正方形课件2025-2026学年人教版八年级数学下册

21.3.3正方形

第1课时正方形的性质定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形性质：正方形既是矩形又是菱形，所以它具有矩形、菱形的所有性质证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD. ∴△BCO是等腰直角三角形．

(RJ八下P76例5·改编)如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.求证：△BCO是等腰直角三角形．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°. ∴BC＝. ∴这块场地的面积为()2＝800(m2)，

对角线的长为＝40(m). (RJ八下P76T2)如图，一块正方形场地的四个顶点分别是A，B，C，D.李明和张华在边AB

上取了一点E，EC＝30m，EB＝10m．这块场地的面积和对角线长分别是多少？如图，E是正方形ABCD的边CD上一点，F是CB的延长线上一点，连接AF，AE，EA⊥AF.求证：DE＝BF.证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝∠ABC＝90°. ∴∠BAE＋∠DAE＝90°，∠ABF＝90°＝∠D. ∵EA⊥AF，∴∠BAE＋∠BAF＝90°. ∴∠DAE＝∠BAF. 在△ADE和△ABF中，∴△ADE≌△ABF(ASA).∴DE＝BF. 如图，在正方形ABCD中，E是边BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE，垂足为F，BF与边CD相交于点G.求证：CG＝CE.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCG＝90°. ∴∠DCE＝90°＝∠BCG. 又∵BF⊥DE，

∴∠E＋∠CBG＝∠E＋∠CDE＝90°. ∴∠CBG＝∠CDE. 在Rt△BCG和Rt△DCE中，∴Rt△BCG≌Rt△DCE(ASA).∴CG＝CE.

1.“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm，得到正方形A′B′C′D′，形成一个“方胜”图案，则点D′，B之间的距离为()A.1cm B．2cm C．cm D．cm C2.如图，已知正方形ABCD的对角线相交于点O.(1)若边长为4，则对角线长为_____，面积为______；(2)图中等腰三角形有____________________________

_________________________________________．

16△AOB，△BOC，△COD，△AOD，△ABC，△BCD，△ACD，△ABD3.(RJ八下P76T2·改编)如图，一块正方形场地的四个顶点分别是A，B，C，D.李明和张华在边AB上取了一点E，EC＝50m，EB＝30m．这块正方形场地的面积为__________，对角线长为________．

1600m24.如图，正方形ABCD的边长为3，P是对角线BD上的一点，PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E，连接PC，当PE∶PF＝1∶2时，则PC＝()A．B．2C．D．C∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°.∴∠DCM＝90°. ∵G，E分别是边AB，BC的中点，

∴AG＝BG＝BE＝EC. ∴∠BGE＝∠BEG＝45°，5.(RJ八下P88T15)如图，四边形ABCD是正方形，E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证：AE＝EF.证明：如图，取AB的中点G，连接EG. ∴∠AGE＝135°. ∵CF为正方形ABCD的外角平分线，

∴∠DCF＝∠DCM＝45°. ∴∠ECF＝∠ECD＋∠DCF＝90°＋45°＝135°. ∴∠AGE＝∠ECF. ∵∠B＝∠AEF＝90°，

∴∠GAE＋∠AEB＝∠CEF＋∠AEB＝90°. ∴∠GAE＝∠CEF. 在△AGE和△ECF中，∴△AGE≌△ECF(ASA). ∴AE＝EF. 6.(创新意识·核心素养)如图，四边形OABC是正方形，边长为4，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA上，且D点的坐标为(1，0)，P是OB上一动点，则PA＋PD的最小值为_______．

第2课时正方形的判定判定1：有一组邻边相等的矩形是正方形判定2：有一个内角是直角的菱形是正方形证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC. ∵CF⊥AD，AE⊥BC，

∴∠BCF＝∠AFC＝∠DAE＝∠AEC＝90°. ∴四边形AECF是矩形．

又∵AE＝CE，

∴四边形AECF是正方形．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，AE＝CE.求证：四边形AECF是正方形．

证明：∵四边形ABCD为矩形，

∴∠D＝∠BAD＝∠ABC＝90°. ∴∠ABF＝90°＝∠D， ∠DAE＋∠BAE＝90°. ∵AF⊥AE，∴∠BAF＋∠BAE＝90°.如图，在矩形ABCD中，E是边CD上一点，F是CB的延长线上一点，连接AE，AF，已知BF＝DE，AF⊥AE.求证：四边形ABCD是正方形．∴∠BAF＝∠DAE.在△ABF和△ADE中，∴△ABF≌△ADE(AAS).∴AB＝AD. ∴四边形ABCD是正方形．

证明：∵四边形ABCD是菱形，AC＝BD，

∴四边形ABCD是矩形．

∴∠DAB＝90°. ∴四边形ABCD是正方形．

如图，在菱形ABCD中，AC＝DB.求证：四边形ABCD是正方形．

∵四边形ABCD是菱形，

∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD. ∵BE＝DF，∴OE＝OF.∴四边形AECF是菱形．

∵AE⊥AF，∴∠EAF＝90°.∴四边形AECF是正方形．如图，在菱形ABCD中，点E，F在对角线BD上，AE⊥AF，BE＝DF.求证：四边形AECF是正方形．证明：如图，连接AC交BD于点O. 1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是正方形的是()A．AB＝ADB．OA＝OBC．AC＝BDD．DC⊥BCA2.如图，在矩形ABCD中，添加一个条件：___________

__________________，可使四边形ABCD是正方形．

AB＝AD(答案不唯一)证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，∠BAD＝∠ABC＝90°. ∵AE，BE分别平分∠BAD，∠ABC，

∴∠EAB＝∠DAB＝45°， ∠EBA＝∠ABC＝45°. 3.(RJ八下P81T14·改编)如图，矩形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形HEFG是正方形．

∴∠AEB＝90°，AE＝EB.∴∠HEF＝90°. 同理可得∠H＝∠F＝90°. ∴四边形HEFG为矩形．

易得△AFD与△BHC为等腰直角三角形，

∴AF＝DF＝AD，BH＝CH＝BC. ∴BH＝AF. ∴BH－BE＝AF－AE，即EH＝EF. ∴四边形HEFG是正方形．4.(创新意识·核心素养)如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，P是BO上的一个动点，连接CP，作PE⊥CP，交AB的延长线于点E，以PC和PE为邻边作▱PEFC，对角线CE，PF相交于点G. (1)连接OG，若OG＝m，则AE＝______(用含m的代数式表示)；

2m∴∠PNB＝∠PME＝∠PNC＝90°. ∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，BD垂直平分AC. ∴PC＝PA，四边形PMBN是矩形，PM＝PN. ∴∠MPN＝90°.∴∠EPM＋∠EPN＝90°. (2)求证：AP＝PE；

(2)证明：如图，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，∵PE⊥CP，∴∠CPN＋∠EPN＝90°.∴∠CPN＝∠EPM.在△CPN和△EPM中，∴△CPN≌△EPM(ASA).∴PC＝PE. ∵PC＝PA，∴AP＝PE. (3)解：由(2)得，四边形PMBN是矩形，PM＝PN，

∴四边形PMBN是正方形，

∴MB＝BN＝PM，∠PBM＝∠MPB＝45°. 设MB＝BN＝PM＝x，则PB＝x. ∵P为OB的中点，∴PO＝PB＝