小学四年级数学上册第四单元第1课时：算理贯通视域下三位数乘两位数笔算探究导学案

小学四年级数学上册第四单元第1课时：算理贯通视域下三位数乘两位数笔算探究导学案

一、教材与课程定位：基于“数与运算”一致性的种子课深度解读

本课隶属于人教版四年级上册第四单元《三位数乘两位数》第一课时，教学内容为因数中间、末尾均不含0的一般性三位数乘两位数笔算（典型例题：145×12、118×42）。从整数乘法知识图谱审视，本课具有承重墙与连接点的双重属性。学生在三年级上册已掌握多位数乘一位数，三年级下册已掌握两位数乘两位数，本课是小学阶段整数乘法算理算法建构的收官之战，其核心任务并非简单的数据扩容，而是引导学生自主完成从“两位数乘两位数”到“三位数乘两位数”乃至“多位数乘多位数”的认知同化。本课之后将学习因数中间或末尾有0的乘法、积的变化规律及数量关系应用，因此本课时在单元内处于算理原型与算法模型的奠基位置。【非常重要】【高频考点】新课标强调“探索并理解多位数的乘法算法，感悟运算的一致性”，本课正是落实这一核心概念的关键载体。

二、学情画像与认知起点：基于实证的前测分析与教学预设

本课授课对象为四年级学生，平均年龄10周岁。前测数据显示：约92%的学生能准确计算两位数乘两位数（如23×15），并能简述“先用个位乘，再用十位乘，最后相加”的步骤。然而，当追问“为什么十位乘得的积末尾要写在十位上”时，仅35%的学生能关联到位值原理。这表明学生处于程序性知识掌握较好、概念性理解相对薄弱的阶段。此外，本课首次出现三位数乘两位数中连续进位（如118×42中个位8×2=16，十位1×2=2再加进位1等），进位叠加与数位扩增形成的认知负荷是典型难点。因此，本课教学不能止步于教会“怎么算”，而必须通过几何直观（面积模型）与运算直观（计数器模拟）的深度嵌入，帮助学生实现从“机械执行算法”到“意义建构算理”的认知跃升。【重要】【难点】

三、教学目标层级体系：核心素养导向的精准分层

（一）学习理解层

1.借助长方形面积图或点子图，能直观解释三位数乘两位数竖式中每一步积的来源与位值意义，准确描述乘法分配律在笔算过程中的渗透形态。【非常重要】

2.在比较两位数乘两位数与三位数乘两位数异同的基础上，归纳多位数乘法通则：分而治之，合而为一，即分解因数转化为若干个乘法口诀层级，再求和。【重要】

（二）应用实践层

1.能规范书写三位数乘两位数竖式，确保第二部分的积末位与十位对齐，连续进位标记清晰，正确率达到独立练习90%以上。【高频考点】

2.能识别并修正典型错例（如数位对齐错误、漏乘进位、部分积抄写错误），形成验算意识与自我监控习惯。

（三）迁移创新层

1.能将三位数乘两位数的算理迁移至四位数乘两位数、三位数乘三位数的算理推测，实现算法通则的上位建构。

2.能设计符合乘法运算定律的思维训练题，在数感与符号意识层面获得进阶。

四、教学重难点的靶向定位

（一）核心教学重点：理解三位数乘两位数的算理本质——乘法分配律的几何直观呈现，掌握标准竖式书写规范，尤其是第二部分积的对位原理。【非常重要】【高频考点】

（二）教学控制难点：连续进位在数位扩增背景下的流畅处理；学生在脱离直观支持后，能在纯符号运算层面保持对每一步运算意义的内隐觉知。【难点】

五、教学准备与环境赋能

（一）教师端：动态课件PPT（含城市至北京高铁情境、可分层的长方形面积模型动画、计数器模拟拨珠视频、典型错例题库）、磁性黑板贴（用于学生板演固定竖式数位）、红色粉笔（专门标注进位与对位）。

（二）学生端：学习单（含探究区、迁移区、挑战区）、双色笔（黑色写过程，红色标进位列竖式旁）、百格方形图学具（用于分块涂色理解分配律）、平板电脑或答题器（用于即时数据反馈，若条件具备）。

六、教学实施过程深度解码：以学为中心的思维可视化路径

（一）启动阶段：认知冲突唤醒与模型锚定

1.复习铺垫，暴露位值理解层级（预设3分钟）

教师呈现两位数乘两位数算式24×13，不急于计算，而是要求学生“讲出竖式中每一部分积是谁乘谁得到的，它实际上表示几个几”。学生回顾：先用13个位上的3乘24得72（表示72个一），再用13十位上的1乘24得24（但这里的24表示24个十，即240），最后72+240=312。教师追问：“为什么24的末位2要写在十位上？”引导学生用计数器或简图解释：十位上的1代表10，10乘24得240，因此2（百位）4（十位）0（个位），末位自然对齐十位。【重要】

