冀教版八年级数学下册《21.2 平行四边形的性质》同步练习题（带答案）

第页冀教版八年级数学下册《21.2平行四边形的性质》同步练习题（带答案）平行四边形的定义及对称性1、如图，▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O的直线分别交AD，BC于点M，N，若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，则▱ABCD的面积是（）A.12B.16C.24D.322、平行四边形具有的性质是（）A.四边相等B.对角线相等C.对角线互相平分D.四个角都是直角3、在平行四边形ABCD中，点A关于对角线的交点O的对称点

．4、如图，▱ABCD的对角线交于坐标原点O．若点A的坐标为（﹣，1），点B的坐标为（﹣1，﹣1），求BC的长．利用平行四边形的对边平行且相等求边长1、如图，在▱ABCD中，∠ADC的平分线交BC于点E，过点C作CF⊥DE，垂足为点F，若CF＝BE＝6，DE＝16，则AD的长为（）A.16B.14C.13D.82、如图，点E，F是平行四边形ABCD对角线BD上两点，连接AF，CE，已知AF∥CE，且BE＝4，BD＝13，则EF的长度为（）A.3B.4C.5D.63、如图，在▱ABCD中，AB＝3，∠ABC与∠BCD的角平分线交于点E，若点E恰好在AD边上，则CE2+BE2的值为（）A.12B.16C.24D.364、如图，在▱ABCD中，∠BCD的平分线交BA的延长线于点E．若AE＝1.5，CD＝3.5，则BC的长为

．5、如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，AD＝5，E，F分别是边CD，AD上的动点，且CE＝DF，则AE+CF的最小值为

．6、如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．若BE＝4，AB＝5，求CF．7、如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是CD边的中点，延长AE交BC的延长线于点F．若∠BAF＝90°，BC＝5，EF＝3，求CD的长．利用平行四边形的对边平行且相等求周长或面积1、如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，AC的垂直平分线交AD于E，则△CDE的周长是（）A.8B.6C.9D.102、如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交CD于点E．若CE＝2，BC＝3，则▱ABCD的周长为（）A.16B.14C.10D.83、如图，在▱ABCD中，EF为对角线BD的中垂线，交BC，AD于E，F．已知△CDE的周长为5，则▱ABCD的周长为

．4、如图，点E是▱ABCD的边CD的中点，AE，BC的延长线交于点F，CF＝3，CE＝2，则▱ABCD的周长为

．5、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．（1）求证：BF＝CD；（2）连接BE，若BE⊥AF，∠BFA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．6、如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，AD＝DF，连接DE．（1）求证：AE平分∠BAD；（2）若点E为BC中点，∠B＝60°，AD＝5，求平行四边形ABCD的周长．利用平行四边形的对边平行且相等求角度或坐标1、如图，四边形OABC是平行四边形，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2），OC＝5，点B的坐标是（）A.（2，4）B.（2，﹣4）C.（4，2）D.（4，﹣2）2、如图，▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E，若∠C＝56°，则∠BED度数为（）A.112°B.118°C.119°D.120°3、如图，O为原点，▱ABCD的顶点A（0，4），B（﹣5，﹣1），C（0，﹣1），则点D的坐标为（）A.（5，5）B.（4，5）C.（5，4）D.（4，4）4、在▱ABCD中，E为BC边上一点，AB＝AE，若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，则∠ACB＝

度．5、如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A在y轴上，顶点B，C在x轴上，A（0，2），B（1，0），BC＝4，将平行四边形ABCD绕点B旋转90°后，点D对应点D'的坐标为

．6、如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BF＝DE．（1）求证：AE＝CF；（2）若AD＝AE，∠DAE＝100°，求∠DFC的度数利用平行四边形的对角相等解决问题1、如图，在▱ABCD中，若∠A＝70°，则∠C的度数是（）A.70°B.110°C.120°D.140°2、在▱ABCD中，如果∠A+∠C＝140°，那么∠C等于（）A.20°B.40°C.60°D.70°3、如图，E是平行四边形ABCD的边BC上一点，且AB＝BE，连接AE并延长，与DC的延长线交于点F，若∠D＝40°，则∠F的度数是（）A.30°B.40°C.50°D.70°4、如图，在▱ABCD中，∠C＝70°，DE⊥AB于点E，则∠ADE＝

°．5、如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．下列结论：①∠CAD＝30°②S▱ABCD＝AB•AC③OB＝AB④OE＝BC成立的有

