山西省太原市高三上学期期末考试数学

山西省太原市高三上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知复数满足，则（

）A． B． C． D．3．已知，，则（

）A． B． C． D．4．已知是递减的等比数列，是其前项和，且，，则数列的公比（

）A． B．C．或 D．5．已知直线与圆相交于，两个不同点，直线与轴与轴分别相交于，两点，若，则（

）A．2 B． C．6 D．6．某次市运会跳水项目的预赛中有名参赛选手，其中校有名，校有名，校有名.现要求校名选手的出场均不能和校选手的出场相邻，则这名选手不同出场顺序的种数为（

）A． B． C． D．7．在中，，，点满足，则（

）A． B． C．12 D．188．如图，函数的图象是以坐标原点为对称中心，以轴和直线为两条渐近线的双曲线，则其离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知是等差数列的前项和，，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．10．已知棱长为的正方体中，点为棱的中点，动点为四边形内一个动点（包括边界），则下列结论正确的是（

）A．若，则点的轨迹的长度为B．若，则的最小值为C．若，则的最大值为D．若点到点的距离等于它到直线的距离，则的最大值为11．在中，，，分别为内角，，的对边，，，的面积为，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题12．双曲线的焦点坐标为.13．已知四棱锥的底面是正方形，二面角的大小为，且，则该四棱锥外接球的表面积是.14．已知函数，若对于任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为.四、解答题15．在中，，.(1)求；(2)若，求的面积；(3)在（2）的条件下，求的角平分线的长.16．随着人工智能的快速发展，它在社会生活中的应用将越来越广泛.某AI科技公司发明了一套人机交互软件，对用户输入的问题它会从数据库中自动检索并生成答案进行应答.大量试验统计表明，如果输入的问题没有语法错误，则软件生成正确答案的概率为85%；若出现语法错误，则软件生成正确答案的概率为35%.已知用户每次输入的问题没有语法错误的概率为90%，且对于每次输入的问题软件生成正确答案相互独立.(1)求用户输入一个问题软件生成正确答案的概率；(2)在某次试验中，用户输入（）个问题，记其中软件生成正确答案的个数为，事件（）的概率为.当取何值时，的值最大？17．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，，点是的中点，，.(1)证明：；(2)棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请确定点的位置；否则，请说明理由.18．已知抛物线关于轴对称，其焦点是，直线与相交于，两个不同点，且.点，动点满足.(1)求抛物线的标准方程；(2)求点的轨迹方程；(3)设，是过作抛物线的两条切线的切点，求面积的最大值.19．已知函数（）.(1)当时，求函数在点处的切线方程；(2)讨论函数零点个数；(3)若，（）是函数的两个零点，证明：.

