初中数学九年级下册《27.3 位似》第一课时教案

初中数学九年级下册《27.3位似》第一课时教案

一、课程理念与课标解读

本节课的设计立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向，旨在通过“位似”这一具体知识载体的教学，深刻践行课程改革的核心理念。课标在“图形的变化”主题中明确要求，学生应“通过具体实例认识平面图形之间的位似关系，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小”。这不仅仅是知识层面的要求，更蕴含着对几何直观、空间观念、推理能力、模型观念等核心素养的综合培养。

从学科本质来看，“位似”是“相似”知识体系中的一个特殊而重要的分支，是连接“相似变换”与“投影几何”的桥梁。它既是对全等、轴对称、旋转、平移、相似等图形变换知识的延续与深化，也为后续在高中阶段学习“向量”、“平面直角坐标系中的变换”乃至更高层次的“射影几何”埋下伏笔。位似变换以其“保角”、“共线”、“成比例”的特性，在数学内部（如分形几何）和外部世界（如摄影、测绘、工程制图、计算机图形学）中具有广泛而深刻的应用。因此，本课的教学绝不能止步于概念的记忆与性质的背诵，而应引导学生经历从现实世界抽象出数学概念、探究数学性质、再应用于解释与解决实际问题的完整过程，实现从“知识本位”向“素养本位”的转变，体现数学的抽象性、严谨性与应用性。

二、教材分析与学情研判

（一）教材分析

本课选自人教版《数学》九年级下册第二十七章“相似”中的第三节“位似”。本章内容逻辑清晰：从“图形的相似”概念出发，研究“相似多边形”的判定与性质，进而深入到“相似三角形”这一核心，最后引出特殊的相似——“位似”。因此，“位似”是本章的收官与升华。教材首先通过生活中常见的放大镜成像、电影放映、影子游戏等实例引入位似图形的概念，然后从“形”的角度定义位似图形，再结合“数”的精确性，引入“位似中心”和“位似比”，并探究位似图形的性质。最后，教材将位似置于平面直角坐标系中，探讨以原点为位似中心的图形坐标变化规律，实现“数”与“形”的完美统一。

本节课作为第一课时，核心任务是建立“位似图形”的概念体系，探究其基本性质。教材的编排体现了从具体到抽象、从特殊到一般的认知规律，但探究活动的深度和知识关联的广度尚有挖掘空间。作为资深教师，需对教材进行“二次开发”，设计更具挑战性和思维容量的探究任务，引导学生不仅仅“知其然”，更能“究其所以然”，理解位似变换在几何变换大家族中的独特地位。

（二）学情研判

教学对象为九年级下学期学生。他们的认知发展处于从具体运算向形式运算过渡的后期，抽象逻辑思维能力显著增强，具备一定的自主探究与合作学习能力。

1.知识储备：学生已经系统学习了全等变换（平移、轴对称、旋转），初步掌握了相似图形的概念、相似多边形的性质以及相似三角形的判定定理。对“对应点”、“对应边”、“对应角”、“比例”等术语较为熟悉。同时，他们熟练掌握平面直角坐标系的相关知识。

2.思维障碍：尽管具备相似知识基础，但“位似”作为一种特殊的相似变换，其“所有对应点连线相交于一点”的约束条件是全新的。学生可能难以从众多相似的图形中精准识别位似关系，容易混淆位似与中心对称、旋转相似等概念。此外，从“图形”的直观感知到“变换”的抽象理解，再到“坐标”的代数刻画，这一思维跃迁对学生而言存在挑战。

3.学习动机：九年级学生面临升学压力，对纯粹的机械训练易产生倦怠。但他们好奇心强，对数学与现实生活的联系、数学内部的奥秘有探索欲望。因此，创设富有现实意义和数学美感的情境，设计层层递进的探究问题，是激发其深度学习动机的关键。

三、教学目标与核心素养

基于以上分析，确立本课时教学目标如下：

1.知识与技能

1.理解位似图形、位似中心、位似比的概念，能准确识别两位似图形。

2.掌握位似图形的性质：对应点连线交于一点（位似中心）；对应边平行或在同一直线上；任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。