2.情境导入，产生认知需求（预设2分钟）

课件动态呈现：一列复兴号动车组以每小时145千米的速度行驶，从北京南站出发12小时后到达某城市。车厢内乘客眺望窗外，字幕弹出：“已经行驶了12小时，每小时145千米，北京到该城市有多少千米？”学生列式145×12。教师点题：这不仅是两位数乘两位数向三位数乘两位数的跨越，更是我们打通整数乘法任督二脉的关键一课。【非常重要】

（二）探究阶段：算理算法的双向奔赴

1.独立试算，暴露多元思维层次（预设4分钟）

教师下达指令：“请你用已经学过的本领，想办法算出145×12的结果。可以用竖式，也可以用拆分口算，还可以在学习单的方形图里分一分、涂一涂。”教师巡视，有目的地搜集三类典型资源：第一类，口算类（145×10=1450，145×2=290，1450+290=1740）；第二类，竖式类（含完全正确与对位错误、进位遗漏等）；第三类，几何直观类（在长方形中划分100、40、5与10、2的区域并分别计算面积）。【重要】

2.顺序展评，从算法多样性走向算法共通性（预设8分钟）

第一层次：聚焦口算逻辑。展示学生145×10+145×2的方法。教师以追问驱动深度思考：“为什么要拆成10和2？不拆成5和7行吗？”引导学生明晰：拆成整十数与一位数是为了直接调用口算经验，整十数乘三位数可实现简便运算。这是乘法分配律的朴素表达。【重要】

第二层次：关联口算与竖式。展示竖式计算正确的作品，将其与口算分步对照排列：

145

×12

——————

290（145×2）

145（145×10）

——————

1740

教师用红色虚线将竖式中的290与口算145×2连线，将竖式中的145（实为1450）与口算145×10连线。追问：“竖式中的145，末位5为什么写在十位上？这少写了一个0，是偷懒还是智慧？”学生在辩论中明晰：这里的145代表145个十，末尾的0在竖式格式中被默认为位值占位，因此5必须写在十位，体现数学的简洁美与位值制的严谨性。【非常重要】【高频考点】

第三层次：几何直观深度建模。展示学生在长方形方格图中划分区域的作品：将长145（可视作100+40+5）、宽12（可视作10+2）的长方形分割为六个小长方形，分别计算2×5、2×40、2×100、10×5、10×40、10×100的面积，最后求和。教师利用课件动态演示：六个小区域逐渐聚合成大长方形，六个积依次合并为290与1450，最终合并为1740。师生共同总结：“无论口算、竖式还是图形，我们都做了一件事——先拆后合，拆是为了用已知解决未知，合是为了得到最终结果。这就是数学的转化思想。”【非常重要】

3.聚焦核心：攻克连续进位与数位扩增（预设6分钟）

教师呈现进阶题：118×42。此题与145×12的本质区别在于：145×12仅在个位相乘时涉及进位（5×2=10），而118×42在个位（8×2=16）向十位进1，十位1×2=2再加进位1得3，百位1×2=2，此为第一层部分积；第二层用十位4乘118时，4×8=32，向百位进3，4×1=4再加进位3得7，4×1=4，得472（实际4720）。此为双重进位叠加。

教学处理策略：

策略A：分步慢镜头。教师板书演示，每乘一步，用彩色粉笔在竖式左侧标注本次运算的算理语言，如“2×8=16，写6进1，进位1记在十位横线上”。

策略B：算理再追问。完成竖式后，随机抽取中等生回答：“4720中的7是怎么来的？”迫使学生回溯：4（十位上的4，表示40）×118，先算40×8=320，写20进3，再算40×10=400，加进位30得430，再算40×100=4000，最后整合。若学生直接背诵算法，则需用计数器演示40×118的拨珠过程，让“进位的3”看得见、摸得着。【难点】【重要】

策略C：验算反证。学生用计算器复核118×42=4956，确信正确后，教师追问：“如果不进位，118×40得4720，118×2得236，4720+236=4956。如果进位算错了，比如十位忘了加进位的3，结果会少多少？”通过误差分析强化进位责任意识。

