初中数学九年级下册：相似三角形判定定理总复习教案

初中数学九年级下册：相似三角形判定定理总复习教案

一、设计理念

本复习教案立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心要求，以“单元整体教学”和“深度学习”理论为指导，超越传统的、碎片化的知识点罗列式复习。我们致力于将“相似三角形的判定”这一核心板块，置于“图形与几何”领域的大概念——“图形的变化与度量”之下进行重构。

复习的核心目标不仅仅是记忆四条判定定理，而是引导学生构建一个层次分明、逻辑自洽、可迁移应用的判定知识体系。通过精心设计的“问题链”和“任务串”，促使学生经历“回顾-联结-辨析-应用-创生”的完整认知闭环，实现从“知其然”到“知其所以然”，再到“知何由以知其所以然”的思维跃迁。教学过程中，将深度融合“几何直观”、“逻辑推理”、“模型思想”及“应用意识”等核心素养，通过变式教学、一题多解、多题归一、真实情境建模等策略，培养学生的高阶思维和解决复杂问题的综合能力，体现当前数学复习课教学的最高标准和前瞻性视野。

二、教学目标

1.知识与技能：

1.2.系统梳理并熟练掌握相似三角形的四条基本判定定理（两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例）以及直角三角形特有的判定定理（斜边和一条直角边成比例）。