（把所有正确结论的序号都填在横线上）6、如图，▱ABCD中，∠DAB为钝角，AD＝1，AB＝，且▱ABCD的面积为1．求▱ABCD各内角的度数．利用平行四边形的对角线互相平分求解1、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为（）A.2B.C.D.42、如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点O，已知AC+BD＝14，CD＝5，则△AOB的周长为（）A.11B.12C.13D.153、如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BC＝3，△BOC的周长为7，则AC+BD＝

．4、如图▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝2，且AO：BO＝2：3．（1）求AC的长；（2）求▱ABCD的面积．5、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD＝90°，AB＝OB＝2，求线段OC的长度．综合应用平行四边形的性质求解1、如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O，分别交AD，BC于点E，F，且OE＝4，AB＝5，BC＝9，则四边形EFCD的周长是（）A.13B.1C.22D.182、在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝100°，则∠D等于（）A.50°B.80°C.100°D.130°3、如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点，BE＝CD，连接AE，∠D＝50°，则∠BAE的度数为（）A.50°B.55°C.60°D.65°4、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于E．若AE＝2，DE＝1，，则AC的长为

．5、如图，在▱ABCD中，E是AD的中点，若AB＝6，则OE＝

．6、如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交边AB，DC于点E，F，连结AF，CE．若AE＝13，OA＝12．（1）求EF的长；（2）求▱ABCD边AB上的高．综合应用平行四边形的性质证明1、如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（）A.AD∥BCB.AB＝DCC.AO＝COD.BA＝BO2、如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，则下列说法正确的是（）A.AO＝BOB.∠ABC＝∠ADCC.∠BAC＝∠ADCD.AC＝BD3、如图，在▱ABCD中，AB＝2BC，∠BCD＝60°，对角线AC，BD交于点O，∠ADC的平分线交AB于点E，连接OE．下列结论：①DB平分∠CDE；②OE垂直平分BD；③；④S△AOB＝2OE•OB．其中正确的是

（写出所有正确结论的序号）．4、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．AC平分∠DAE．（1）若∠AOE＝52°，求∠ACB的度数；（2）求证：AE＝CF．参考答案1平行四边形的定义及对称性1、如图，▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O的直线分别交AD，BC于点M，N，若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，则▱ABCD的面积是（）A.12B.16C.24D.32【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，点O是对角线AC，BD的交点∴四边形ABCD是中心对称图形，OB＝OD∴S△CON＝S△AOM，S△ABD＝S△CBD∵S△AOD＝S△AOM+S△DOM＝2+4＝6∴S△AOB＝S△AOD＝6∴S△ABD＝S△AOB+S△AOD＝12∴S▱ABCD＝2S△ABD＝24故选：C．2、平行四边形具有的性质是（）A.四边相等B.对角线相等C.对角线互相平分D.四个角都是直角【答案】C【解析】平行四边形的对角线互相平分．故选：C．3、在平行四边形ABCD中，点A关于对角线的交点O的对称点

．【答案】是点C．【解析】在平行四边形ABCD中，点A关于对角线的交点O的对称点是点C故答案为：是点C．4、如图，▱ABCD的对角线交于坐标原点O．若点A的坐标为（﹣，1），点B的坐标为（﹣1，﹣1），求BC的长．【答案】解：∵四边形ABCD为平行四边形∴OA＝OC又∵点O为坐标原点∴点A和点C关于原点对称∵点A的坐标为（﹣，1）∴C点坐标为（，﹣1）∵B（﹣1，﹣1）∴BC＝+1．2利用平行四边形的对边平行且相等求边长1、如图，在▱ABCD中，∠ADC的平分线交BC于点E，过点C作CF⊥DE，垂足为点F，若CF＝BE＝6，DE＝16，则AD的长为（）A.16B.14C.13D.8【答案】A【解析】∵四边形ABCD是平行四边形∴AD＝BC，AD∥BC∴∠ADE＝∠CED∵∠ADC的平分线交BC于点E∴∠ADE＝∠CDE∴∠CDE＝∠CED∴CE＝CD∵CF⊥DE∴∴∴AD＝BC＝BE+CE＝16故选：A．2、如图，点E，F是平行四边形ABCD对角线BD上两点，连接AF，CE，已知AF∥CE，且BE＝4，BD＝13，则EF的长度为（）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，AB＝CD∴∠ABD＝∠CDB∵AF∥CE∴∠AFB＝∠CED在△ABF和△CDE中∴△ABF≌△CDE（AAS）∴BF＝DE∴BE＝DF＝4∴EF＝BD﹣BE﹣DF＝13﹣4﹣4＝5．故选：C．3、如图，在▱ABCD中，AB＝3，∠ABC与∠BCD的角平分线交于点E，若点E恰好在AD边上，则CE2+BE2的值为（）A.12B.16C.24D.36【答案】D【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝3∴DC＝AB＝3，AD∥BC，AB∥CD∴∠AEB＝∠CBE，∠DEC＝∠DCE，∠ABC+∠DCB＝180°∵∠ABC与∠BCD的角平分线交于点E，点E恰好在AD边上∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，∠DCE＝∠BCE＝∠DCB∴∠AEB＝∠ABE，∠DEC＝∠DCE，∠CBE+∠BCE＝（∠ABC+∠DCB）＝90°∴AE＝AB＝3，DE＝DC＝3，∠BEC＝180°﹣（∠CBE+∠BCE）＝90°∴BC＝AD＝AE+DE＝3+3＝6∴CE2+BE2＝BC2＝62＝36故选：D．4、如图，在▱ABCD中，∠BCD的平分线交BA的延长线于点E．若AE＝1.5，CD＝3.5，则BC的长为