3.初步学会利用位似原理，借助尺规将一个图形放大或缩小。

2.过程与方法

1.经历从生活实例中抽象出位似图形概念的过程，发展数学抽象能力。

2.通过观察、猜想、测量、验证、推理等数学活动，探究位似图形的性质，积累几何探究的基本活动经验，发展合情推理与演绎推理能力。

3.在利用位似进行作图的过程中，体会几何作图与数学原理的结合，提升动手操作与问题解决能力。

3.情感、态度与价值观

1.感受位似变换在生活中的广泛应用，体会数学来源于生活又服务于生活的价值。

2.在探究活动中，体验数学的严谨性与美感（如图形的和谐、比例的协调），激发求知欲和探索精神。

3.通过小组合作学习，培养交流协作、勇于质疑的科学态度。

核心素养聚焦：

1.几何直观与空间观念：通过观察、操作位似图形，建立对图形位置关系（共点、平行）和大小关系（比例）的直观把握，在头脑中形成并操作位似变换的心理表象。

2.推理能力：从具体实例中归纳位似图形的共同特征（合情推理），并基于相似形的性质进行逻辑推演，证明位似图形的性质（演绎推理）。

3.模型观念：从纷繁的生活现象中抽象出“位似”这一几何模型，并运用该模型去理解和解释相关现象。

4.应用意识：主动探索位似在绘图、测量、技术等领域的应用，尝试用数学方法解决实际问题。

四、教学重难点

1.教学重点：位似图形、位似中心、位似比的概念；位似图形的基本性质。

2.教学难点：位似图形概念的深刻理解与精准识别；位似图形性质的探究与证明；从“形”的位似到“数”的坐标规律的初步感悟。

五、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（内含丰富的位似实例图片、动画演示）；几何画板或GeoGebra动态数学软件；导学案；透明胶片及记号笔；两个大小不同的相似三角形模型（可连接对应顶点）。

2.学生准备：复习相似图形的定义与性质；直尺、圆规、量角器、方格纸；预习导学案。

六、教学过程实施

(一)情境导入，提出问题(预计时间：8分钟)

1.视觉激趣：课件展示一组精心挑选的高清图片：

1.2.图1：通过放大镜观察蚂蚁，蚂蚁的像与原蚂蚁。

2.3.图2：电影院放映机将胶片上的画面投射到巨幕上。

3.4.图3：同一建筑物在不同焦距下拍摄的两张照片（保持拍摄位置不变）。

4.5.图4：一个光源照射一个三角形积木，在屏幕上形成的影子（光源与屏幕平行）。

5.6.图5：分形艺术图案（如科赫雪花、曼德博集合的局部放大），展现自相似性。

7.问题链驱动：

1.8.师：“请同学们观察这组图片，每组中的两个图形在形状和大小上有何关系？”（引导学生回忆：它们是相似的。）

2.9.师：“那么，这种相似与我们之前学过的任意两个相似图形（比如随意画的两个相似三角形）相比，有没有什么独特的、更进一步的‘秘密’呢？请大家特别关注每组图中两个图形对应点之间的‘位置关系’。”（将学生的注意力从“形似”引向“位”的特殊关系）

3.10.学生观察、思考、初步交流。教师利用几何画板动态演示图4中三角形与影子三角形的对应点连线，发现它们都经过光源点（模拟）。再演示两个随意放置的相似三角形，其对应点连线并不共点。

4.11.师：“看来，这种‘所有对应点连线都交于一点’的相似，是一种‘特殊’的相似。它在生活中和数学中都非常重要。我们今天就来深入探究这种特殊的图形关系——位似。”

（设计意图：通过真实、多样、富有美感的实例，迅速吸引学生注意力，激活其关于“相似”的已有认知。设置对比性问题，制造认知冲突，引导学生发现“特殊之处”，自然聚焦到位似概念的核心特征——“对应点连线共点”，为概念生成奠定坚实基础。分形图案的引入，暗示了位似在更广阔数学领域中的应用，拓宽视野。）

(二)操作探究，建构概念(预计时间：15分钟)

