与对话高三数学（文）一轮复习课时跟踪训练第二章函数的概念与基本初等函数课时跟踪训练12

课时跟踪训练(十二)[基础巩固]一、选择题1．若函数f(x)在区间[－2,2]上的图象是连续不断的曲线，且f(x)在(－2,2)内有一个零点，则f(－2)·f(2)的值()A．大于0 B．小于0C．等于0 D．不能确定[解析]若函数f(x)在(－2,2)内有一个零点，且该零点是变号零点，则f(－2)·f(2)<0，否则，f(－2)·f(2)>0，故选D.[答案]D2．若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的取值为()A．0 B．－eq\f(1,4)C．0或－eq\f(1,4) D．2[解析]当a＝0时，函数f(x)＝－x－1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a≠0时，函数f(x)＝ax2－x－1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax2－x－1＝0有两个相等实根．∴Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－eq\f(1,4).综上，当a＝0或a＝－eq\f(1,4)时，函数仅有一个零点．[答案]C3．(2017·湖北襄阳四校联考)函数f(x)＝3x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是()A．0 B．1C．2 D．3[解析]由题意知f(x)单调递增，且f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝3＋1－2＝2>0，即f(0)·f(1)<0且函数f(x)在(0,1)内连续不断，所以f(x)在区间(0,1)内有一个零点．[答案]B4．(2018·长沙模拟)已知函数f(x)＝lnx－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－2的零点为x0，则x0所在的区间是()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)[解析]∵f(1)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1＝－2<0，f(2)＝ln2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))00.f2－1<0.f(3)＝ln3－eq\f(1,2)＝ln3－lneeq\s\up15(eq\f(1,2))，∵3>eeq\s\up15(eq\f(1,2))，∴f(3)>0，故x0∈(2,3)，选C.[答案]C5．(2017·辽宁大连二模)已知偶函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x)＝x2－3x(x≥0)，若函数g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,－\f(1,x)，x<0，))则y＝f(x)－g(x)的零点个数为()A．1 B．3C．2 D．4[解析]作出函数f(x)与g(x)的图象如图，由图象可知两个函数有3个不同交点，所以函数y＝f(x)－g(x)有3个零点，故选B.[答案]B6．(2017·河北承德模拟)若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－2a，x≤0，,x2－4ax＋a，x>0))有三个不同的零点，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))C．(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2))) D．(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞))[解析]由题意知，当x≤0时，函数f(x)有1个零点，即2x－2a＝0在x≤0上有根，所以0<2a≤1解得0<a≤eq\f(1,2)；当x>0时函数f(x)有2个零点，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16a2－4a>0，,4a>0，,a>0，))解得a>eq\f(1,4)，综上可得实数a的取值范围是eq\f(1,4)<a≤eq\f(1,2).[答案]B二、填空题7．已知函数f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1,3)内近似解的过程中，取区间中点x0＝2，那么下一个有根区间为________．[解析]f(1)＝31＋3－8＝－2<0，f(2)＝32＋6－8＝7>0，f(3)＝33＋9－8＝28>0，故下一个有根区间为(1,2)．[答案](1,2)8．(2017·四川绵阳模拟)函数f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是________．[解析]由题意，知函数f(x)在(1,2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1,2)内，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1<0，,f2>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a<0，,4－1－a>0，))解得0<a<3，故填(0,3)．[答案](0,3)9．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax2＋2x＋1，x≤0，,ax－3，x>0，))有3个零点，则实数a的取值范围是________．[解析]因为函数f(x)有3个零点，所以当x>0时，方程ax－3＝0有解，故a>0，所以当x≤0时，需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2,2a)<0，,Δ＝4－4a>0，))即0<a<1.综上，a的取值范围是(0,1)．[答案](0,1)三、解答题10．已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋eq\f(e2,x)(x>0)．(1)若y＝g(x)－m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．图(1)[解](1)作出g(x)＝x＋eq\f(e2,x)(x>0)的大致图象如图(1)．可知若使y＝g(x)－m有零点，则只需m≥2e.(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，图(2)作出g(x)＝x＋eq\f(e2,x)(x>0)的大致图象如图(2)．∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2.∴其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．