．【答案】5．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，AB＝CD＝3.5∴∠E＝∠ECD∵CE平分∠BCD∴∠BCE＝∠ECD∴∠E＝∠BCE∴BE＝BC∵BE＝AE+AB＝1.5+3.5＝5∴BC＝BE＝5．故答案为：5．5、如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，AD＝5，E，F分别是边CD，AD上的动点，且CE＝DF，则AE+CF的最小值为

．【答案】．【解析】如图，延长BC到点H，使CH＝CD，连接EH，AH∵四边形ABCD是平行四边形∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝5，AD∥BC∴∠D＝∠ECH在△CDF和△HCE中∴△CDF≌△HCE（SAS）∴CF＝HE∴AE+CF＝AE+HE当A、E、H不共线时，AE+HE＞AH当A、E、H共线时，AE+HE＝AH∴AE+HE的最小值为AH即AE+CF的最小值为AH过点A作AG⊥BC于点G∴∠AGB＝∠AGH＝90°∵∠B＝60°∴∠BAG＝30°∴BG＝AB＝2∴AG＝＝＝2∵CD＝CH＝4∴BH＝BC+CH＝9∴BH＝BC﹣BG＝7∴AH＝＝即AE+CF的最小值为故答案为：．6、如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．若BE＝4，AB＝5，求CF．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD＝BC，AD∥BC∴∠ADE＝∠CBF又∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F∴∠AED＝∠CFB＝90°在△AED和△CFB中∴△AED≌△CFB（AAS）．∴AE＝CF；在Rt△AEB中，∵∠AEB＝90°∴AE2＝AB2﹣BE2＝52﹣42＝9又∵AE＞0∴AE＝3．∴CF＝AE＝3．7、如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是CD边的中点，延长AE交BC的延长线于点F．若∠BAF＝90°，BC＝5，EF＝3，求CD的长．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC∴∠DAE＝∠F∵点E是CD边的中点∴DE＝CE在△AED和△FEC中∴△AED≌△FEC（AAS）∴AD＝FC．∵CD∥AB，∠BAF＝90°∴∠CEF＝∠BAF＝90°∵AD＝FC，且AD＝BC＝5∴FC＝5∵EF＝3∴CE＝＝＝4∴CD＝2CE＝2×4＝8∴CD的长为8．3利用平行四边形的对边平行且相等求周长或面积1、如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，AC的垂直平分线交AD于E，则△CDE的周长是（）A.8B.6C.9D.10【答案】A【解析】∵AC的垂直平分线交AD于E∴AE＝CE∵四边形ABCD是平行四边形∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝5∴△CDE的周长是：DE+DE+CE＝DC+DE+AE＝DC+AD＝3+5＝8．故选：A．2、如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交CD于点E．若CE＝2，BC＝3，则▱ABCD的周长为（）A.16B.14C.10D.8【答案】A【解析】∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，AD＝BC＝3∴∠DEA＝∠BAE∵AE平分∠BAD交CD于点E∴∠DAE＝∠BAE∴∠DAE＝∠DEA∴AD＝DE＝3∴CD＝DE+CE＝5∴AB＝CD＝5∴▱ABCD的周长为AD+AB+BC+CD＝3+5+3+5＝16．故选：A．3、如图，在▱ABCD中，EF为对角线BD的中垂线，交BC，AD于E，F．已知△CDE的周长为5，则▱ABCD的周长为

