2026年北京市西城区高三二模数学试卷（含答案）

第第页西城区高三模拟测试试卷（二模） 数学 2026.05一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知集合

A={n∣n=4k+1,k∈Z}，集合

(A)

B⊆A (B)

B⊆CZA (C)

A∩B=B（2）已知复数

z

满足

i⋅z+2i=3(A)

2-3i (B)

-2-3i (C)

2+3i（3）双曲线

x2-(A)1 (B)

2 (C)

32 (D)

（4）在平面直角坐标系

xOy

中，角

α

以

Ox

为始边，P(-1,2)

为

α

终边上一点，则

tan(A)

43 (B)

-43 (C)

4（5）已知函数

f(x)

在

R

上单调递增，设

g(x)=f(-x)-f(x)，则函数

g(x)

是(A)奇函数，且在

R

上单调递增(B)偶函数，且在

R

上单调递增(C)奇函数，且在

R

上单调递减(D)偶函数，且在

R

上单调递减（6）在长方形

ABCD

中，AD=4，AB=1，E

是边

BC

上一点，则

EA+ED(A)1 (B)2 (C)3 (D)4（7）设函数

f(x)=(x-a)ln⁡(x+b)，若不等式

f(x)<0

的解集为

(A)

a+b>1 (B)

a+b<0 (C)

a2+b（8）已知正方体

W

和平面

α，则“正方体

W

的8个顶点中存在6个到平面

α

的距离相等”是“平面

α

将正方体

W

分成体积相等的两部分”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件（9）某工厂2023年的年产值为

a，这一年工厂制定10年规划，欲通过技术革新、管理优化等手段，促使工厂产值的年平均增长率为

x%，以期2033年的年产值达到2023年的4倍.实践中，由于市场环境逐步向好，工厂产值的年增长率超过预期.已知2025年的工厂年产值恰好达到规划中2026年的既定目标，如果从2026年起未来8年（含2026年）的年平均增长率与前2年实际年平均增长率相同，那么2033(A)

6a (B)

8a (C)

9a (D)

12a（10）已知无穷数列

an

的各项均为正数，且对任意的正整数

i，总存在正整数

s,t(s≠t)

满足(A)

an

(B)

an

(C)

an

(D)

an

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.（11）在

△ABC

中，若

a=5，b=6，c=8，则最大角的余弦值为（12）在

x3-2x（13）已知向量

a=(-1,3)，单位向量

e=(1,0)，向量

b

满足

∣b-（14）设函数

f(x)=log⁡2x-1,0<x≤4,x-6,x>4,

集合

M={x∣∣f(x)∣=m}，其中

m≥0.若集合

M

中共有3个元素，则

m

的取值范围是（15）在物理实验中，当相互垂直的两个简谐振动的频率比为简单整数比时，示波器上会显示出一条“利萨如曲线”.曲线

C:x2+4y4-4①若

P(x,y)

为曲线

C

上一点，则

∣x∣≤1②曲线

C

上两点间距离的最大值为

6；③曲线

C

所围成的区域的面积小于3；④过原点的直线与曲线

C

最多有3个公共点.其中，所有正确结论的序号是______.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（16）（本小题14分）如图，在三棱锥

P-ABC

中，PA⊥

平面

ABC，PA=AB=1，BC=2，直线

PC

与底面

ABC

所成角的大小为

π（I）求证：BC⊥

平面

PAB；（II）求平面

PAC

与平面

PBC

夹角的余弦值.

（17）（本小题13分）已知函数

f(x)=sin⁡2xsin⁡(（I）求函数

f(x)

的最小正周期；（II）从条件①、条件②、条件③中选择一个条件作为已知，使得函数

f(x)

存在且唯一确定.当

x∈[0,π2]

时，求函数

f(x)条件①：f(π条件②：函数

f(x)

在

π3π条件③：函数

f(x+π6)注：如果选择的条件不符合要求，第（II）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.（18）（本小题13分）随着人们生活水平的提高，参观文博馆成为人们外出旅游的一项重要活动.某市2015年到2025年的文博馆接待的成年人和未成年人的参观次数（单位：万人次）统计图如下：假设各年的参观情况互不影响.（I）在2016年到2025年这10年中任选一年，求这一年与其前一年相比，该市未成年人参观文博馆次数出现增长的概率；（II）从2015年至2020年这6年中任选1年，再从2021年至2025年这5年中任选2年，记选出的3年中该市年参观文博馆总人次超过120万的年数为

X，求

X

的分布列和数学期望；（III）记2015年至2025年该市未成年人和成年人年参观文博馆次数的方差为

s12

和

s22、年参观文博馆总人次的方差为

s32，给出

（19）（本小题15分）已知椭圆

C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)

的左焦点为

F(-1,0)（I）求椭圆

C

的方程；（II）过点

N(-3,0)