活动一：动手画图，感知特征

1.任务发布：在导学案上，给定一个点O和一个多边形ABC（如三角形）。请利用尺规，完成以下操作：

1.2.(1)连接OA，并延长至A‘，使OA’=2OA。同样方法作出B‘、C’。

2.3.(2)连接A‘B’，B‘C’，C‘A’，得到△A‘B’C‘。

3.4.(3)分别连接AA‘、BB’、CC‘，观察这三条线有什么特点？

4.5.(4)测量并比较对应边AB与A‘B’的长度比，∠A与∠A‘的大小关系。

5.6.(5)改变点O的位置（在多边形内、边上、外部），重复上述过程，观察结论是否依然成立。

6.7.(6)将“OA‘=2OA”改为“OA’=0.5OA”，再操作一次。

8.学生活动：学生独立或两人小组进行操作、测量、记录。教师巡视指导，关注学生的操作规范和对现象的观察描述。

9.汇报交流：

1.10.学生汇报发现：AA‘、BB’、CC‘三条线都交于点O；△ABC∽△A’B‘C’；对应边的比都是2:1（或1:2）；对应角相等。

2.11.教师追问：“当点O的位置改变时，△ABC与△A‘B’C‘还相似吗？对应点连线还共点吗？”学生确认结论不变。

3.12.教师进一步追问：“如果把‘2倍’换成任意倍数k（k>0且k≠1），你猜猜会有什么结论？”引导学生进行猜想。

活动二：抽象概括，形成定义

1.归纳共性：教师引导学生将操作中的发现用精炼的数学语言描述出来。

1.2.两个图形是相似的。

2.3.每组对应顶点的连线都经过同一个点。

3.4.这个点到两个对应顶点的距离之比是定值。

5.给出定义：在学生充分表达的基础上，教师给出严谨的教科书定义，并板书关键词。

1.6.位似图形：如果两个相似多边形，任意一组对应顶点P，P‘的连线都经过同一个点O，且有OP’/OP=k(k是常数，k≠0)，那么这两个图形叫做位似图形，点O叫做位似中心，常数k叫做位似比。

2.7.强调定义的两个核心要素：一是相似，二是对应点连线共点且到该点距离成比例。

3.8.辨析：当k>1时，图形放大；当0<k<1时，图形缩小；当k<0时呢？（为第二课时埋下伏笔，可简要说明此时图形在位似中心两侧，仍位似）。

9.概念辨析：

1.10.课件出示几组图形，请学生判断是否为位似图形，并说明理由。包括：是位似但中心在不同位置的；是相似但非位似的（如旋转相似）；全等图形（可视为位似比为1的位似）；中心对称图形（是位似比为-1的位似）。

2.11.通过辨析，深化对概念本质的理解，厘清位似与相似、全等、中心对称之间的关系。

（设计意图：概念的形成绝非被动接受。通过两个递进的学生活动，让他们在“做数学”中亲身经历概念的发现过程。活动一通过具体的尺规作图，将抽象关系可视化、可操作化，使学生获得丰富的感性认识。活动二引导从感性上升到理性，自主归纳特征，教师再予以精确化，符合概念教学规律。辨析环节巩固概念，并建立知识网络。）

(三)合作探究，演绎性质(预计时间：12分钟)

活动三：探究位似图形的性质

1.提出问题：我们已经从定义中知道了位似图形的两个关键性质（对应点连线共点且成比例）。根据“相似”和“对应点连线共点”这两个条件，我们还能推导出位似图形的哪些其他性质？请小组合作，进行推理证明。

1.2.猜想1：位似图形的对应边有什么位置关系？（平行或共线）

2.3.猜想2：位似图形上任意一对对应点（不仅仅是顶点）到位似中心的距离之比是否都等于位似比？

3.4.猜想3：位似图形的周长比、面积比与位似比有何关系？

5.小组合作探究：

1.6.各小组围绕猜想进行讨论。教师提供提示：可以利用相似三角形的判定与性质；可以尝试将非顶点对应点与位似中心连接，构造相似三角形。

2.7.教师巡视，参与小组讨论，对推理困难的小组进行点拨。

8.成果展示与证明：

1.9.性质1（对应边平行或共线）：请一个小组代表上台，结合几何画板图示进行讲解。

1.2.10.已知：四边形ABCD与A‘B’C‘D’位似于点O，位似比为k。

2.3.11.求证：AB∥A‘B’（当O在图形外时）。

3.4.12.证明思路：由位似定义，OA‘/OA=OB’/OB=k，且∠AOB=∠A‘OB’（对顶角）。∴△OAB∽△OA‘B’。∴∠OAB=∠OA‘B’。∴AB∥A‘B’。同理可证其他对应边平行。当O在对应边所在直线上时，对应边共线。

5.13.性质2（任意对应点距离比等于位似比）：请另一小组补充证明。

1.6.14.在图形上任取一点P，连接OP交另一图形于P‘。需证OP’/OP=k。

2.7.15.证明思路：可通过过P作辅助线，构造与已知顶点构成的三角形相似来证明。此证明有一定难度，教师可视学生情况引导或直接进行精讲，体现思维的严谨性。

8.16.性质3（周长比与面积比）：由相似形性质直接得出：周长比等于位似比|k|；面积比等于位似比的平方k²。

17.教师总结与板书：将探究得到的三条核心性质系统地板书，形成知识结构。

1.18.性质1（位置关系）：对应点连线交于一点（位似中心）；对应边平行或在同一直线上。

2.19.性质2（数量关系）：任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比（|k|）；周长比等于|k|；面积比等于k²。