．【答案】10．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形∴DC＝AB，AD＝BC∵BD的中垂线EF分别交AD、BC于点E、F∴BE＝DE∴△CDE的周长＝CD+CE+ED＝AB+CE+BE＝AB+BC＝5∴▱ABCD的周长＝2×5＝10故答案为：10．4、如图，点E是▱ABCD的边CD的中点，AE，BC的延长线交于点F，CF＝3，CE＝2，则▱ABCD的周长为

．【答案】14．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD∴∠DAE＝∠F∵点E是边CD的中点∴DE＝CE＝2∴CD＝2CE＝4在△AED和△FEC中∴△AED≌△FEC（AAS）∴AD＝CF＝3∴AD+BC+AB+CD＝2AD+2CD＝2×3+2×4＝14∴▱ABCD的周长为14故答案为：14．5、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．（1）求证：BF＝CD；（2）连接BE，若BE⊥AF，∠BFA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形∴AB＝CD，AD∥BC∴∠FAD＝∠AFB又∵AF平分∠BAD∴∠FAD＝∠FAB．∴∠AFB＝∠FAB．∴AB＝BF∴BF＝CD；（2）解：∵由（1）知：AB＝BF又∵∠BFA＝60°∴△ABF为等边三角形∴AF＝BF＝AB，∠ABF＝60°∵BE⊥AF∴点E是AF的中点．∵AB＝BF＝4∴EF＝2，BF＝4在Rt△BEF中，∠BFA＝60°∴BE＝∴△ABF的面积＝4×2＝4∵四边形BACD是平行四边形∴AD∥BC∴∠D＝∠DCF，∠DAE＝∠F∵AE＝EF∴△ADE≌△FCE（AAS）∴平行四边形ABCD的面积＝△ABF的面积＝4．6、如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，AD＝DF，连接DE．（1）求证：AE平分∠BAD；（2）若点E为BC中点，∠B＝60°，AD＝5，求平行四边形ABCD的周长．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD即AB∥DF∴∠BAE＝∠F∵AD＝DF∴∠DAE＝∠F∴∠BAE＝∠DAE∴AE平分∠BAD；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AD＝BC∵AD＝5∴BC＝5∵E为BC的中点∴BE＝BC＝×5＝∵AD∥BC∴∠DAE＝∠BEA∵∠BAE＝∠DAE∴∠BAE＝∠AEB∴△ABE为等腰三角形又∵∠B＝60°∴△ABE是等边三角形∴AB＝BE＝∴CD＝AB＝∴平行四边形ABCD的周长为2AD+2AB＝2×5+2×＝15．4利用平行四边形的对边平行且相等求角度或坐标1、如图，四边形OABC是平行四边形，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2），OC＝5，点B的坐标是（）A.（2，4）B.（2，﹣4）C.（4，2）D.（4，﹣2）【答案】C【解析】∵四边形OABC是平行四边形∴AB∥OC，AB＝OC∵A（﹣1，2），点C在x轴上且OC＝5∴xB＝﹣1+5＝4，yB＝yA＝2∴B（4，2）故选：C．2、如图，▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E，若∠C＝56°，则∠BED度数为（）A.112°B.118°C.119°D.120°【答案】B【解析】∵四边形ABCD是平行四边形．∴AD∥BC，AB∥CD∴∠ABC+∠C＝180°∴∠ABC＝180°﹣∠C＝180°﹣56°＝124°∵BE平分∠ABC∴∠EBC＝124°÷2＝62°∵AD∥BC∴∠EBC+∠BED＝180°∴∠BED＝180°﹣∠EBC＝180°﹣62°＝118°故选：B．3、如图，O为原点，▱ABCD的顶点A（0，4），B（﹣5，﹣1），C（0，﹣1），则点D的坐标为（）A.（5，5）B.（4，5）C.（5，4）D.（4，4）【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形∴AD＝BC，AD∥BC∵B（﹣5，﹣1），C（0，﹣1）∴BC＝0﹣（﹣5）＝5∴AD＝5∵A（0，4）∴点D的坐标为（5，4）故选：C．4、在▱ABCD中，E为BC边上一点，AB＝AE，若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，则∠ACB＝

