黑龙江省重点高中2026届高三下学期热点核心考点强化专练数学试卷（含答案）

热点核心卷·数学试卷·第4页（共4页）黑龙江省重点高中2026届高三下学期热点核心考点强化专练数学·试卷分值：150分时间：120分钟注意事项1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则()A. B.或 C. D.2.已知复数，则()A.0 B.1 C. D.3.已知A，B，C是不同的三点，a，b是不共线的平面向量，，，若A，B，C共线，则()A. B. C. D.4.在正四棱台中，，，则该正四棱台的体积为()A. B. C. D.5.设双曲线，的左、右顶点分别是，，点P是C的一条渐近线上一点，O为坐标原点，若，，则C的离心率e为()A. B. C. D.46.某次测试共设置两道必答题，考生至少答对其中一道题即可通过测试.已知考生甲答对每一题的概率均为，在甲通过测试的条件下，其只答对一道题的概率为()A. B. C. D.7.定义在R上的奇函数满足，且在上单调递增，设，，，则()A. B. C. D.8.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的取值范围为()A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是()A.若随机变量X服从正态分布，且，则B.一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14C.已知r为线性相关系数，若越接近1，则两个变量的线性相关性越强D.具有线性相关关系的变量x，y的线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是10.已知，则()A.若，，且，则B.，使得的图象向左平移个单位长度后所得图象关于原点对称C.当时，函数，恰有三个零点，，，且，则D.若在上恰有2个极大值点和1个极小值点，则11.在棱长为3的正方体中，P是平面内的一个动点，若，则下列结论正确的是()A.点P的轨迹长度为 B.直线不可能与垂直C.直线与平面所成角为 D.三棱锥的体积最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线C上一点，且，过点M作x轴的垂线，垂足为N，则的面积为_____________.13.已知正项等比数列的前n项和为，若，，则__________.14.已知函数，对于任意，，当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是_____________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（13分）已知数列满足，.（1）证明：数列是等差数列；（2）设，求数列的前n项和.16.（15分）某农业科技小组为研究某种幼苗的生长规律，从观察之日起，测量了第x天幼苗的高度y（单位：cm），得到数据如下：第x度14.57910.511.512.5该科技小组分析发现，y与x的关系可近似用函数来描述.（1）设，将原数据转化为t与y的对应值，求y关于t的线性回归方程（系数精确到0.01），并由此写出y关于x的回归方程.（2）该批幼苗在高度达到以上时视为“可移幼苗”.现从表中7天的数据对应的幼苗中，随机抽取4天的数据，记其中“可移幼苗”的天数为X，求X的分布列及数学期望.参考公式：的斜率与截距的最小二乘估计公式为，.参考数据：，，，.17.（15分）已知椭圆经过点，过点的直线交该椭圆于P，Q两点.（1）求椭圆C的标准方程.（2）求面积的最大值（O为坐标原点），并求此时直线PQ的方程.（3）若直线PQ与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由.18.（17分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，平面平面ABCD，平面平面，，，.（1）证明：平面ABCD；（2）证明：；（3）若，点A在平面VCD内的射影为E，求二面角的正弦值.19.（17分）已知函数.（1）若，且，求a的最小值.（2）证明：曲线是中心对称图形.（3）若当且仅当，求b的取值范围.数学参考答案题号1234567891011得分答案BDBBCCDCACDBCDACD1.答案：B解析：易得，因为，所以或，故选B.2.答案：D解析：由，则.故选D.3.答案：B解析：因为A，B，C三点共线，所以存在实数使得，即.因为a，b不共线，所以，可得，故选B.4.答案：B解析：作出正四棱台的轴截面，如图，过点作，垂足为E.在正四棱台中，，，则，，，即梯形为等腰梯形，所以，所以该正四棱台的体积.故选B.5.答案：C解析：如图所示，设点P在第一象限，，，所以点P在以原点为圆心，c为半径的圆上.由得.又，所以.在中，，，，所以，即.所以，，，即，所以.故选C.6.答案：C解析：设考生甲答对第一道题和答对第二道题分别为事件，只答对一道题为事件C，甲通过测试为事件B，则，，则在甲通过测试的条件下，其只答对一道题的概率为.故选C.7.答案：D解析：因为为奇函数，所以，所以，所以，所以函数是以8为周期的周期函数.，.又在上单调递增，且，所以，即.故选D.8.