积分方法和计算步长的选择

3.5.积分方法和计算步长的选择

算法和步长的选择考虑以下因素：方法本身复杂程度计算量和误差的大小步长和易调整性系统本身的刚性程度稳定性的要求

3.5.1积分方法的选择

精度要求

影响数值积分精度的因素：截断误差：同积分方法、方法阶次、步长大小等因素有关舍入误差：同计算机字长、步长大小、程序编码质量等因素有关初始误差：由初始值准确度确定

实际应用时应视仿真精度要求合理地选择方法和阶次，并非阶次越高、步长越小越好。计算速度

计算速度：主要取决于每步积分运算所花费的时间以及积分的总次数。

每步运算量：同具体的积分方法有关，它主要取决于导函数的复杂程度以及每步积分应计算导函数的次数。

一般来说，对于系统阶次高、导函数复杂、精度要求高的复杂仿真问题宜采用Adams预估－校正法。

数值解的稳定性

保证数值解的稳定性是进行数字仿真的先决条件，否则计算结果将失去实际意义，导致仿真失败。刚性（病态系统）：对于刚性（病态系统）问题，选择数值积分方法时，应特别注意稳定性的要求，并采取相应的处理策略。积分方法的选择具有较大的灵活性，要结合实际问题而定。RK法：当导函数不是十分复杂而且要求精度不是很高时，RK法是合适的选择；Adams预估－校正法：如果导函数复杂、计算量大，则最好采用Adams预估－校正法；Gear法：对于一些刚性仿真问题来说，Gear法是一种通用的算法，它既适合正常系统，又适合严重的病态系统；对于那些实时仿真问题，则必须采用实时仿真算法。3.5.2积分步长的确定

积分步长与误差的关系：

步长太大，会导致较大的截断误差，甚至会出现数值解的不稳定现象；

步长太小，必增加计算次数，造成舍入误差的积累，使总误差加大。

系统的特性与步长的关系：

在确定积分方法以后，选择积分步长时，需要考虑的一个重要的因素就是系统的动态响应特性。对变化剧烈的快变量，要选择高阶的计算方法，取较小的步长。对于一般工程系统的仿真，确定步长的经验公式：

其中为系统在阶跃函数作用下的过渡过程时间；为系统开环频率特性的剪切频率；为系统的最小时间常数。当系统中有多个闭合回路时，按反应最快的那个闭环系统确定相应的，和。变步长的起因：

1高阶仿真系统的，，有时是很难估计的，有时根本就无法估计上述性能指标。

2系统中最小时间常数对应的极点只影响到过渡过程起始段形态，而系统过渡过程主要由那些靠近虚轴的主导极点所决定。

3固定步长积分方法的计算步长，是按起始段来选取的，会造成后面阶段由于使用过小步长积分而引起计算量增加和时间浪费。变步长策略：

(1)分段变步长，将过渡过程分成几段，每段使用不同的步长；(2)根据每步积分的误差，自动调整下一步的积分步长；(3)最优步长法，使每一步积分步长在保证精度的前提下取最大的步长。3.5.3误差估计与步长控制控制误差的办法通常有三种：

其中是步的局部截断误差，是误差容许值，是第步的步长，是第步的计算值。

RKM变步长方法：

RKM(Runge-Kutta-Merson)

变步长方法。

Merson的四阶RK公式

用上面的RK系数还可以导出一个3阶的RK公式

由以上两式确定的误差为

该算法四阶精度，三阶估计误差，因此被称为RKM34法。该法的缺点是计算量大，每次需计算5次导函数，比普通的RK4法多出1/4的计算量。相对误差方法：

当很大时，是相对误差；而当很小时，便成为绝对误差。这样可以避免当值很小时而导致变得过大。

开始给定初步长和误差上、下限Emax、Emin利用Runge-Kutta-Merson法进行积分运算估计误差E

本步积分无效本步积分有效步长减半步长不变本步积分有效步长加倍输出