度．【答案】35．【解析】四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD∴∠DAE＝∠AEB，∠ACD＝∠BAC∵AE平分∠DAB∴∠EAB＝∠EAD∴∠EAB＝∠AEB∴BA＝BE．∵AB＝AE∴AB＝BE＝AE∴△ABE是等边三角形∴∠B＝∠BAE＝∠AEB＝60°∵∠EAC＝25°∴∠ACB＝∠AEB−∠CAE＝60°−25°＝35°．故答案为：35．5、如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A在y轴上，顶点B，C在x轴上，A（0，2），B（1，0），BC＝4，将平行四边形ABCD绕点B旋转90°后，点D对应点D'的坐标为

．【答案】（3，﹣3）或（﹣1，3）．【解析】如图，连接BD，过点D作DE⊥BC于E∵四边形ABCD是平行四边形∴AD＝BC，AD∥BC∵A（0，2），B（1，0），BC＝4∴AD＝BC＝4∴点D（4，2）∴DE＝2，BE＝3若将平行四边形ABCD绕点B顺时针旋转90°，过点D'作D'F⊥BC于F∴BD＝BD'，∠DBD'＝90°＝∠DEB＝∠D'FB∴∠DBE+∠D'BE＝90°＝∠DBE+∠BDE∴∠BDE＝∠D'BE∴△DBE≌△BD'F（AAS）∴DE＝BF＝2，D'F＝BE＝3∴点D'（3，﹣3）若将平行四边形ABCD绕点B逆时针旋转90°，过点D''作D''N⊥BC于N同理可求D''（﹣1，3）故答案为：（3，﹣3）或（﹣1，3）．6、如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BF＝DE．（1）求证：AE＝CF；（2）若AD＝AE，∠DAE＝100°，求∠DFC的度数【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形∴AB∥DC，AB＝DC∴∠ABE＝∠CDF∵BF＝DE∴BE＝DF在△ABE与△CDF中∴△ABE≌△CDF（SAS）∴AE＝CF；（2）解：∵AD＝AE∴∴∠AEB＝180°﹣∠AED＝180°﹣40°＝140°∵△ABE≌△CDF∴∠DFC＝∠AEB＝140°．5利用平行四边形的对角相等解决问题1、如图，在▱ABCD中，若∠A＝70°，则∠C的度数是（）A.70°B.110°C.120°D.140°【答案】A【解析】∵四边形ABCD为平行四边形∴∠A＝∠C∵∠A＝70°∴∠C＝70°．故选：A．2、在▱ABCD中，如果∠A+∠C＝140°，那么∠C等于（）A.20°B.40°C.60°D.70°【答案】D【解析】如图，∵四边形ABCD是平行四边形∴∠A＝∠C∵∠A+∠C＝140°∴2∠C＝140°∴∠C＝70°故选：D．3、如图，E是平行四边形ABCD的边BC上一点，且AB＝BE，连接AE并延长，与DC的延长线交于点F，若∠D＝40°，则∠F的度数是（）A.30°B.40°C.50°D.70°【答案】D【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∠D＝40°∴∠B＝D＝40°∵AB＝BE∴∠BAE＝∠BEA∴∠BAE+∠BEA＝2∠BAE＝180°﹣40°＝140°∴∠BAE＝70°∵DC∥AB∴∠F＝∠BAE＝70°故选：D．4、如图，在▱ABCD中，∠C＝70°，DE⊥AB于点E，则∠ADE＝

°．【答案】20．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形∴∠C＝∠A＝70°∵DE⊥AB∴∠AED＝90°∴∠ADE＝90°﹣∠A＝90°﹣70°＝20°故答案为：20．5、如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．下列结论：①∠CAD＝30°②S▱ABCD＝AB•AC③OB＝AB④OE＝BC成立的有