答案：C解析：因为，所以，整理得，所以，又，所以，，又，所以（R为外接圆的半径），可得，所以，因为，所以，所以，即的取值范围为.故选C.9.答案：ACD解析：A（√）因为，，所以.B（×）因为，所以数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为.C（√）若越接近1，则两个变量的线性相关性越强.D（√）由题知，解得.故选ACD.10.答案：BCD解析：因为，所以其最小正周期.对于A，由条件知，最小正周期为，所以，故A错误；对于B，函数图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数为，要使其图象关于原点对称，则，解得，，又，所以，B正确；对于C，当时，函数，令，，可得，，因为，所以令，可得图象的一条对称轴为直线，令，可得图象的一条对称轴为直线，由函数在上恰有三个零点，可知，关于直线对称，即，，关于直线对称，即，则，C正确；对于D，当时，，由在上恰有2个极大值点和1个极小值点，得，解得，故D正确，故选BCD.11.答案：ACD解析：如图，连接，因为四边形为正方形，所以，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，又平面，所以，同理可得，因为，平面，所以平面，设平面，即平面.因为平面，所以，.对于A，由得，，则，则，所以点P的轨迹是以E为圆心，半径的圆，其周长为，故A正确；对于B，当时，因为，，平面，所以平面，又平面，则，故B错误；对于C，因为平面，所以为直线与平面所成的角，则，则，故C正确；对于D，因为点E到直线的距离为，所以点P到直线的最大距离为，故的面积的最大值为，又因为平面，所以三棱锥体积的最大值为，故D正确.故选ACD.12.答案：解析：易知抛物线的焦点为，设，则，得，因为点M在抛物线C上，所以，又，所以的面积为.13.答案：8解析：设正项等比数列的公比为，由题意得解得或（舍去），故，，则，所以.14.答案：解析：不等式可变形为，即，当，，且时恒成立，所以函数在上单调递减，令，，则在上恒成立，即在上恒成立，设，则.因为当时，，所以函数在上单调递减，则，则，即实数m的取值范围为.15.答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）因为，所以，则，………3分又，所以数列是首项为，公差为的等差数列.……5分（2）由（1）得，，故，所以，………………7分则，，…………………9分两式相减得，…………………11分所以.……………13分16.答案：（1）（2）分布列见解析，解析：（1）由题表得，则，…………2分，……………4分所以线性回归方程为.代入，得.……………7分（2）高度对应第25，36，49天，共3天，则X服从超几何分布，且X所有的可能取值为0，1，2，3.………………8分根据超几何分布概率公式（，1，2，3），得，，，，…………12分则X的分布列如表所示.X0123P所以.……………15分17.答案：（1）（2），此时直线PQ的方程为或（3）存在，解析：（1）将代入椭圆方程，得，则，所以椭圆方程为.……………………3分（2）当直线PQ的斜率为0时，此时O，P，Q三点共线，不合要求，舍去；当直线PQ的斜率不为0时，设直线PQ的方程为，，，由，消去x得关于y的一元二次方程，，，则，，………5分所以，当且仅当，即时，等号成立.…………8分故面积的最大值为，此时直线PQ的方程为或.………………10分（3）在x轴上存在点，使得恒成立，理由如下.因为，所以，……………………11分即，整理得，即，所以，则，………………13分又，解得.故在x轴上存在点，使得恒成立.……………15分18.答案：（1）证明见解析（2）证明见解析（3）解析：（1）因为底面ABCD为直角梯形，，，所以，又平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，所以平面VAD，…………2分又平面VAD，所以.因为，平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，所以平面VAB，…………4分又平面VAB，所以.因为，平面，平面ABCD，所以平面ABCD.……………6分（2）连接AC，设，则由题意可得，所以，，因此，所以，即.……8分由（1）知平面ABCD，因为平面ABCD，所以，又，平面，平面VAC，所以平面VAC，因为平面VAC，所以.…………10分（3）由题意知AB，AD，AV两两垂直，故可以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，从而，，.………12分设平面VCD的法向量为，则，即，可取，……13分由题意知平面VCD，所以可设.设平面EAD的法向量为，则，即，即，可取.易知为平面VAD的一个法向量.………………15分设二面角的大小为，则，所以，故二面角的正弦值为.………17分19.答案：（1）（2）证明见解析（3）解析：（1）当时，，则，…………2分因为，当且仅当时等号成立，所以，又，故，得，所以a的最小值为.……………4分（2）易知的定义域为，设为曲线上任意一点，关于的对称点为，因为在曲线上，故，………………6分而，所以也在曲线上.由P的任意性可得曲线为中心对称图形，且对称中心为.……8分（3）因为当且仅当，所以为的一个解，所以，可得.………………9分依题