数为100(1+10%)万元,第二年投入的资金数为100(1+10%)+100(1+10%)10%=100(1+10%)2万元,第x年(2021年为第一年)该企业投入的资金数y(万元)与x的函数关系式为y=100(1+10%)x万元,其定义域为{x∈N*|x≤10}.(2)由100(1+10%)x>200,可得1.1x>2,即即企业从第8年开始(2021年为第一年),每年投入的资金数将超过200万元.探究二对数函数模型例2科学研究表明:人类对声音有不一样的感觉,这与声音的强度I(单位:瓦/平方米)有关.在实际测量时,常用L(单位:分贝)来表示声音强弱的等级,它与声音的强度I满足关系式:L=a·lg(a是常数),其中I0=1×10-12瓦/平方米.如风吹落叶沙沙声的强度I=1×10-11瓦/平方米,它的强弱等级L=10分贝.(1)已知生活中几种声音的强度如下表:求a和m的值;(2)为了不影响正常的休息和睡眠,声音的强弱等级一般不能超过50分贝,求此时声音强度I的最大值.声音来源风吹落叶沙沙声轻声耳语很嘈杂的马路强度I(瓦/平方米)1×10-111×10-101×10-3强弱等级L(分贝)10m90反思感悟

(1)基本类型:有关对数函数模型的应用题一般都会给出函数解析式,然后根据实际问题再求解.(2)求解策略:首先根据实际情况求出函数解析式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据数值回答其实际意义.变式训练2大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.记鲑鱼的游速为v(单位:m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为Q,研究中发现v与log3成正比,且当Q=900时,v=1.(1)求出v关于Q的函数解析式;(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5m/s时耗氧量的单位数;(3)一条鲑鱼要想把游速提高1m/s,其耗氧量的单位数应怎样变化?探究三拟合函数模型的应用题例3为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响,在山上建立了一个观察站,测量最大积雪深度xcm与当年灌溉面积yhm2.现有连续10年的实测资料,如下表所示:年序最大积雪深度x/cm灌溉面积y/hm2115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9(1)描出灌溉面积yhm2随积雪深度xcm变化的数据点(x,y);(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y=f(x),并作出其图象;(3)根据所建立的函数模型,若今年最大积雪深度为25cm,则可以灌溉的土地面积是多少?解

(1)数据点分布如图1所示.(2)从图1中可以看到,数据点大致落在一条直线附近,由此,我们假设灌溉面积y

hm2和最大积雪深度x

cm满足线性函数模型y=a+bx(a,b为常数,b≠0).取其中的两组数据(10.4,21.1),(24.0,45.8),解得a≈2.4,b≈1.8.这样,我们得到一个函数模型y=2.4+1.8x.作出函数图象如图2,可以发现,这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系.(3)由(2)得当x=25时,y=2.4+1.8×25=47.4,即当最大积雪深度为25

cm时,可以灌溉土地47.4

hm2.反思感悟

对于此类实际应用问题,关键是先建立适当的函数关系式,再解决数学问题,然后验证并结合问题的实际意义作出回答,这个过程就是先拟合函数再利用函数解题.函数拟合与预测的一般步骤是:(1)能够根据原始数据、表格,描出数据点.(2)通过数据点,画出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线.如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上,滴“点”不漏,那么这将是个十分完美的事情,但在实际应用中,这种情况一般是不会发生的.因此,使实际点尽可能地均匀分布在直线或曲线两侧,得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了.(3)根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.(4)利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,为决策和管理提供依据.变式训练3(广东东莞高一期末)某篮球运动员为了测试自己的投篮最佳距离,他在每个测试点投篮30次,得到投篮命中数量y(单位:个)与测试点投篮距离x(单位:米)的部分数据如下表:为了描述球员在测试点投篮命中数量y与投篮距离x的变化关系,现有以下三种y=f(x)函数模型供选择:①f(x)=ax3+b,②f(x)=-x2+ax+b,③f(x)=abx.(1)选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由,同时求出相应的函数解析式;(2)在第(1)问的条件下,若函数f(x)在闭区间[0,m]上的最大值为29,最小值为4,求m的取值范围.x3568y25292820解

(1)由表中数据可知,f(x)先单调递增后单调递减,∵f(x)=ax3+b与f(x)=abx都是单调函数,∴不符合题意;∵f(x)=-x2+ax+b先单调递增后