（三）固化阶段：算法模型的提炼与规范化训练

1.回顾对比，构建整数乘法通用算法（预设5分钟）

师生对话生成结构化的板书模型：

（1）拆分：用两位数个位上的数去乘三位数，积的末位与个位对齐；

（2）再乘：用两位数十位上的数去乘三位数，积的末位与十位对齐；

（3）相加：把两次乘得的积相加。

教师呈现对比表格（仅口头描述，不绘制表格）引导学生思辨：两位数乘两位数与三位数乘两位数在计算步骤上有什么异同？学生发现：步骤完全一致，都是两步乘一步加；不同在于乘的过程中，三位数乘两位数因为三位数每一位都要与两位数的每一位相乘，所以口算难度增大，进位次数可能增多。教师升华：“所有的多位数乘法，都是这九个字——分拆乘、分别积、合起来。不管因数变成几位数，算理从不改变。”【非常重要】

2.专项练习，精准突破易错点（预设8分钟）

第一层：对位专项。出示不完整竖式：326

×23

978

□□□

让学生在方框中填写第二部分积，并解释为什么末位写在十位。

第二层：进位专项。出示计算过程：275

×34

1100

825

9350

引导学生判断正误。此题典型错误：十位7×4=28，加进位2得30，写0进3，但学生常漏加进位导致第二部分积出错。学生独立辨析，小组内说明错因及改正方案。【高频考点】

第三层：独立作业。完成学习单“基础园地”：124×23，217×43。要求：书写工整，进位标记清晰。教师巡视，用红笔在典型正确与错误个案旁标记，准备后续讲评。

（四）升华阶段：结构化迁移与认知进阶

1.联想迁移：四位数乘两位数会算吗？（预设4分钟）

教师呈现挑战题：1309×26。学生几乎本能地迁移：用26个位上的6乘1309，再用十位上的2乘1309，积的末位对齐十位。教师追问：“为什么没学过你也会？”学生回答：“因为都是把两位数拆成几十和几，分两步乘。”教师总结：“这就是数学的力量——新知识往往是旧知识的重新组合。你能创造出三位数乘三位数的计算方法吗？课后试一试。”【一般】

2.文化渗透：回溯乘法竖式的智慧（预设1分钟）

课件简要播放动画：从古埃及的倍数累加法、到明朝《算法统宗》的铺地锦，再到今天世界通用的标准竖式。无论形式如何演变，其核心都是位值制与分配律。增强学生对中华数学文化的自豪感及对人类数学文明的敬畏。【一般】

（五）反馈阶段：当堂靶向测评分层达标

使用答题器或手势反馈，完成三道当堂检测题：

1.基础再现：234×21，重点观察第二部分积对位准确性。（100%达标）

2.错例辨析：竖式342×28，若某步骤积为2736，这是谁乘谁的积？判断对错。（诊断算理理解深度）

3.思维拓展：算式5□7×□2，积是四位数，方框里可以填几？（综合素养提升）

教师根据即时反馈数据，针对错误率超15%的知识点进行30秒即刻补救，不将问题带出课堂。

七、板书设计：思维可见的逻辑图谱

黑板左侧主板书区，纵向排布：

第一板块：旧知锚点——24×13竖式，标注“个位乘：72个一”“十位乘：24个十（240）”。

第二板块：新知建构——145×12竖式，左侧用箭头关联口算拆分，右侧用红色虚线框圈出“290”与“1450”，板书核心语：分拆乘、分别积、合起来。

第三板块：算理内核——用简笔画呈现长方形分割（145×12），标注乘法分配律的直观形态。

黑板右侧副板书区：118×42连续进位演示，进位数字用红色放大书写；学生典型错例及修改图示。

整个板书采用区块化布局，左重算理，右重警示，中心为算法模型，实现全程不擦除、全课可回视。【重要】

八、作业设计：基础保底与拓展扬长

（一）必做作业（面向全体，巩固双基）

1.数学书第49页做一做第1题、第2题，要求竖式规范，进位标记完整。

2.编题练习：根据算式231×32，向家长讲一遍“先算什么，再算什么，为什么这样对齐”，家长评价是否讲清了道理。（落实新课标“三会”中的“会用数学语言表达世界”）【重要】

（二）选做作业（面向学有余力，思维挑战）

3.推理作业：不计算，直接圈出下面哪个答案可能是145×12的积？A.1595B.1740C.1890D.1450，并说明排除其他选项的理由。（利用积的位数、个位数字、估算区间综合判断）

4.探究作业：观察算式23×14、123×14、1234×14，先用竖式算出前两个，再猜想第三个的结果，并用计算器验证。你发现了什么规律？【一般】

九、教学评价量规：教-学-评一致性的具体落地

本课采用过程性评价与终结性评价相结合的方式。

过程性评价聚焦三个维度：其一，参与度——能否在小组交流中主动表达对位值意义的理解；其二，思维度——能否在错例辨析中独立找到错误根源并用清晰语言表述；其三，