2.3.能准确、迅速地在复杂图形中识别或构造相似三角形的基本模型（如“A型”、“X型”、“母子型”、“旋转型”等）。

3.4.灵活综合运用判定定理、相似性质、比例性质及平行线分线段成比例定理进行几何证明和计算。

5.过程与方法：

1.6.经历自主构建知识网络图的过程，掌握结构化复习的方法。

2.7.通过解决一系列具有层次性、开放性和探究性的问题，发展观察、猜想、分析、综合、演绎、归纳的数学思维能力。

3.8.体验“从特殊到一般”、“从具体到抽象”、“转化与化归”的数学思想方法，提升几何证明的严谨性和计算的策略性。

9.情感、态度与价值观：

1.10.在解决具有挑战性的问题中获得成就感，增强学习数学的自信心和兴趣。

2.11.体会数学知识内部的和谐统一与逻辑之美，养成严谨求实、有条理的思维习惯。

3.12.通过相似三角形在测量、绘图、物理等领域的应用实例，认识数学的广泛应用价值。

三、学情分析

九年级下学期的学生正处于中考总复习的关键阶段。他们已经完成了相似三角形全部新知的学习，具备了以下基础：

1.知识基础：了解四条判定定理的文字及符号表述，能够解决基础的直接应用问题。熟悉全等三角形的判定，具备类比学习的基础。

2.能力基础：具有一定的逻辑推理能力和几何图形观察能力，能进行简单的综合证明。

然而，在复习前，学生普遍存在以下典型问题：

1.知识碎片化：判定定理之间孤立存在，未能形成有机整体，不清楚在何种情境下优先选用哪条定理。

2.图形识别能力弱：在叠加了中位线、角平分线、旋转等元素的复杂图形中，难以迅速剥离或构造出相似三角形的基本模型。

3.综合运用不灵活：习惯于“条件反射式”套用定理，当问题需要将相似判定与性质、方程思想、分类讨论等结合时，思路受阻，缺乏策略。

4.语言表达不严谨：证明过程中因果逻辑链条不完整，跳步现象严重。

因此，本复习课将通过“体系构建”化解碎片化，通过“模型透视”提升识图力，通过“策略剖析”增强综合性，通过“规范示范”严把表达关。

四、教学重难点

1.教学重点：

1.2.相似三角形判定定理体系的梳理与内在逻辑关系的理解。

2.3.在复杂图形中灵活识别、构造和应用相似三角形模型解决问题。

4.教学难点：

1.5.对不具备直接相似条件的图形，如何通过添加辅助线或等价转化（如等线段代换、等角代换）创造应用判定定理的条件。

2.6.综合运用相似、勾股定理、三角函数、方程等多工具解决动态几何与实际问题，形成最优解题策略。

五、教学资源

多媒体课件（几何画板动态演示）、学案（导学任务单）、实物投影仪、三角板。

六、教学过程

第一环节：锚定核心，体系自构——从“记忆库”到“思维图”（约15分钟）

活动一：独立静思，唤醒旧知

教师出示引导性问题，学生独立静默思考并完成学案第一部分。

1.判断两个三角形相似，有哪些可能的路径？请尽可能多地从“角”和“边”的角度列举。

2.“两边成比例且一角相等”能否判定相似？为什么？请画图说明。

3.直角三角形相似的判定，除了适用于一般三角形的方法，还有什么特殊方法？其依据是什么？

4.平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，这个定理与相似三角形判定有何内在联系？

设计意图：问题1是开放性检索，旨在全面唤醒知识；问题2是典型易错点辨析，直击认知关键；问题3关注特殊性；问题4旨在建立“平行线分线段成比例”与“A/X型相似”的本质联系。四个问题构成认知支架。

活动二：小组共生，构建网络

学生4人一组，交流个人思考成果，合作完成一项核心任务：绘制一幅“相似三角形判定定理”的思维导图或概念图。要求不仅呈现定理条目，更要体现定理之间的关系（如一般与特殊、并列与递进）、产生方式（定义法、简化法）、典型关联图形（基本模型）。

教师巡视指导，重点关注小组是否在梳理中解决了以下问题：

1.将“两角对应相等”置于基础性地位（定义的简化）。

2.理解“两边夹角”和“三边”判定是由“角”判定推导出的“边角”和“边边”条件。

3.明确直角三角形判定的特殊性来源于勾股定理。

4.将“平行线出相似”作为重要应用模型纳入体系。

活动三：精讲点拨，范式提升

选取1-2个具有代表性（如层次清晰、有创造性联系）的小组作品进行投影展示，由小组代表讲解。教师在此基础上，呈现经过优化的“专家级”知识结构图，并进行精要阐释。

【专家级结构图示例】

相似三角形的判定

├──定义法：对应角相等，对应边成比例（理论根基，极少直接用于证明）

├──判定定理体系

│├──（核心）角角(AA)：两个角分别相等

││└──推论：一个锐角相等的两直角三角形相似

│├──边角边(SAS)：两边成比例且夹角相等

│├──边边边(SSS)：三边成比例

│└──（特殊）斜边直角边(HL)：斜边和一条直角边成比例

└──重要衍生模型

├──平行线模型：平行于三角形一边的直线→A型/X型相似

├──母子型（共边共角型）：一个公共角，且夹公共角的两边对应成比例

└──旋转型（手拉手型）：共顶点的两个三角形，对应边成比例且夹角相等

教师强调：复习的最高境界是看到“森林”而非“树木”。AA是“入口最宽”的路径；当角的信息不足时，要转向“边”的信息；所有判定最终都服务于“找对应角相等或对应边成比例”这一根本目标。

第二环节：模型透视，策略析理——从“识图形”到“通法门”（约40分钟）

本环节通过一系列经典题组，训练学生在复杂背景下“透视”基本模型、并选择最优判定策略的能力。

题组一：模型识别与直接应用

1.如图，在△ABC中，D、E分别在AB、AC上。

(1)若DE//BC，图中有哪几对相似三角形？依据是什么？

(2)若∠ADE=∠C，图中有哪几对相似三角形？依据是什么？

(3)若AD:AB=AE:AC，还需添加什么条件可判定△ADE∽△ABC？

设计意图：从最基础的平行模型（A型）切入，过渡到AA判定，再到SAS判定的条件辨析。巩固判定定理的直接应用，并明确“对应边夹角”这一关键。

2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D。

(1)图中共有多少对相似三角形？请全部找出并说明理由。

(2)若AC=6，BC=8，求CD、AD、BD的长。

设计意图：本题是“双垂直”经典模型（母子型叠加）。要求学生系统性地运用AA判定找出所有相似关系（△ABC∽△ACD∽△CBD），并自然过渡到利用相似性质进行比例计算和方程求解。强调“复杂图形由基本模型组合而成”的透视能力。