（设计意图：将性质的发现从“测量验证”升级为“逻辑证明”，是提升学生思维层次的关键一步。通过提出有挑战性的猜想，驱动学生进行深度合作学习。将证明的主动权交给学生，教师作为组织者和引导者，培养学生的逻辑推理能力和数学表达能力。性质的系统性总结，帮助学生构建完整的知识体系。）

(四)典例精析，应用新知(预计时间：10分钟)

例1（概念与性质辨析）：

如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O。

(1)请写出所有的位似三角形对。

(2)若OA：OD=2：3，则△ABC与△DEF的位似比是多少？周长比是多少？面积比是多少？

(3)图中还有哪些线段平行？为什么？

例2（位似作图应用）：

已知四边形ABCD和位似中心点O（在四边形外部），请利用尺规，画出四边形ABCD以点O为位似中心，位似比为1：2的位似图形。

1.学生尝试：先独立思考作图步骤，再请一位同学板演。

2.步骤精讲：教师规范作图步骤并强调原理：连接OA、OB、OC、OD并延长；分别在射线OA、OB、OC、OD上截取OA‘=1/2OA，OB’=1/2OB，…；顺次连接A‘，B’，C‘，D’。

3.变式提问：如果要求画位似比为2：1的放大图形呢？如果点O在四边形内部呢？方法是否一致？（强调方法本质：连接并延长（或反向延长），按比例截取。）

例3（综合应用）：

某小区要修建一个形状与原有花坛ABCD相似的新花坛A‘B’C‘D’，要求新花坛的面积是原花坛的4倍，且对应点A与A’的连线经过一个固定的景观灯柱O（O在花坛外部），请问施工队该如何确定新花坛的位置和大小？请简述设计原理。

1.引导分析：面积比为4，则位似比k²=4，故|k|=2（取k=2，因是放大）。问题转化为：以O为位似中心，以2为位似比，作四边形ABCD的位似图形。利用例2的方法即可。

（设计意图：例题设计遵循由易到难、由单一到综合的原则。例1巩固概念与基本性质；例2聚焦核心技能——位似作图，通过板演和变式讨论，确保学生掌握操作方法；例3是一个简单的实际问题，需要学生将面积比转化为位似比，再应用作图原理解决，体现了数学建模思想，培养学生应用知识解决实际问题的能力。）

(五)课堂小结，反思升华(预计时间：3分钟)

引导学生从多维度进行总结：

1.知识层面：我们今天学习了什么？什么是位似图形、位似中心、位似比？位似图形有哪些主要性质？

2.方法层面：我们是如何研究位似图形的？（从生活实例抽象→动手操作感知→归纳概括定义→推理探究性质→应用解决问题）

3.思想层面：本节课蕴含了哪些数学思想？（数形结合思想、从特殊到一般思想、类比思想、模型思想）

4.联系层面：位似与之前学过的图形变换（平移、轴对称、旋转、相似）有什么联系与区别？（它们都属于几何变换，位似是特殊的相似变换，具有“保角”、“共线”、“缩放”的特性）

(六)分层作业，拓展延伸

必做题：

1.教材课后练习第1、2题（基础概念识别）。

2.教材习题27.3第1题（位似作图）。

3.完成一份思维导图，梳理“图形的变换”知识体系（包括全等变换、相似变换、位似变换）。

选做题：

1.（实践探究）利用手机或相机，固定位置拍摄同一物体的两张不同焦距的照片。尝试在电脑上用绘图软件连接对应点，验证它们是否构成位似关系，并估算位似比。

2.（数学探究）在平面直角坐标系中，已知△ABC顶点坐标为A(0,0)，B(3,0)，C(1,2)。以原点O为位似中心，画出位似比为2和-2的位似图形，并观察、猜测对应点的坐标变化规律。（预习下节课内容）

3.（跨学科阅读）查找资料，了解“分形几何”中的“自相似性”，写一篇200字左右的短文，说明其与“位似”概念的关联。

七、板书设计

（左侧主板书区）

27.3位似（第一课时）

一、定义

1.位似图形：相似+对应点连线共点且成比例。

2.位似中心(O)：对应点连线的公共交点。

3.位似比(k)：OP‘/OP=k(k≠0)。

1.4.k>1：放大；0<k<1：缩小；k<0：反向（异侧）。

二、性质

1.位置关系：

1.2.对应点连线交于点O。

2.3.对应边平行或共线。

4.数量关系：

1.5.|OP‘|/|OP|=|k|（任意对应点）。

2.6.周长比=|k|。

3.7.面积比=k²。

（右侧