（把所有正确结论的序号都填在横线上）【答案】①②④【解析】∵四边形ABCD是平行四边形∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°∵AE平分∠BAD∴∠BAE＝∠EAD＝60°∴△ABE是等边三角形∴AE＝AB＝BE∵AB＝BC∴AE＝BC∴∠BAC＝90°∴∠CAD＝30°，故①正确；∵AC⊥AB∴S▱ABCD＝AB•AC，故②正确∵AB＝BC，OB＝BD∵BD＞BC∴AB≠OB，故③错误；∵∠CAD＝30°，∠AEB＝60°，AD∥BC∴∠EAC＝∠ACE＝30°∴AE＝CE∴BE＝CE∵OA＝OC∴OE＝AB∵AB＝BC∴OE＝BC．故④正确．故答案为：①②④．6、如图，▱ABCD中，∠DAB为钝角，AD＝1，AB＝，且▱ABCD的面积为1．求▱ABCD各内角的度数．【答案】解：过点D作DE⊥BA交BA延长线于E，如图1所示：∵四边形ABCD是平行四边形∴S平行四边形ABCD＝2S△ABD＝2×AB•DE＝AB•DE＝DE∴DE＝1∴DE＝在Rt△AED中，由勾股定理得：AE＝＝＝∴DE＝AE∴△AED是等腰直角三角形∴∠DAE＝45°∴∠DAB＝180°﹣45°＝135°∵四边形ABCD是平行四边形∴∠DAB＝∠BCD＝135°，∠ADC＝∠ABC＝45°.6利用平行四边形的对角线互相平分求解1、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为（）A.2B.C.D.4【答案】D【解析】设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．如图所示：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝4∴AC＝4∵四边形PAQC是平行四边形∴OA＝OC＝AC＝2∴OP′＝2当P与P′重合时，OP的值最小，则PQ的值最小∴PQ的最小值＝2OP′＝4．故选：D．2、如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点O，已知AC+BD＝14，CD＝5，则△AOB的周长为（）A.11B.12C.13D.15【答案】B【解析】∵四边形ABCD是平行四边形∴AO＝CO，BO＝DO∴AO+BO＝（AC+BD）＝7又∵CD＝AD＝BC＝5∴三角形AOB的周长等于AO+BO+AB∵AB＝CD＝5∴三角形AOB的周长＝AO+BO+AB＝7+5＝12．故选：B．3、如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BC＝3，△BOC的周长为7，则AC+BD＝

．【答案】8．【解析】∵四边形ABCD为平行四边形∴，∵△BOC的周长为7∴OB+OC+BC＝7∵BC＝3∴OB+OC＝4∴AC+BD＝2（OB+OC）＝8故答案为：8．4、如图▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝2，且AO：BO＝2：3．（1）求AC的长；（2）求▱ABCD的面积．【答案】解：（1）∵AC⊥AB∴∠BAO＝90°∵AO：BO＝2：3∴设AO＝2a，BO＝3a∵四边形ABCD是平行四边形∴AC＝2AO＝4a在Rt△BAO中，由勾股定理得：22+（2a）2＝（3a）2解得：a＝∴AC＝4a＝；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥AB∴▱ABCD的面积是AB•AC＝2×＝．5、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD＝90°，AB＝OB＝2，求线段OC的长度．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AO＝CO∵∠ABD＝90°，AB＝OB＝2∴AO＝＝＝2∴OC＝2．7综合应用平行四边形的性质求解1、如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O，分别交AD，BC于点E，F，且OE＝4，AB＝5，BC＝9，则四边形EFCD的周长是（）A.13B.1C.22D.18【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形∴CD＝AB＝5，AD∥BC，OB＝OD∴∠OED＝∠OFB，∠ODE＝∠OBF∴△OBF≌△ODE（AAS）∴OF＝OE＝4，DE＝BF∴四边形EFCD的周长＝EF+ED+CD+CF＝OE+OF+CD+BF+CF＝OE+OF+CD+BC＝4+4+5+9＝22故选：C．2、在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝100°，则∠D等于（）A.50°B.80°C.100°D.130°【答案】D【解析】∵四边形ABCD是平行四边形∴∠A＝∠C，AB∥CD∴∠A+∠D＝180°∵∠A+∠C＝100°∴∠A＝50°∴∠D＝180°﹣∠A＝130°．故选：D．3、如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点，BE＝CD，连接AE，∠D＝50°，则∠BAE的度数为（）A.50°B.55°C.60°D.65°【答案】D【解析】在▱ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠D＝50°．∵AB＝CD，BE＝CD∴AB＝BE．∴∠BAE＝∠BEA＝＝65°．故选：D．4、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于E．若AE＝2，DE＝1，，则AC的长为

．【答案】2．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形∴AO＝CO，CD＝AB＝∵OE⊥AC∴OE垂直平分AC∴CE＝AE＝2∵CE2+DE2＝22+12＝5，CD2＝（）2＝5∴CE2+DE2＝CD2∴△CDE是直角三角形，∠CED＝90°∴∠AEC＝90°∴AC＝＝＝2故答案为：2．5、如图，在▱ABCD中，E是AD的中点，若AB＝6，则OE＝

．【答案】3【解析】∵四边形ABCD为平行四边形∴OB＝OD，AB＝CD＝6∵E，O是AD，AC的中点∴∴OE＝3．故答案为：3．6、如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作