题组二：条件转化与辅助构造

3.已知：在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB。

求证：AC²=AB·AD。

策略分析：

1.观察：结论是等积式，通常转化为比例式AC/AB=AD/AC

。

2.联想：比例式暗示着可能存在以AC、AB、AD为边的相似三角形。

3.构图：线段AC是公共边，可设想△ACD与△ABC相似。

4.验证：已知∠ADC=∠ACB，由角平分线得∠DAC=∠BAC。满足AA判定，故△ACD∽△ABC。

5.推导：由相似得AC/AB=AD/AC

，即AC²=AB·AD

。

教师点拨：对于“等积式”或“比例式”证明，核心策略是“化比例为相似”，即寻找（或构造）包含这些线段的两个可能相似的三角形。本题的关键是利用已知等角结合角平分线提供的第二个等角，直接应用AA。

1.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC边上，且∠DAE=∠B。

求证：△ABD∽△ECA。

策略分析：

1.2.难点：△ABD与△ECA没有明显的直接等角关系。

2.3.转化：利用等腰三角形性质和外角定理进行等角转化。

3.4.推导：∵AB=AC，∴∠B=∠C。

∵∠DAE=∠B，∴∠DAE=∠C。

又∵∠ADB是△ADC的外角，∴∠ADB=∠C+∠CAD。

同理，∠AEC=∠B+∠BAE。

又∵∠DAE=∠CAD+∠BAE=∠C，

通过角的和差关系可推导出∠ADB=∠AEC（或另一组对应角相等）。

4.5.判定：在△ABD和△ECA中，∠B=∠C，∠ADB=∠AEC，故△ABD∽△ECA。

教师点拨：当直接条件不足时，要善于利用已知条件（如等腰、直角、平行）和基本几何定理（如外角、内角和、对顶角）进行“等角转化”。这是突破证明瓶颈的通用技巧。

题组三：动态探究与综合应用

5.（几何画板动态演示）在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=12cm。点P从点A出发，沿AB以每秒2cm的速度向B运动；同时，点Q从点B出发，沿BC以每秒1cm的速度向C运动。设运动时间为t秒（0<t<4）。

(1)当t为何值时，△PBQ与△BCD相似？

(2)连接PQ、DQ，是否存在t，使得△DPQ是直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，说明理由。

深度教学实施：

1.（1）小题引导分析：

*明确动态元素：P在AB上，Q在BC上。△BCD是固定的直角三角形（∠CBD非直角？注意：∠BCD=90°）。

*确定对应关系：由于∠PBQ=∠BCD=90°，两三角形已有一角相等。要使△PBQ∽△BCD，只需夹直角的两边对应成比例。但必须分类讨论对应关系：

1.2.情形一（△PBQ∽△BCD）：PB/BC=BQ/CD

，即(8-2t)/12=t/8

。

2.3.情形二（△PBQ∽△DCB）：PB/CD=BQ/BC

，即(8-2t)/8=t/12

。

*分别解方程，并验证t是否在取值范围内。

*核心思想提炼：动态相似问题中，固定角（如直角）常作为对应相等的角，然后围绕这个角的两边，根据不同的对应顶点顺序列出比例方程。分类讨论是此类问题的生命线。

4.（2）小题引导分析（高阶思维）：

*问题升级为探究直角三角形存在性，且涉及三个顶点（D、P、Q）。

*策略：假设△DPQ是直角三角形，需分三种情况讨论哪个角是直角（∠DPQ=90°，∠PDQ=90°，∠PQD=90°）。

*方法：分别以三种情况构造“一线三直角”或其他相似模型，利用勾股定理或相似建立关于t的方程。

1.5.例如，若∠DPQ=90°，可过P作PE⊥AD于E，过Q作QF⊥AB于F，则易证△PED∽△QFP，从而得到比例关系建方程。

2.6.更通用的方法是利用勾股定理逆定理，分别用t表示DP²、PQ²、DQ²，再根据三种情况列方程。

*难点：用含t的代数式准确表示各线段长度（尤其是斜边），以及解方程后的合理性检验。

*思想升华：将动态几何问题代数化（用变量表示线段），通过方程建模解决几何存在性问题，是解析几何思想的雏形，是重要的数学通法。

第三环节：融会贯通，真实挑战——从“解题力”到“思维力”（约30分钟）

活动：项目式微探究——测量旗杆的高度

情境：学校广场需要测量旗杆AB的高度，但无法直接攀登。现有工具：一根标杆（长度已知为CD=2米）、一把皮尺、一个测角仪（可选，用于提升挑战性）。请你设计至少两种不同的方案，并建立数学模型，说明计算原理。