参考答案1．C【详解】解不等式得，即，又因为，所以故选：C2．C【详解】故选：C.3．A【详解】因为，，所以，所以故选：A4．B【详解】因为，，所以，即，所以，即，解得或，因为是递减的等比数列，所以舍去，所以.故选：B5．C【详解】对于，令，解得，则，令，解得，则，由两点间距离公式得，因为，所以，将化为标准方程，可得，则圆心为，半径为，得到，解得，设圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式得，由弦长公式得，解得，故C正确.故选：C6．B【详解】记校名选手分别为甲、乙，记事件甲与校选手的出场相邻，事件乙与校选手的出场相邻，如下图所示：事件为：校选手的两边为甲和乙，则满足题意的排法种数为种.故选：B.7．C【详解】如图，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，则，设，由得：，即解得，故，所以，故选：C8．D【详解】设双曲线的实轴长为，虚轴长为，因为双曲线以轴和直线为两条渐近线，所以双曲线的两条渐近线的夹角为，所以双曲线的一条渐近线与实轴的夹角为所以，所以离心率为.故选：D9．BCD【详解】在等差数列中，，解得，则公差，对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，，C正确；对于D，，，因此，D正确.故选：BCD10．BC【详解】设，则，在正方体中，平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，设点，其中，，，，因为，则，整理可得，此时点的轨迹是以点为圆心，且半径为的半圆，故点的轨迹的长度为，A错；对于B选项，因为，化简可得，其中，，由可得，可得，又因为，则，可得，所以当且仅当时，等号成立，故的最小值为，B对；对于C选项，因为，化简得，其中，，所以，当且仅当或时，等号成立，故的最大值为，C对；对于D选项，，，点到直线的距离为，，由题意可得，所以，整理可得，因为，则，从而，所以，又因为，故，故，则的最大值为，D错.故选：BC.11．ABD【详解】因为，所以，根据正弦定理边角互化得，因为，，所以，即所以，由余弦定理可知，，故，若，则，注意到，所以（两者同负会有两个钝角，不成立），即，因为，都是锐角，所以，于是，这和相矛盾，故不成立，所以.所以，，所以，A选项正确；，即，所以或，即或，当时，，；当时，，，故B选项正确；因为的面积为，所以，当，时，，，，解得，，；当，时，，，，解得，，；所以C选项错误，D选项正确.故选：ABD12．，【详解】由双曲线方程得双曲线焦点在轴上，且，所以双曲线的焦点坐标为，故答案为：，13．【详解】如图，作出符合题意的图形，取中点中点，连接，因为，所以又四边形是正方形，所以因为平面平面，所以为二面角的平面角，所以，取上靠近点的三等分点的中点，分别过点作平面的垂线，过点作平面的垂线，两垂线交点即为该四棱锥外接球球心，因为，所以，则在中，，所以三角形的外接圆半径满足，因为，所以四点共圆，且圆的直径为，所以，所以四棱锥的外接球半径满足，所以外接球表面积为.故答案为：.14．【详解】因为，所以，所以，即因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，所以，所以对于任意的实数恒成立，即对于任意的实数恒成立，所以令，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，即的最大值为所以，即实数的取值范围为故答案为：15．(1)3(2)(3)【详解】（1），，，由得，.（2）由（1）得，，，或（舍去），的面积.（3）设，则，，，.16．(1)(2)或【详解】（1）解：记“用户输入一个问题没有语法错误”为事件，“用户输入一个问题软件生成正确答案”为事件，由题意可得，，，，.所以用户输入一个问题软件生成正确答案的概率为0.8.（2）解：由（1）知用户输入一个问题软件生成正确答案的概率为0.8，则，，令，则，令，则；令，则；令，则；所以或时，取最大值.17．(1)证明见解析(2)存在，点是的中点【详解】（1）证明：底面为平行四边形，，，在中，，，，，，，即，，，平面，平面，∵平面，，四边形为平行四边形，.（2）解：由（1）得，，，平面平面，∵平面，，，，以为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，假设存在点，设（），，设是平面的一个法向量，则，即令，则，，，设直线与平面所成角为，则，或（舍去），，即点是的中点.棱的中点，使得直线与平面所成角的正弦值为.18．(1)(2)(3)【详解】（1）由题意可设抛物线的标准方程为（），，抛物线经过点，，，抛物线的标准方程为.（2）设，由（1）得，因为动点满足，点，则，化简得，即.所以点的轨迹方程为.（3）设，，，由得，，抛物线在点处的切线方程为，即，点在该切线上，，同理可得，直线的方程为，由得，，，，点到直线的距离，面积，由（2）点满足方程，则，，，∴面积，当时，面积取得最大值.19．(1)(2)答案见解析(3)证明见解析【详解】（1）当时，则，，，，在点处的切线方程为，即，即.（2）令，因为，所以，，令，，则，令，则；令，则或；的递增区间为，递减区间为和；是的极小值，是的极大值，当时，；当时，且，则的零点个数即为与的交点个数，当时，与无交点，即函数无零点；当或时，与有且仅有个交点，即