的直线与

C

交于

A,B

两点，过点

A

作

AP

垂直直线

MF

于点

P，记

△BPN

和

△BPF

的面积分别为

S△BPN

和

（20）（本小题15分）已知函数

f(x)=1+ln⁡xax（I）当

a=1

时，求曲线

y=f(x)

在点

1,f(1)

处的切线方程；（II）对于

x∈(0,+∞)，讨论

f(x)

与

f(（III）当

0<a<1

时，证明：方程

f(x)=1

存在两个根

x1,x2（21）（本小题15分）给定正整数

n(n≥3)，记集合S对于由

Sn

中的三个元素组成的子集

(a1,a2,…,an),(（I）在

S3

的子集中，写出一个具有性质

T

（II）证明：在

S3

的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质

T

（III）在

S2026

的子集中，最多能选出多少个两两交集为空集，且具有性质

T

的三元子集？说明理由（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （ 1 ）D （ 2 ）B （ 3 ）C （ 4 ）A （ 5 ）C （ 6 ）B （ 7 ）C （ 8 ）D （ 9 ）B （10）D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （11）（12）（13）（答案不唯一）（14）（15）=1\*GB3①=3\*GB3③=4\*GB3④注：（14）题第一空3分，第二空2分；（15）题全部选对得5分，有两个选对且无错选得4分，有一个选对且无错选得3分，其他得0分.三、解答题（共6小题，共85分）（16）（本小题14分）解：（Ⅰ）因为平面，所以，，为在平面内的射影，所以直线与底面所成角为,即.………………2分在中，由，，得．在中，又因为，，所以，即．………………4分又因为，，所以平面．………………6分（Ⅱ）在平面内，过作.由（Ⅰ）得两两垂直.如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，．……………8分设平面的法向量为，则即令，则．于是．设平面的法向量为，则即令，则．于是．………………12分所以，即平面与平面夹角的余弦值为.………………14分（17）（本小题13分）解：（Ⅰ）因为，………………4分所以的最小正周期.………………6分（Ⅱ）选择条件①：由，得，所以，即.结合，得，即.………………9分由，得.结合函数在上单调递增，在上单调递减，得当，即时，；当，即时，.………………13分选择条件③：由为偶函数，得或，即，结合，得.故.………………9分以下解答过程与选择条件①相同，略.（18）（本小题13分）解：（Ⅰ）设事件“这一年与其前一年相比，该市未成年人参观次数出现增长”为，由图可知，在年到年这年中，有年的未成年人参观次数比上一年的未成年人参观次数出现增长，故.………………4分（Ⅱ）由题意，的取值集合为，………………5分由图知：在年至年这年中，只有年和年这年的参观总人次超过万；在余下的年中，只有年和年这年的参观总人次超过万，所以；；；.故变量的分布列为：………………8分所以.………………10分（Ⅲ）.………………13分（19）（本小题15分）解：（Ⅰ）由题意，得，且，，………………3分解得，.所以椭圆的方程为.………………5分（Ⅱ）由题意，直线的斜率存在，故设.………………6分设，，由得，故，即（由题意）.且………………9分由和轴，得，所以直线的方程为，即.点到直线的距离.点到直线的距离.………………12分因为,所以.………………14分又因为，，所以.………………15分（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）由题意，，则.………………2分所以，.所以曲线在点处的切线方程为.………………4分（Ⅱ）设，，………………5分则.当时，由，，得；当时，由，，得，所以当时，（当且仅当时取等号），即在上单调递增.………………7分由，得当时，，即；同理，得当时，.综上，当时，；当时，；当时，.………………9分（Ⅲ）求导，得.令，解得.当变化时，与的变化情况如下表：↗极大值↘所以函数在上单调递增，在上单调递减.………………11分下面证明结论：当时，.（）设，，则.故在单调递增.所以当时，，即.因为，，（利用结论（））.所以，使得.………………13分由（Ⅱ），知当时，.所以，即.又因为，函数在上单调递增，所以，即.………………15分（21）（本小题15分）解：（Ⅰ）答案不唯一.如.………………3分（Ⅱ）由题意，中共有个元素，故最多能选出个两两交集为空集的三元子集.………………5分将中所有元素的第一个分量求和（一个元素可以看成一个数组，第一个数字称为第一个分量，以此类推），知其和等于；同理，所有第二个分量、第三个的分量、……的和均等于.………………7分假设由题意，每个三元子集的所有元素的每一个分量数字之和均为偶数.故中余下的一个元素的每一个分量都是偶数，即只能为.这与矛盾.以在的子集中，不可能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集.………………9分（Ⅲ）记，其中为偶数.不妨设时有意义.当时，的三元子集只有一个，且具有.……10分所以在中最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集.记中具有性质的三元子集为.当时，中有个元素，故最多有个两两交集为空集的三元子集.因为的子集，，，和为两两交集为空集，的三元子集（共个