[能力提升]11．(2017·云南昆明一模)设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3.若函数f(x)，g(x)的零点分别为a，b，则有()A．g(a)<0<f(b) B．f(b)<0<g(a)C．0<g(a)<f(b) D．f(b)<g(a)<0[解析]易知函数f(x)，g(x)在定义域上都是单调递增函数，且f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，g(1)＝－2<0，g(2)＝ln2＋1>0，所以a，b存在且唯一，且a∈(0,1)，b∈(1,2)，从而f(1)<f(b)<f(2)，g(0)<g(a)<g(1)，于是f(b)>0，g(a)<0，即g(a)<0<f(b)．[答案]A12．(2017·甘肃省兰州市高三诊断)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)．当0≤x≤1时，f(x)＝x2.若直线y＝x＋a与函数y＝f(x)的图象有两个不同的公共点，则实数a的值是()A．n(n∈Z) B．2n(n∈Z)C．2n或2n－eq\f(1,4)(n∈Z) D．n或n－eq\f(1,4)(n∈Z)[解析]依题意得，函数y＝f(x)是周期为2的偶函数，在[0,2)上，由图象(图略)易得，当a＝0或－eq\f(1,4)时，直线y＝x＋a与函数y＝f(x)的图象有两个不同的公共点，∵函数f(x)的周期为2，∴a的值为2n或2n－eq\f(1,4)(n∈Z)．[答案]C13．(2017·陕西省宝鸡市高三一检)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x<1，,log2x，x≥1，))若函数y＝f(x)－k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是________．[解析]∵当x<1时，2－x>eq\f(1,2)；当x≥1时，log2x≥0，依题意函数y＝f(x)的图象和直线y＝k的交点有两个，∴k>eq\f(1,2).[答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))14．(2017·云南省高三统一检测)已知y＝f(x)是R上的偶函数，对于任意的x∈R，均有f(x)＝f(2－x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝(x－1)2，则函数g(x)＝f(x)－log2017|x－1|的所有零点之和为________．[解析]因为函数f(x)是偶函数，f(x)＝f(2－x)，所以f(x)＝f(－x)＝f(x＋2)，所以函数f(x)的周期为2，又当x∈[0,1]时，f(x)＝(x－1)2，将偶函数y＝log2017|x|的图象向右平移一个单位长度得到函数y＝log2017|x－1|的图象，由此可在同一平面直角坐标系下作函数y＝f(x)与y＝log2017|x－1|的图象(图略)，函数g(x)的零点，即为函数y＝f(x)与y＝log2017|x－1|图象的交点的横坐标，当x>2018时，两函数图象无交点，又两函数图象在[1,2018]上有2016个交点，由对称性知两函数图象在[－2016,1]上也有2016个交点，且它们关于直线x＝1对称，所以函数g(x)的所有零点之和为4032.[答案]403215．(2018·烟台模拟)已知二次函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a，(1)判断命题：“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y＝f(x)在区间(－1,0)及eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))内各有一个零点，求实数a的取值范围．[解](1)“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”是真命题．依题意，f(x)＝1有实根，即x2＋(2a－1)x－2a＝0有实根，因为Δ＝(2a－1)2＋8a＝(2a＋1)2≥0对于任意的a∈R恒成立，即x2＋(2a－1)x－2a＝0必有实根，从而f(x)＝1必有实根．(2)依题意，要使y＝f(x)在区间(－1,0)及eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))内各有一个零点，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1>0，,f0<0，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－4a>0，,1－2a<0，,\f(3,4)－a>0，))解得eq\f(1,2)<a<eq\f(3,4).故实数a的取值范围为{aeq\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<a<\f(3,4))).16．已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝eq\f(fx,x)－4lnx的零点个数．[解](1)∵f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，∴f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0.∴f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1.故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.(2)∵g(x)＝eq\f(x2－2x－3,x)－4lnx＝x－eq\f(3,x)－4lnx－2(x>0)，∴g′(x)＝1＋eq\f(3,x2)－eq\f(4,x)＝eq\f(x－1x－3,x2).令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3.当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下：x(0,1)1(1,3)3(3，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)极大值极小值当0<x≤3时，g(x)≤g(1)＝－4<0.又因为g(x)在(3，＋∞)上单调递增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点．故g(x)在(0，＋∞)上仅有1个零点．[延伸拓展](2017·郑州市高三一测)对于函数f(x)与g(x)，若存在λ∈{x∈R|f(x)＝0}，μ∈{x∈R|g(x)＝0}，使得|λ－μ|≤1，则称函数f(x)与g(x)互为“零点密切函数”，现已知函数f(x)＝ex－2＋x－3与g(x)＝x2－ax－x＋4互为“零点密切函数”，则实数a的取值范围是________．[解析]易知函数f(x)为增函数，且f