小组合作探究要求：

1.方案设计：画出测量示意图，标注观测点、测量的已知数据（长度、角度）。

2.原理阐述：详细说明所利用的数学原理（必须是相似三角形判定与性质）。

3.公式推导：给出计算旗杆高度AB的最终表达式。

4.方案评价：比较不同方案的优缺点（如操作性、精度、对工具的要求等）。

典型方案预设有：

1.方案一（影子法）：在同一时刻，分别测量旗杆影长（BE）和标杆影长（DF）。利用太阳光是平行光，构成“A型”相似：△ABE∽△CDF。

2.方案二（镜面反射法）：在地面放置一面小镜子，调整观测者位置，使能从镜中看到旗杆顶端。根据光的反射定律（入射角等于反射角），可得等角，构造相似三角形。

3.方案三（标杆目测法）：将标杆竖立在旗杆旁，观测者后退，用目测使标杆顶端与旗杆顶端重合（三点共线），利用“A型”相似。

4.方案四（测角仪法）：使用测角仪在两点测量仰角，结合两点距离，通过两次解直角三角形的差值或构造相似形求解（此方法融合三角函数，可作为拓展）。

教师角色：巡视各小组，充当顾问，适时提问引导：“你的方案中，确保三角形相似的依据是什么？（AA）”、“你测量的哪些量对应了相似三角形的哪些边？”、“如何减小测量误差？”。最后选择2-3个典型方案进行全班展示和答辩。

设计意图：将数学知识置于真实的、开放的、跨学科（物理光学）的问题情境中。学生需要创造性地应用所学判定与性质，完成从实际问题抽象为几何模型、再到数学求解的全过程。这极大地促进了知识的内化、迁移和素养的提升，是复习课达到高阶思维目标的标志性环节。

第四环节：反思凝练，认知升维（约5分钟）

1.个人反思：要求学生快速回顾本课，在学案上完成“3-2-1反思总结”。

1.2.3个最重要的收获（概念、方法、思想）。

2.3.2个仍存有疑问或想进一步探索的地方。

3.4.1个可以用于未来学习或解决问题的策略。

5.教师总结：以结构化板书为依托，高度凝练本课精髓。

1.6.知识层面：一个体系（判定定理网络）、两类模型（基本与复合）、三种策略（直接应用、条件转化、动态方程）。

2.7.思想层面：转化思想、模型思想、分类讨论思想、数形结合思想。

3.8.素养层面：用几何的眼光观察世界（直观），用逻辑的思维构建联系（推理），用数学的语言表达模型（应用）。

教师寄语：“相似是图形世界中最美妙的和谐关系之一。掌握它的判定，不仅是掌握了一套工具，更是获得了一种透视复杂图形、量化几何关系的思维方式。希望你们能将这套思维方法，迁移到更广阔的学习领域中去。”

七、板书设计

（左侧主板：结构化知识体系）

课题：相似三角形的判定——总复习

一、知识网络（思维导图核心框架，略）

二、核心思想

转化：等积式→比例式→相似形

模型：A/X、母子、旋转

分类：对应关系、直角位置

方程：动态几何的代数化

（中间主区：典型例题剖析区）

题组二：条件转化

例3：AC²=AB·AD→AC/AB=AD/AC→证△ACD∽△ABC(AA)

关键：角平分线+已知等角

题组三：动态探究

例5(1)：△PBQ∽△BCD？

条件：∠PBQ=∠BCD=90°

分类：①PB/BC=BQ/CD②PB/CD=BQ/BC

（右侧副板：生成性区域）

学生疑问摘录：

-添加辅助线的灵感来源？

-如何快速确定分类标准？

探究成果展示：

-测量旗杆方案一简图

-方案比较表（关键词）

八、作业设计（分层选做）

【A层：基础巩固】

1.教材对应章节的复习题，重点完成判定定理的直接