2026年北京市房山区高三二模数学试卷（含答案）

第第页房山区2026年高三年级第二次综合练习（二模） 数学 2026.05本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知全集，集合，则（A）（B）（C）（D）（2）已知复数满足，则的共轭复数（A） （B）（C） （D）（3）在的展开式中，的系数为（A） （B） （C）（D）（4）下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（A）（B）（C）（D）（5）宁夏青铜峡一百零八塔，始建于西夏．塔群依山而建，共行，总数恰为座，自上而下每行的塔数构成数列．已知的前项和，从第项到第项构成等差数列，，则（A） （B） （C）（D）

（6）已知，，点满足，为坐标原点，则直线的斜率的取值范围是（A）（B）（C）（D）（7）在中，“”是“”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件（8）设点，若在圆上存在点，使得，则的最大值为（A）（B）（C） （D）（9）已知函数若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）（10）设，数列满足，，，则（A）当时，（B）当时，（C）当时，（D）当时，第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）抛物线的准线方程为．（12）在中，，则=_______；若，为钝角，则边的一个取值为．我国古代圆柱形粮仓设计精巧，充分体现了古人的工程智慧．某仿古粮仓设计要求圆柱底面直径与高之和为12，若不计壁厚，则该粮仓容积的最大值为．已知矩形中，，．若点为中点，则；若点满足（），则的取值范围是．设集合，，给出下列四个结论：①且；②且；③若，则且；④若且，则．其中正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）已知函数．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知，使得函数存在，求的单调递增区间．条件①：函数的最大值为；条件②：函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为；条件③：函数满足．注：如果选择的条件不符合要求,第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

（17）（本小题13分）4月23日是世界读书日．某市调研小学生阅读状况，得到男生、女生最喜爱的一种阅读内容的频率分布如下图：假设不同学生的选择相互独立．用频率估计概率．（Ⅰ）从该市小学生中随机抽取名男生，估计他最喜爱的阅读内容为科学类（包括自然科学和社会科学）的概率；（Ⅱ）从该市小学生中随机抽取名男生和名女生，记这人中最喜爱的阅读内容为漫画的人数为，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）从该市小学生中随机抽取名男生，用“”表示他最喜爱的阅读内容为科学类，“”表示他最喜爱的阅读内容不是科学类；从该市小学生中随机抽取名女生，用“”表示她最喜爱的阅读内容为科学类，“”表示她最喜爱的阅读内容不是科学类．判断方差与的大小．（结论不要求证明）（18）（本小题14分）如图，三棱柱中，，，平面平面．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求平面与平面的夹角的余弦值；（Ⅲ）设点为线段上任意一点（且不与点，重合），求证：直线与平面相交．(19)（本小题15分）已知椭圆的左、右顶点分别为，，直线与椭圆交于点，．（Ⅰ）求椭圆的标准方程与离心率；（Ⅱ）若直线与圆交于点，，直线，与椭圆的另一个交点分别为点，，求证：对任意，直线过定点．（20）（本小题15分）已知函数,．（Ⅰ）若曲线与直线相切，求切点的坐标和实数的值；（Ⅱ）若对任意实数，都存在实数，使得，求的取值范围；（Ⅲ）对给定的，任意，直线与曲线，的交点分别为，求的最小值．（21）（本小题15分）由个实数组成的有序数组称为维向量．维向量，，当且仅当时，．对任意，定义：；．设集合为偶数．令集合存在，使得，．（Ⅰ）写出集合的所有元素；（Ⅱ）判断与是否属于集合，并说明理由；（Ⅲ）若，求证：“”的充要条件为“为偶数，且”．

参考答案选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）D（2）B（3）A（4）C（5）B（6）B（7）C（8）A（9）D（10）A二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）（12）（答案不唯一）（13）（14）（15）=2\*GB3②③三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）解：（Ⅰ）因为，所以由，得．（Ⅱ）．选①②：因为的最大值为，所以，解得或．又因为，所以．所以．因为函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为，所以，所以．所以．又因为，所以．所以．由,解得．所以的单调递增区间为．选②③：因为满足，所以．即恒成立，所以．所以．因为函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为，所以，所以．因为，所以，因为，所以．所以．由．解得．所以的单调递增区间为．（17）（本小题13分）解：（Ⅰ）记事件为“从该市小学生中随机抽取名男生，他最喜爱的阅读内容为自然科学”，记事件为“从该市小学生中随机抽取名男生，他最喜爱的阅读内容为社会科学”，由图可知，，．记事件为“从该市小学生中随机抽取名男生，他最喜爱的阅读内容为科学类”，则．（Ⅱ）的取值范围为．“从该市小学生中随机抽取名男生，他最喜爱的阅读内容为漫画”的概率为，“从该市小学生中随机抽取名女生，她最喜爱的阅读内容为漫画”的概率为．；；；．所以的分布列为：数学期望．法二：．（Ⅲ）．（本小题14分）解：（Ⅰ）因为平面平面，面面，，面，所以平面．又因为平面，所以．（Ⅱ）取的中点．又因为，所以．又因为平面平面，所以平面．如图建立坐标系．则轴．则，，，，，，，．因为平面，所以平面的一个法向量为．设平面的一个法向量为，则所以令，得．设平面与平面的夹角为，则．（Ⅲ）设，则．由（Ⅱ）知平面的法向量为．因为，所以直线与平面相交．（本小题15分）解：（Ⅰ）由题意得,，所以．所以椭圆的标准方程为．因为，所以离心率．（Ⅱ）由得，或．不妨设，，因为，所以，．设直线的方程为，则，．由得．所以．所以．所以．设点，则．同理．所以．所以，，三点共线．所以对任意，直线过定点．（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）设切点，则，．由，得切线斜率．由得．所以切点的坐标为，．（Ⅱ）设，则，．当时，，，的单调递增区间为．对任意实数，都存在实数，使得，当时，由解得．的单调递增区间为．由解得．的单调递减区间为．所以在上，．存在，对任意，，不符合题意．所以的取值范围为．（Ⅲ）因为与，的交点分别为，所以可设，，则，．所以．由（Ⅱ）知当时，在上单调递增，在上单调递减．所以在区间上，．因为，所以．所以．所以，当且仅当时取等号．所以当，即时，的最小值为．（21）（本小题15分）解：（Ⅰ）集合的所有元素：，，，，，，，．（Ⅱ），．因为，所以．记，假设存在，，使得，则，，，．相加，得．因为为偶数，等式左右两端奇